【正文】 U t d??? ? ???? （ 37） 其中 ??Qt和 F 為半正定陣， ??Rt 是正定矩陣。因此， 確定加權(quán)陣 Q, R是一項(xiàng)重要且困難的工作。 MATLAB 語(yǔ)言具有如下特點(diǎn)： （ 1）編程效率高 它是一種面向科學(xué)與工程計(jì)算的高級(jí)語(yǔ)言，允許用數(shù)學(xué)形式的語(yǔ)言編寫(xiě)程序，且比 Basic、 Fortean 和 C 等語(yǔ)言更加接近我們書(shū)寫(xiě)計(jì)算公式的思維方式，用 MATLAB 編寫(xiě)程序猶如在演算紙上排列出公式與求解問(wèn)題。 （ 3） 擴(kuò)展能力強(qiáng) MATLAB 語(yǔ)言有豐富的庫(kù)函數(shù)，在進(jìn)行復(fù)雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算時(shí)可以直接調(diào)用，而且 MATLAB 的庫(kù)函數(shù)同用戶(hù)文件在形式上一樣，所以用戶(hù)文件也可以作為 MATLAB 的庫(kù)函數(shù)來(lái)調(diào)用。主 包有功能豐富和完備的數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)，大量繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算和分析可直接調(diào)用 MATLAB 函數(shù)求解。它為用戶(hù)提供了方框圖進(jìn)行建模的圖形接口，采用這種結(jié)構(gòu)畫(huà)模型就像你用手和紙來(lái)畫(huà)一樣容易。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 30 包括輸入、輸出、多路轉(zhuǎn)換等模塊，用于連接其他模塊。 無(wú)干擾 控制系統(tǒng)的 仿真 此次 仿真為 無(wú)干擾條件下的控制系統(tǒng) 仿真， 仿真的目的是對(duì)整個(gè)控制系統(tǒng)在理想化 無(wú)干擾 條件下的控制進(jìn)行討論與研究。 干擾條件下控制系統(tǒng) 的仿真 此次對(duì)控制系統(tǒng)進(jìn)行的仿真為考慮一些干擾后的仿真，在實(shí)際生產(chǎn)和生活中比理想化 無(wú)干擾條件下的仿真 設(shè)計(jì)更為貼近，應(yīng)用更為廣泛。最終綜合考慮了各項(xiàng)因素 ，選擇：? ?1 0 3 0 9 0 1 1 1Q d ia g? ， ? ,計(jì)算得： ? ?1 0 . 0 0 0 0 7 1 . 3 7 3 6 2 9 4 . 8 8 0 7 9 . 1 8 1 4 2 6 . 3 8 2 5 4 1 . 0 1 17K ? 其 Simulink仿真框圖同圖 41，系統(tǒng)初始化狀態(tài)為： 0x? ， 1 ?? ， 2 0?? ，仿真結(jié)果如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 37 圖 410 小車(chē)位移 圖 411 小車(chē)速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 38 圖 412 上擺桿角位移 圖 413 上擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 39 圖 414 下擺桿角位移 圖 415 下擺桿角速度 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 40 圖 416 總體仿真曲線(xiàn) 與極點(diǎn)配置一樣， LQR控制器同樣可以對(duì)倒立擺進(jìn)行有效的控制，達(dá)到期望的目的。 使用 MATLAB FUNCTION 模型調(diào)用 MATLAB 函數(shù)，構(gòu)造形如 y=f(x)的函數(shù)，其功能十分有限。 包括示波器仿真窗口、 MATLAB 工作區(qū)、文件等形式的輸出。但主要是使用 Simulink 工具箱來(lái)進(jìn)行電力電子和電機(jī)等方面的仿真。 簡(jiǎn)介 雖然經(jīng)過(guò) Math Works 公司的不但改進(jìn)升級(jí)，現(xiàn)在已經(jīng)推出了 MATLAB R20xxa，但由于使用習(xí)慣、計(jì)算機(jī)硬件資源的限制及新功能學(xué)習(xí)的滯后等原因，目前 仍被廣泛使用。人們用任何一種語(yǔ)言編寫(xiě)程序和調(diào)試程序一般都要經(jīng)過(guò) 4個(gè)步驟：編輯、編譯、連接以及執(zhí)行和調(diào)試。 對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，二次型性能指標(biāo)應(yīng)能使其在調(diào)節(jié)過(guò)程中不偏離倒立擺的控制區(qū)域且盡可能在系統(tǒng)的線(xiàn)性范圍內(nèi)，根據(jù)前面對(duì)二級(jí)倒立擺運(yùn)動(dòng)分析，在考慮倒立擺系統(tǒng)的各個(gè)狀態(tài)時(shí)，上擺偏角 2? 