【正文】 鑒于倒立擺的穩(wěn)定控制研究的重要意義，國(guó)內(nèi)外學(xué)者對(duì)此給予了廣泛關(guān)注。國(guó)外在 60年代就開始了對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究，在 60年代后期，作為一個(gè)典型的不穩(wěn) 定、嚴(yán)重非線性例證提出了倒立擺的概念，并用其檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線性和快速性系統(tǒng)的控制能力。 1966年 Schaefer和 Cannon應(yīng)用 BangBang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置 ； 1975年采用最優(yōu)控制和狀態(tài)重構(gòu)的方法完成對(duì)一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。 國(guó)外對(duì)二級(jí)以上倒立擺的研究從 70年代開始， 1972年 Sturgen等人采用線性控制模擬電路實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制，其線性狀態(tài)反饋采用極點(diǎn)配置的方法獲得，并采用全維狀態(tài)觀測(cè)器來重構(gòu)了狀態(tài) ； 1978年， 等人采用微機(jī)處理 實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制， 1980年他們又完成了二級(jí)擺在傾斜軌道上的穩(wěn)定控制 ； 1983年， 立擺的穩(wěn)定控制。 國(guó)內(nèi)從 80年代開始對(duì)倒立擺進(jìn)行了研究 ， 1982年，西安交通大學(xué)完成了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制和控制，采用了最優(yōu)控制和降維觀測(cè)器，以模擬電路實(shí)現(xiàn) ； 1983年，國(guó)防科技大學(xué)完成了一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制和控制 ；1987年，上海機(jī)械學(xué)院完成了一、二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制，并且完成了二級(jí)倒立擺在傾斜軌道上的控制。 近年來 ， 隨著智能控制方法的研究逐漸受到人們的重視，模糊控制、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、 擬人智能控制、遺傳算法和專家系統(tǒng)等越來越多的智能控制算法應(yīng)用到倒立擺動(dòng)系統(tǒng)的控制上。 Charies 1988年應(yīng)用自學(xué)習(xí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功控制一級(jí)擺 ； 周建波等用基于 BP網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則控制也解決了單擺的穩(wěn)定性控制問題 ； 徐紅兵等提出了基于變結(jié)構(gòu)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制 ； 1995年，張明廉等人應(yīng)用擬人智能控制理論成功的解決了三級(jí)倒立擺這一控制界的世界性難題 ；20xx年 9月 19日，北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)時(shí)智能控制實(shí)驗(yàn)室采用變論域自適應(yīng)模糊控制 成功地實(shí)現(xiàn) 了三 級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 8 制，又于 20xx年 8月 11日在國(guó)際上首次成功實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺實(shí)物控制系統(tǒng) 。 倒立擺作 為一個(gè)典型的被控對(duì)象，適合用多種理論和方法進(jìn)行控制。當(dāng)前， 常見的倒立擺的控制規(guī)律有以下幾種 ： (1)PID控制 ； (2)狀態(tài)反饋控制 ； (3)模糊控制 ； (4)自適應(yīng)控制 ； (5)神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 ； (6)遺傳算法 控制 ； (7)利用云模型實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制 ； (8)擬人智能控制 ； (9)幾種控制算 法 相結(jié)合的控制方式，充分利用各控制算法的優(yōu)越性，來實(shí)現(xiàn)一種組合式的控制方法，如遺傳算法與神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)結(jié)合的方法 ， 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)與模糊理論結(jié)合 的方法， 模糊 控制與 PID結(jié)合的方法等等 。 本人所做工作 本文主要是以倒立擺 的仿真控制 裝置為平臺(tái)，分析研究了極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制方案，用 MATLAB和 SIMULINK對(duì)控制方案進(jìn)行了仿真，并實(shí)現(xiàn)了 直線 二級(jí)倒立擺 仿真 系統(tǒng)的控制。 