【正文】 3 7 1 3 . 4 0 5 4K ? 其 Simulink仿真框圖如圖 41所示 ， 仿真時(shí)選取初始狀態(tài)為： 0x? ，1 ?? ， 2 0?? ，仿真結(jié)果如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 33 圖 43 小車 位移 圖 44 小車速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 34 圖 45 上擺桿角位移 圖 46 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 35 圖 47 下擺桿角位移 圖 48 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 36 圖 49 總體仿真曲線 經(jīng)過多次 仿真可知，極點(diǎn)配置法可以對(duì)倒立擺這樣的不穩(wěn)定系統(tǒng)進(jìn)行有效的控制，穩(wěn)態(tài)性能較好。為了便于表達(dá)和說明，在原有的 Simulink仿真框圖加入一個(gè)相當(dāng)于外部干擾信號(hào)的 Bandlimited White Noise模塊，其參 數(shù)設(shè)置為 10，其他參數(shù)如無干擾仿真設(shè)置一樣， Simulink仿真框圖如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 41 圖 417 干擾條件下 控制 系統(tǒng) Simulink仿真框圖 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 42 極點(diǎn)配置控制方案的仿真 圖 418 小車位移 圖 419 小車速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 43 圖 420 上擺桿角位移 圖 421 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 44 圖 422 下 擺桿角位移 圖 423 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 45 圖 424 總體仿真曲線 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 圖 425 小車位移 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 46 圖 426 小車速度 圖 427 上擺桿角位。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，重要的是使采用線性模型設(shè)計(jì)的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來適應(yīng)對(duì)應(yīng)參數(shù)的變化，并具有一定的魯棒性。要建立自己的模型，主要有如下三種方法 : 用現(xiàn)有模型組合成新的自定義功能模型。 號(hào)源庫 包 括階躍信號(hào)、正弦波、白噪聲、時(shí)鐘、常值、文件、信號(hào)發(fā)生器等各種信號(hào)源，其中信號(hào)發(fā)生器可產(chǎn)生正弦波、方波、鋸齒波、隨機(jī)信號(hào)等波形。當(dāng)然也有可能涉及到 SimPowerSystem 工具箱、 SimExtra 工具箱。 正是由于這些特點(diǎn)，是 MATLAB 語言得到了廣泛的應(yīng)用。 （ 2） 語句簡單，用戶使用方便 MATLAB 語言是一種解釋執(zhí)行的語言（在沒被專門的工具編譯之前），它靈活、方便，其調(diào)試程序手段豐富，調(diào)試速度快，需要學(xué)習(xí)時(shí)間少。這樣可以看出 1q 是對(duì)狀態(tài)ix 平方的加權(quán)， 1q 相對(duì)增大就意味著對(duì) ix 的要求較嚴(yán)； R 是對(duì)控制量 u 平方的加權(quán)， 當(dāng) R相對(duì)較大，意味著控制費(fèi)用增高，使得控制能量較小 ， 反饋減弱 ， 當(dāng) R相對(duì) 很 小時(shí)，控制費(fèi)用較低，反饋增強(qiáng) ， 系統(tǒng)動(dòng)態(tài)響應(yīng)迅速 。 一般情況下加權(quán)陣取為定常矩陣 即 Q 和 R ， 首先構(gòu)造一個(gè)哈密爾頓函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 T T TH X t Q X t U t R U t A X t B U t???? ? ? ? ??????? （ 38） 當(dāng)輸入信號(hào)不受約束時(shí)，則可對(duì)哈密爾頓函數(shù)求導(dǎo)并令其值為 0，求出最 小值 ? ? ? ? 0TH R U t B tU ?? ? ? ? ?? ,從而得到最優(yōu)控制信號(hào)為 : ? ? ? ?1U Tt R B t???? (39) 其中 ??t? 可由下式求出 : ? ? ? ? ? ?t P t X t? ?? , ??Pt 即為黎卡提微分方程的解 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1TTP t P t A A P t P t B R B P t Q?? ? ? ? ? (310) 當(dāng) ft ?? ， ??Pt 趨近于一個(gè)常值矩陣，且 ?? 0Pt? ，故： 1 0TTP A A P P B R B P Q?? ? ? ? (311) 此式稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。 確定能否完成預(yù)定的閉環(huán)極點(diǎn)配置綜合目標(biāo) ； 2)計(jì)算 A的特征多項(xiàng)式，即開環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式 (35)的 n 個(gè)系數(shù) 1a ； 3)由給定的動(dòng)態(tài)指標(biāo)或閉環(huán)極點(diǎn)要求確定閉環(huán)特征多項(xiàng)式 (36)的 n 個(gè)系數(shù) 1? ； 4)計(jì)算 矩陣 ? ?0 0 1 1 1 1nnK a a a? ? ? ??? ? ? ?； 5)計(jì)算變換陣 T: 1 2 1231111101 0 01 0 0 0nnna a aaaT B A B A Ba??????????? ?????? 計(jì)算所求的增益陣 K KT? GuraBass算法不僅適用于單輸入 單輸出系統(tǒng)，也同樣適用于單輸入多輸出系統(tǒng)。 