【正文】 當(dāng)選擇的主 導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間短，但所需的控制力較大，反之， 離虛軸較近時(shí)，系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間長(zhǎng)，所需的控制力較小 ； 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)確定后，其余極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)，也就是其余極點(diǎn)實(shí)部最小的也要大于主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的 23倍以上，其距離主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)，系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間短，超調(diào)量變大，所需的 控制力也較大。 Simulink 包含有 SINKS（輸入方式）、 SOURCE（輸入源）、 LINEAR（線性環(huán)節(jié)）、 NONLINEAR（非線性環(huán)節(jié)）、 CONNECTIONS（連接與接口）和 EXTRA（其他環(huán)節(jié)）子模型庫(kù)。 （ 4） 方便的繪圖功能 MATLAB 的繪圖功能十分方便，它有一系列繪圖函 數(shù)（命令），例如線性坐標(biāo)、對(duì)數(shù)坐標(biāo)、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)以及極坐標(biāo)，均只需調(diào)用不同的繪圖函數(shù)（命令），在圖上標(biāo)出圖題、 XY 軸標(biāo)注，格（柵）繪制也只需調(diào)用相應(yīng)的命令，簡(jiǎn)單易行。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單，且使加權(quán)陣 Q和 R的各元素有明顯的物理意義 ，通常將加權(quán)陣 Q和 R選為對(duì)角陣 。 (3)較為常用的方法是 GuraBass算法，其具體步驟為 : 1)判斷系統(tǒng)的可控性 。對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行控制的主要目的是 ： 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在控制作用下能夠穩(wěn)定 ； 系統(tǒng)的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性良好 ； 控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性 ； 較容易完成穩(wěn)定控制的任務(wù)。 系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定 倒立擺系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行建模分析， 需要考慮各部分受力情況 ， 雖然 簡(jiǎn)單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時(shí)還需考慮質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，計(jì)算量大且復(fù)雜 ，對(duì)于此次設(shè)計(jì)，所涉及到的是基于直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真，如果用牛頓經(jīng)典力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型必須考慮系統(tǒng)各部分干擾因素，對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)及其仿真過(guò)程影響工作較大； 而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力兩個(gè)方 面，計(jì)算簡(jiǎn)單、工作量小，大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程 ，因此此次設(shè)計(jì)建立數(shù)學(xué)模型選擇拉格朗日方程建模。主要機(jī)械結(jié)構(gòu)部分如圖 21所示。 本文總共分 四 個(gè)部分 ， 下面介紹一下本文各部分的主要內(nèi)容。后來(lái)人們研究的倒立擺 的種類也由簡(jiǎn)單的單級(jí)倒立擺迅速發(fā)展為多種形式的倒立擺系統(tǒng)。 第一階段是經(jīng)典控制理論階段 ， 上世紀(jì) 50年代前后的控制理論主要是研究單輸入 單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題，其理論基礎(chǔ)是描述系統(tǒng)輸入 輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法和相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。經(jīng)典控制理論對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)很難奏效。 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多變量、高度非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具 有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實(shí)踐意義。 第一章 緒論。 21 直線二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖 對(duì) 直線二級(jí) 倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機(jī)、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對(duì)象，其輸入是功率放大器的輸入上擺桿 下 擺桿 測(cè)角電位器 測(cè)角電位器 小 車 滑 軌 框 架 電 機(jī) 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測(cè)位電位器 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 11 信號(hào)，輸出是小車的位移和擺桿的角度。 系統(tǒng) 數(shù)學(xué)建模參數(shù)的設(shè)定 在推導(dǎo) 直線 二級(jí)擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前，為了明確物理意義和推導(dǎo)的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假設(shè) : 。