本文總共分 四 個(gè)部分 ， 下面介紹一下本文各部分的主要內(nèi)容。 第一章 緒論。簡(jiǎn)要回顧控制理論的發(fā)展，對(duì)倒立擺系統(tǒng) 做 了簡(jiǎn)要介紹 ， 并詳細(xì)分析了倒立擺控制的研究發(fā)展?fàn)顩r和主要控制方法。 第二章 直線二級(jí) 倒立擺系統(tǒng)模型的建立和初步分析。介紹了 直線 二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)條件下，用拉格朗 日方程，建立起二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的標(biāo)稱數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了線性化，初步分析了其運(yùn)動(dòng)特性。 第三章 直線二級(jí)倒立擺控制方案的設(shè)計(jì)。 根據(jù)第二章模型的建立與初步分析考慮控制器的設(shè)計(jì)。本章介紹了極點(diǎn)配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（ LQR） 方案，并介紹了極點(diǎn)配置理論 、極點(diǎn)配置算法、線性二次型最優(yōu)控制原理和 Q,R陣的選擇。 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 。本章為控制系統(tǒng)的仿真章節(jié) ，在本章首先介紹了仿真軟件 MATLAB，然后介紹了本次設(shè)計(jì)所用的 仿真軟件MATLAB版本 ： ， 其次介紹了仿真軟件 Simulink 仿真工具箱 ，最后根據(jù)已經(jīng)建立的 系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型和控制器 ， 設(shè)定選取了一河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 9 些參數(shù)，求得 K值，然后用仿真軟件對(duì) 極點(diǎn)配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（ LQR） 方案，一一進(jìn)行了控制系統(tǒng)的仿真，得出了仿真結(jié)果即各個(gè)輸出量的波形。 最后是結(jié) 論 。對(duì)全文進(jìn)行 的一次總結(jié)，指出了此次設(shè)計(jì)的總體理論概述。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 10 第二章 直線二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 現(xiàn)代控制理論是基于狀態(tài)空間法進(jìn)行分析的，因此首先要建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。本章從二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過 對(duì)其進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)描述， 對(duì)比 兩種 建立數(shù)學(xué)模型的方法： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )的優(yōu)缺點(diǎn)，并選定 歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)建模， 并進(jìn)行必要的線性化處理和初步的系統(tǒng) 原理 分析。 倒立擺系統(tǒng)的物理結(jié)構(gòu)及特性分析 本 次仿真設(shè)計(jì) 的二級(jí)倒立擺 模型 系統(tǒng)由機(jī)械部分和電路部分組成。機(jī)械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機(jī)，測(cè)速電機(jī)，電位器，齒型傳動(dòng)皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。主要機(jī)械結(jié)構(gòu)部分如圖 21所示。 21 直線二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖 對(duì) 直線二級(jí) 倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機(jī)、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對(duì)象，其輸入是功率放大器的輸入上擺桿 下 擺桿 測(cè)角電位器 測(cè)角電位器 小 車 滑 軌 框 架 電 機(jī) 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測(cè)位電位器 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 11 信號(hào)，輸出是小車的位移和擺桿的角度。 對(duì)直線二級(jí)倒立擺這個(gè)典型的機(jī)電控制系統(tǒng)來說，它具有以下特性： (1) 仿射非線性系統(tǒng) ： 倒立擺控制系統(tǒng)是一種典型的仿射非線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用微分幾何方法進(jìn)行分析。 (2) 不確定性： 主要是指建立系統(tǒng)數(shù)學(xué)模型時(shí)的參數(shù)誤差、量測(cè)噪聲以及機(jī)械傳動(dòng)過程中的非線性因素所導(dǎo)致的難以量化的部分。 (3) 耦合 特性： 倒立擺的擺桿和小車之間，以及多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都是強(qiáng) 耦合 的。這既是可 采用單電機(jī)驅(qū)動(dòng)倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也是使得控制系統(tǒng)的設(shè)計(jì)、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變得復(fù)雜的原因。 (4) 開環(huán)不 穩(wěn)定系統(tǒng)： 倒立擺系統(tǒng)有兩個(gè)平衡狀態(tài) ： 豎直向下和豎直向上。豎直向下的狀態(tài)是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(diǎn) (考慮摩擦力的影響 )，而豎直向上的狀態(tài)是系統(tǒng)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，開環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)離開豎直向上的狀態(tài)而進(jìn)入到豎直向下的狀態(tài)中。 針對(duì)以上倒立擺系統(tǒng)的特性，在數(shù)學(xué)上完全準(zhǔn)確地描述它幾乎是不可能，為了解決實(shí)際系統(tǒng)中的控制問題， 在 實(shí)際設(shè)計(jì)控制系統(tǒng) 建模時(shí)，通常忽略掉系統(tǒng)中一些次要的因素，例如空氣阻力、伺服電機(jī)由于安裝而產(chǎn)生的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動(dòng)皮帶的彈性、傳動(dòng)齒輪的間隙等等，并將小車抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，從而建立一個(gè)比較精確的倒立擺系統(tǒng)的線性模 型。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模 兩種數(shù)學(xué)建模方法的比較 倒立擺系統(tǒng)適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推導(dǎo) ， 目前 ， 人們對(duì)倒立擺系統(tǒng)建模一般采用兩種方法 ： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )。 牛頓力學(xué)分析方法的注意力集中在與系統(tǒng)的各 部分相聯(lián)系的力和運(yùn)動(dòng)以及各部分之間的相互作用 。 歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )則更多的把系統(tǒng)看作一個(gè)整體并利用如動(dòng)能、勢(shì)能之類的純量來描述函數(shù)，它具有以下特點(diǎn) : 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 12 ① 拉格朗日方程是廣義坐標(biāo)表達(dá)的任意完整系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng)方程，方程的數(shù)目等于系統(tǒng)的自由度數(shù)，因而可以獲得數(shù)目更少的運(yùn)動(dòng)方程。 ② 建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)只需分析已知的主動(dòng)力而不必分析未知的約束力，因而，對(duì)于倒立擺這樣的復(fù)雜系統(tǒng)更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。 ③ 拉格朗日方程具有很好的對(duì)稱性，即對(duì)于同一位形空間中的每個(gè)坐標(biāo)而言各方程都具有相同的形式。 ④ 拉格朗日方程是以能量觀點(diǎn)建立起來 的運(yùn)動(dòng)方程，在建立系統(tǒng)的運(yùn)動(dòng) 方程時(shí)，只需分析系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力 。 用拉格朗日方程可大大簡(jiǎn)化建模過程。 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行建模分析， 需要考慮各部分受力情況 ， 雖然 簡(jiǎn)單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時(shí)還需考慮質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，計(jì)算量大且復(fù)雜 ，對(duì)于此次設(shè)計(jì)，所涉及到的是基于直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真，如果用牛頓經(jīng)典力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型必須考慮系統(tǒng)各部分干擾因素，對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)及其仿真過程影響工作較大； 而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力兩個(gè)方 面，計(jì)算簡(jiǎn)單、工作量小，大大簡(jiǎn)化建模過程 ，因此此次設(shè)計(jì)建立數(shù)學(xué)模型選擇拉格朗日方程建模。 