控制規(guī)律選擇為線性狀態(tài)反饋，即 : U u KX?? (32) 式中， ? ?1 2 3 nK k k k k? 。所設(shè)計(jì)的控制系統(tǒng)應(yīng)該盡可能簡單，容易實(shí)現(xiàn)，并有一定的抗 干 擾能力。 定理 1(能控性判據(jù) ) n 階線性定常連續(xù)系 統(tǒng) X AX Bu??狀態(tài)完全能控，當(dāng)且僅當(dāng)系統(tǒng)的能控性矩陣 ： 21 nCS B A B A B A B???? ??滿秩，即 ? ?Crank S n? 。有些參數(shù)可以直接測(cè)得，如上下擺的質(zhì)量、長度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。秒 /弧度 ； 1J :下擺對(duì)其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位千克 系統(tǒng) 數(shù)學(xué)建模參數(shù)的設(shè)定 在推導(dǎo) 直線 二級(jí)擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型前，為了明確物理意義和推導(dǎo)的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假設(shè) : 。 系統(tǒng)的數(shù)學(xué)建模 兩種數(shù)學(xué)建模方法的比較 倒立擺系統(tǒng)適合用數(shù)學(xué)工具進(jìn)行理論推導(dǎo) ， 目前 ， 人們對(duì)倒立擺系統(tǒng)建模一般采用兩種方法 ： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )。 21 直線二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖 對(duì) 直線二級(jí) 倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機(jī)、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對(duì)象，其輸入是功率放大器的輸入上擺桿 下 擺桿 測(cè)角電位器 測(cè)角電位器 小 車 滑 軌 框 架 電 機(jī) 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測(cè)位電位器 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 11 信號(hào)，輸出是小車的位移和擺桿的角度。本章為控制系統(tǒng)的仿真章節(jié) ，在本章首先介紹了仿真軟件 MATLAB，然后介紹了本次設(shè)計(jì)所用的 仿真軟件MATLAB版本 ： ， 其次介紹了仿真軟件 Simulink 仿真工具箱 ，最后根據(jù)已經(jīng)建立的 系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型和控制器 ， 設(shè)定選取了一河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 9 些參數(shù)，求得 K值，然后用仿真軟件對(duì) 極點(diǎn)配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（ LQR） 方案，一一進(jìn)行了控制系統(tǒng)的仿真，得出了仿真結(jié)果即各個(gè)輸出量的波形。 第一章 緒論。 國外對(duì)二級(jí)以上倒立擺的研究從 70年代開始， 1972年 Sturgen等人采用線性控制模擬電路實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制，其線性狀態(tài)反饋采用極點(diǎn)配置的方法獲得，并采用全維狀態(tài)觀測(cè)器來重構(gòu)了狀態(tài) ； 1978年， 等人采用微機(jī)處理 實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制， 1980年他們又完成了二級(jí)擺在傾斜軌道上的穩(wěn)定控制 ； 1983年， 立擺的穩(wěn)定控制。 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多變量、高度非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具 有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實(shí)踐意義。它用來解決多層次分 散結(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)的分析和綜合問題，因此受到各國著名學(xué)者的極大關(guān)注。經(jīng)典控制理論對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)很難奏效。河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 1 直線二級(jí)倒立擺的控制問題的研究和 matlab仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新 型 控制理論和方法有效性的典型 裝置 。 第一階段是經(jīng)典控制理論階段 ， 上世紀(jì) 50年代前后的控制理論主要是研究單輸入 單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問題，其理論基礎(chǔ)是描述系統(tǒng)輸入 輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法和相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。 70年代末開始的智能控制理論和大系統(tǒng)理論的研究和應(yīng)用，是現(xiàn)代控制理論在深度上和廣度上的開拓。后來人們研究的倒立擺 的種類也由簡單的單級(jí)倒立擺迅速發(fā)展為多種形式的倒立擺系統(tǒng)。 1966年 Schaefer和 Cannon應(yīng)用 BangBang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置 ； 1975年采用最優(yōu)控制和狀態(tài)重構(gòu)的方法完成對(duì)一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。 