有些參數(shù)可以直接測(cè)得，如上下擺的質(zhì)量、長(zhǎng)度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)應(yīng)該盡可能簡(jiǎn)單，容易實(shí)現(xiàn)，并有一定的抗 干 擾能力。 確定能否完成預(yù)定的閉環(huán)極點(diǎn)配置綜合目標(biāo) ； 2)計(jì)算 A的特征多項(xiàng)式，即開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 (35)的 n 個(gè)系數(shù) 1a ； 3)由給定的動(dòng)態(tài)指標(biāo)或閉環(huán)極點(diǎn)要求確定閉環(huán)特征多項(xiàng)式 (36)的 n 個(gè)系數(shù) 1? ； 4)計(jì)算 矩陣 ? ?0 0 1 1 1 1nnK a a a? ? ? ??? ? ? ?； 5)計(jì)算變換陣 T: 1 2 1231111101 0 01 0 0 0nnna a aaaT B A B A Ba??????????? ?????? 計(jì)算所求的增益陣 K KT? GuraBass算法不僅適用于單輸入 單輸出系統(tǒng)，也同樣適用于單輸入多輸出系統(tǒng)。這樣可以看出 1q 是對(duì)狀態(tài)ix 平方的加權(quán)， 1q 相對(duì)增大就意味著對(duì) ix 的要求較嚴(yán)； R 是對(duì)控制量 u 平方的加權(quán)， 當(dāng) R相對(duì)較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能量較小 ， 反饋減弱 ， 當(dāng) R相對(duì) 很 小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng) ， 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速 。 正是由于這些特點(diǎn)，是 MATLAB 語(yǔ)言得到了廣泛的應(yīng)用。 號(hào)源庫(kù) 包 括階躍信號(hào)、正弦波、白噪聲、時(shí)鐘、常值、文件、信號(hào)發(fā)生器等各種信號(hào)源，其中信號(hào)發(fā)生器可產(chǎn)生正弦波、方波、鋸齒波、隨機(jī)信號(hào)等波形。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，重要的是使采用線性模型設(shè)計(jì)的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來(lái)適應(yīng)對(duì)應(yīng)參數(shù)的變化，并具有一定的魯棒性。無(wú)干擾條件下控制系統(tǒng) Simulink 仿真圖如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 31 圖 41 無(wú)干擾 控制 系統(tǒng) Simulink 仿真框圖 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 32 對(duì)于上圖 41中設(shè)置的 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖為如下圖所示： 圖 42 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖 極點(diǎn)配置控制方案的仿真 為了使 系統(tǒng)有較好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性，通過(guò)反復(fù)仿真最終選取閉環(huán)極點(diǎn)為： ? ?3 2 6 7 8 9i? ? ? ? ? ? ? ?得反饋增益陣為： ? ?4 . 8 6 4 5 2 0 . 6 3 0 9 9 6 . 9 5 8 3 0 . 6 9 9 1 8 . 3 2 3 7 1 3 . 4 0 5 4K ? 其 Simulink仿真框圖如圖 41所示 ， 仿真時(shí)選取初始狀態(tài)為： 0x? ，1 ?? ， 2 0?? ，仿真結(jié)果如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 33 圖 43 小車 位移 圖 44 小車速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 34 圖 45 上擺桿角位移 圖 46 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 35 圖 47 下擺桿角位移 圖 48 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 36 圖 49 總體仿真曲線 經(jīng)過(guò)多次 仿真可知，極點(diǎn)配置法可以對(duì)倒立擺這樣的不穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制，穩(wěn)態(tài)性能較好。它與傳統(tǒng)的仿真軟件包微分方程和差分方程建模相比，具有更直觀、方便、靈活的優(yōu)點(diǎn)。因而，用戶可以根據(jù)自己的需要方便地建立和擴(kuò)充新的庫(kù)函數(shù)，以便提高 MATLAB 的使用效率和擴(kuò)充其他功能。 一般來(lái)說(shuō) ， 加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的 折中 上考慮的。這里只給出具體結(jié)果 ， 所求反饋增益矩陣 ： 1s C K A B 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 24 ? ?TK e P A? 其中：? ? 110 0 1Tne B A B A B ??????, ? ? ? ?? ? ? ?12 nP ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?,A、 B陣就是系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的參數(shù)矩陣， ? 是期望的極點(diǎn)向量。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 22 第三章 直線二級(jí)倒立擺控制方案的設(shè)計(jì) 前一章己經(jīng)對(duì)二級(jí)倒立擺模型做了詳盡的分析和推導(dǎo)，獲得了它的狀態(tài)方程形式的線性數(shù)學(xué)模型 ，從分析中可以看出，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是完全可控、完全可觀測(cè)的。 此次設(shè)計(jì)作為仿真， 為了與實(shí)際采集系統(tǒng)相符合，也為了使計(jì)算方便，做如下變換 : Z TZ? ? ?1 2 1,Zx? ? ??? 