系統(tǒng) 數(shù)學(xué)建模參數(shù)的設(shè)定 在推導(dǎo) 直線 二級(jí)擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前，為了明確物理意義和推導(dǎo)的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假設(shè) : 。 ，齒型帶無拉長(zhǎng)現(xiàn)象，且傳遞作用的延遲忽略不計(jì)。 ，放大器和電位器是線性的。 ，上下擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作用于擺桿的阻力矩正比于擺桿的角速度。 ， 擺桿沒有在與滑軌成垂直方向上的運(yùn)動(dòng)。 另外，為了推導(dǎo)方程時(shí)的方便，定義一些常用的符號(hào)如下 : 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 13 x :小車的位移，單位米，當(dāng)小車在滑軌中心時(shí)為零，向右為正 ； 1? :下 擺的角位移，單位弧度，當(dāng)擺桿豎直向上時(shí)為零，順時(shí)針偏轉(zhuǎn)為正 ； 2? :上 擺的角位移，單位弧度， 當(dāng)擺桿豎直向上時(shí)為零，順時(shí)針偏轉(zhuǎn)為正 ； 0M :小車等效系統(tǒng)的等效質(zhì)量，單位千克 ； 1M :下 擺的質(zhì)量，單位千克 ； 2M :上 擺的質(zhì)量，單位千克 ； L:下擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到上擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心的距離，單位米 ； 1l :下 擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到其重心的距離，單位米 ； 2l :上 擺轉(zhuǎn)動(dòng)軸心到其重心的距離，單位米 ； 0F :小車系統(tǒng)的等效摩 擦阻力系數(shù)，這時(shí)把小車與導(dǎo)軌間的摩擦力、電機(jī)機(jī)械摩擦轉(zhuǎn)矩以及皮帶輪摩擦轉(zhuǎn)矩都?xì)w算到小車運(yùn)動(dòng)上的等效摩擦系數(shù)，由下式定義 : 0f F x? ，單位牛秒 /米 ； 1F :下擺桿與小車之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效摩擦力矩 1 1 1TF?? ，單位牛秒 /弧度 ； 2F :上擺桿與下擺桿之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效磨擦 力矩 2 2 2TF?? ，單位牛秒 /弧度 ； 1J :下擺對(duì)其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位千克米 ； 2J :上擺對(duì)其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位千克米 ； u :控制器向功放電路的輸出的控制電壓，單位伏 ； 0G :功放電路和電機(jī)的等效放大系數(shù)，即轉(zhuǎn)動(dòng)力矩折合到小車上的控制力 U與功放輸入電壓 u 之比，單位 牛 /伏； U:電機(jī)所提供的作用于小車的控制力，其定義如下 0U G u? ，單位牛，其方向向右為正； 1k :擺桿轉(zhuǎn)角測(cè)量電位器的放大倍數(shù)，單位伏 /弧度 ； 2k :小車位移測(cè)量電位器的放大倍數(shù)，單位伏 /米 ； 直線二級(jí)倒立擺的拉格朗日方程 建模 通過上述設(shè)定與分析用拉格朗日方程建立直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。拉格朗日 方程為： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 14 11 1 1t q qd L L D Qdq??? ? ?? ? ???? ? ??? ， ? ? ? ? ? ?q , , ,L q T q q V q q?? （ 21） 對(duì)于 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)為位移 x 和擺桿角度 1? ,2? ； 1Q 為作用在系統(tǒng)上的廣義力，當(dāng) 1qx? ， 10Q Gu? ,當(dāng) 11q ?? ,2? 時(shí)， 1 0Q? 。 T為小車和各級(jí)倒立擺的總動(dòng)能， V為小車和各級(jí)倒立擺的總勢(shì)能， D為小車和各級(jí)倒立擺的總耗散能 。 規(guī)定下擺桿重心坐標(biāo)為 ? ?11,ggxy, 上擺桿重心坐標(biāo)為 ? ?22,ggxy， 則 有： 1 1 1 1 1 1s in , c o sggx x l y l??? ? ? 2 1 2 2 2 1 2 2s i n s i n , c o s c o sx x L l y L l? ? ? ?? ? ? ? ? (1)系統(tǒng)總動(dòng)能 0 1 2T T T T? ? ? ，其中： 小車動(dòng)能 ： 200 2MxT ? 下擺桿動(dòng) 能： ? ?2 2 21 1 1 1 1 11122 ggT J M x y?? ? ? ? ? ? ?2221 1 1 1 1 1 1 111 c o s s in22J M x l l? ? ? ? ???? ? ? ????? 上擺桿動(dòng)能： ? ?2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 21 1 12 2 2ggT J M x y J??? ? ? ? ?