本文總共分 四 個(gè)部分 ， 下面介紹一下本文各部分的主要內(nèi)容。 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 。主要機(jī)械結(jié)構(gòu)部分如圖 21所示。 針對(duì)以上倒立擺系統(tǒng)的特性，在數(shù)學(xué)上完全準(zhǔn)確地描述它幾乎是不可能，為了解決實(shí)際系統(tǒng)中的控制問題， 在 實(shí)際設(shè)計(jì)控制系統(tǒng) 建模時(shí)，通常忽略掉系統(tǒng)中一些次要的因素，例如空氣阻力、伺服電機(jī)由于安裝而產(chǎn)生的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動(dòng)皮帶的彈性、傳動(dòng)齒輪的間隙等等，并將小車抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，從而建立一個(gè)比較精確的倒立擺系統(tǒng)的線性模 型。 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行建模分析， 需要考慮各部分受力情況 ， 雖然 簡單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時(shí)還需考慮質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，計(jì)算量大且復(fù)雜 ，對(duì)于此次設(shè)計(jì)，所涉及到的是基于直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真，如果用牛頓經(jīng)典力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型必須考慮系統(tǒng)各部分干擾因素，對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)及其仿真過程影響工作較大； 而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力兩個(gè)方 面，計(jì)算簡單、工作量小，大大簡化建模過程 ，因此此次設(shè)計(jì)建立數(shù)學(xué)模型選擇拉格朗日方程建模。秒 /弧度 ； 2F :上擺桿與下擺桿之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效磨擦 力矩 2 2 2TF?? ，單位牛 系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定 倒立擺系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。在進(jìn)行倒立擺的定性分析之前，先介紹線性控制理論中關(guān)于能控性 、能觀性的判定定理 。對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行控制的主要目的是 ： 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在控制作用下能夠穩(wěn)定 ； 系統(tǒng)的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性良好 ； 控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性 ； 較容易完成穩(wěn)定控制的任務(wù)。 對(duì)于完全能控和完全能觀的系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)方程為 : X AX BU?? Y CX? (31) 其中， nXR? ， mUR? 。 (3)較為常用的方法是 GuraBass算法，其具體步驟為 : 1)判斷系統(tǒng)的可控性 。由此可知二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問題實(shí)質(zhì)上就是 ： 要求用較小的控制能量來獲得較小的誤差的最優(yōu)控制。為了使問題簡單，且使加權(quán)陣 Q和 R的各元素有明顯的物理意義 ，通常將加權(quán)陣 Q和 R選為對(duì)角陣 。由于它編寫簡單，所以編程效率高，易學(xué)易懂。 （ 4） 方便的繪圖功能 MATLAB 的繪圖功能十分方便，它有一系列繪圖函 數(shù)（命令），例如線性坐標(biāo)、對(duì)數(shù)坐標(biāo)、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)以及極坐標(biāo)，均只需調(diào)用不同的繪圖函數(shù)（命令），在圖上標(biāo)出圖題、 XY 軸標(biāo)注，格（柵）繪制也只需調(diào)用相應(yīng)的命令，簡單易行。對(duì)于我們 自動(dòng)化 專業(yè)的仿真而言，我們主要用到的是 Simulink 工具河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說明書 29 箱。 Simulink 包含有 SINKS（輸入方式）、 SOURCE（輸入源）、 LINEAR（線性環(huán)節(jié)）、 NONLINEAR（非線性環(huán)節(jié)）、 CONNECTIONS（連接與接口）和 EXTRA（其他環(huán)節(jié)）子模型庫。 另外， MATLAB/SIMULINK 具有開放的編程環(huán)境，它允許用戶開發(fā)自己所需的模型，通 過成組封裝擴(kuò)充現(xiàn)有的模型庫。當(dāng)選擇的主 導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的過渡時(shí)間短，但所需的控制力較大，反之， 離虛軸較近時(shí)，系統(tǒng)的過渡時(shí)間長，所需的控制力較小 ； 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)確定后，其余極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)，也就是其余極點(diǎn)實(shí)部最小的也要大于主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的 23倍以上，其距離主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)，系統(tǒng)的過渡時(shí)間短，超調(diào)量變大，所需的 控制力也較大