1 0 00 1 00 1 1T???????? 于是有： 11Z TM T Z TN T Z TG u??? ? ? ? 取狀態(tài)變量： 1 1 2 1 1 2 1, , , , , TX x x? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ?1 2 1, TYx? ? ??? 于是線性化后的六階狀態(tài)方程如下： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書 19 X AX BuY CX Du???? （ 214） 其中： 3 3 3 321 22 660IA AA?????? ???? 332 660B B????????? 2110 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0KCKK??????? 0D? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 1211 1 1220120 , 0 0 , 00 , 0 0 , 0 , 0 , 00 , 0 00A T NT T M F TA T M T T M N TGB T G T M? ? ?? ? ????? ? ? ????????????? 即 X AX Bu??,Y CX Du??是對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)空間分析的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)。 用拉格朗日方程可大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程。機(jī)械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機(jī)，測(cè)速電機(jī)，電位器，齒型傳動(dòng)皮帶，小車，擺桿，觸發(fā)開關(guān)以及一些連接軸等。 本人所做工作 本文主要是以倒立擺 的仿真控制 裝置為平臺(tái)，分析研究了極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制方案，用 MATLAB和 SIMULINK對(duì)控制方案進(jìn)行了仿真，并實(shí)現(xiàn)了 直線 二級(jí)倒立擺 仿真 系統(tǒng)的控制。 倒立擺系統(tǒng)的最初研究開始于二十世紀(jì) 50年代，麻省理工學(xué)院設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備，而后世界各國(guó)都將一級(jí)倒立擺控制作為驗(yàn)證某種控制理論或方法的典型方案。特別是近幾十年，航天航空航海和其它工業(yè)過(guò)程等領(lǐng)域的研究發(fā)展，不斷地向控制理論提出一系列挑戰(zhàn)性問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題的研究和探索，有力地推動(dòng)控制理論和控制方法取得長(zhǎng)足發(fā)展，其發(fā)展通常可以分為三個(gè)階段 。 第二階段是現(xiàn)代控制理論階段。一方面 ， 由于倒立擺系統(tǒng)具有成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，物理參數(shù)和結(jié)構(gòu)易于調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)室條件下易于實(shí)現(xiàn) ； 此外對(duì)于倒立擺的穩(wěn)定控制，會(huì)涉及到控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，比如鎮(zhèn)定問(wèn)題、跟蹤問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題、非線性問(wèn)題以及魯棒性問(wèn)題等，人們?cè)噲D通過(guò)倒立擺這樣一個(gè)復(fù)雜多變的控制對(duì)象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，充分驗(yàn)證新的控制方法的有效性及可靠性。簡(jiǎn)要回顧控制理論的發(fā)展，對(duì)倒立擺系統(tǒng) 做 了簡(jiǎn)要介紹 ， 并詳細(xì)分析了倒立擺控制的研究發(fā)展?fàn)顩r和主要控制方法。 對(duì)直線二級(jí)倒立擺這個(gè)典型的機(jī)電控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，它具有以下特性： (1) 仿射非線性系統(tǒng) ： 倒立擺控制系統(tǒng)是一種典型的仿射非線性系統(tǒng)，可以應(yīng)用微分幾何方法進(jìn)行分析。 ，齒型帶無(wú)拉長(zhǎng)現(xiàn)象，且傳遞作用的延遲忽略不計(jì)。而有些參數(shù)需要采用間接的方法得到，如擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、小車的等效摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)軸的等效摩擦系數(shù)等。 隨著控制理論的不斷發(fā)展，在倒立擺這一經(jīng)典實(shí)驗(yàn)裝置上，已經(jīng)有多種控制方法得到了應(yīng)用。多輸入 多輸出系統(tǒng)可以化為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)，進(jìn)而采用單輸入系統(tǒng)的極 點(diǎn)配置算法。 對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過(guò)程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對(duì)二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，上擺偏角 2? 應(yīng)比下擺的偏角1? 重要，下擺的偏角 1? 應(yīng)比小車的位移 x 重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣 Q和 R時(shí)反映這些要求。 簡(jiǎn)介 雖然經(jīng)過(guò) Math Works 公司的不但改進(jìn)升級(jí)，現(xiàn)在已經(jīng)推出了 MATLAB R20xxa，但由于使用習(xí)慣、計(jì)算機(jī)硬件資源的限制及新功能學(xué)習(xí)的滯后等原因，目前 仍被廣泛使用。 包括示波器仿真窗口、 MATLAB 工作區(qū)、文件等形式的輸出。最終綜合考慮了各項(xiàng)因素 ，選擇：? ?1 0 3 0 9 0 1 1 1Q d ia g? ， ? ,計(jì)算得： ? ?1 0 . 0 0 0 0 7 1 . 3 7 3 6 2 9 4 . 8 8 0 7 9