應(yīng)比下擺的偏角1? 重要，下擺的偏角 1? 應(yīng)比小車(chē)的位移 x 重要，因此要在選擇加權(quán)矩陣 Q和 R時(shí)反映這些要求。因此可得狀態(tài)反饋 量 : 1 TK R B P?? 。多輸入 多輸出系統(tǒng)可以化為等價(jià)的單輸入系統(tǒng)，進(jìn)而采用單輸入系統(tǒng)的極 點(diǎn)配置算法。將式 (32)代入式 (31)，可得閉環(huán)系統(tǒng)的狀態(tài)方程 為： ? ?X A BK X Bu? ? ? Y CX? (33) 顯然，閉環(huán)系統(tǒng)的特征多項(xiàng)式應(yīng)為 : ? ?d et 0SI A BK? ? ? (34) 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 23 因此通過(guò)改變 K陣使閉環(huán)系統(tǒng)有所需要的極點(diǎn)配置 ， 達(dá)到期望的性 能指標(biāo)要求。 隨著控制理論的不斷發(fā)展，在倒立擺這一經(jīng)典實(shí)驗(yàn)裝置上，已經(jīng)有多種控制方法得到了應(yīng)用。特別的，當(dāng)輸入控制量 ??ut為標(biāo)量時(shí)，能控性矩陣 CS 為方陣，即 ? ?Crank S n? 等價(jià)于行列式值 ? ?det 0CS ? 。而有些參數(shù)需要采用間接的方法得到，如擺桿的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量、小車(chē)的等效摩擦系數(shù)、轉(zhuǎn)軸的等效摩擦系數(shù)等。米 ； 2J :上擺對(duì)其重心的轉(zhuǎn)動(dòng)慣量，單位千克 ，齒型帶無(wú)拉長(zhǎng)現(xiàn)象，且傳遞作用的延遲忽略不計(jì)。 牛頓力學(xué)分析方法的注意力集中在與系統(tǒng)的各 部分相聯(lián)系的力和運(yùn)動(dòng)以及各部分之間的相互作用 。 對(duì)直線(xiàn)二級(jí)倒立擺這個(gè)典型的機(jī)電控制系統(tǒng)來(lái)說(shuō)，它具有以下特性： (1) 仿射非線(xiàn)性系統(tǒng) ： 倒立擺控制系統(tǒng)是一種典型的仿射非線(xiàn)性系統(tǒng)，可以應(yīng)用微分幾何方法進(jìn)行分析。 最后是結(jié) 論 。簡(jiǎn)要回顧控制理論的發(fā)展，對(duì)倒立擺系統(tǒng) 做 了簡(jiǎn)要介紹 ， 并詳細(xì)分析了倒立擺控制的研究發(fā)展?fàn)顩r和主要控制方法。 國(guó)內(nèi)從 80年代開(kāi)始對(duì)倒立擺進(jìn)行了研究 ， 1982年，西安交通大學(xué)完成了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制和控制，采用了最優(yōu)控制和降維觀測(cè)器，以模擬電路實(shí)現(xiàn) ； 1983年，國(guó)防科技大學(xué)完成了一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制和控制 ；1987年，上海機(jī)械學(xué)院完成了一、二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研制，并且完成了二級(jí)倒立擺在傾斜軌道上的控制。一方面 ， 由于倒立擺系統(tǒng)具有成本低廉，結(jié)構(gòu)簡(jiǎn)單，物理參數(shù)和結(jié)構(gòu)易于調(diào)整的優(yōu)點(diǎn)，在實(shí)驗(yàn)室條件下易于實(shí)現(xiàn) ； 此外對(duì)于倒立擺的穩(wěn)定控制，會(huì)涉及到控制中的許多關(guān)鍵問(wèn)題，比如鎮(zhèn)定問(wèn)題、跟蹤問(wèn)題、隨動(dòng)問(wèn)題、非線(xiàn)性問(wèn)題以及魯棒性問(wèn)題等，人們?cè)噲D通過(guò)倒立擺這樣一個(gè)復(fù)雜多變的控制對(duì)象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線(xiàn)性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，充分驗(yàn)證新的控制方法的有效性及可靠性。目前，在專(zhuān)家系統(tǒng)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)、模糊系統(tǒng)、遺傳算法等方面己經(jīng)取得了可喜的進(jìn)展 。 第二階段是現(xiàn)代控制理論階段。近年來(lái)，許多學(xué)者對(duì)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行廣泛地研究 。特別是近幾十年，航天航空航海和其它工業(yè)過(guò)程等領(lǐng)域的研究發(fā)展，不斷地向控制理論提出一系列挑戰(zhàn)性問(wèn)題，對(duì)這些問(wèn)題的研究和探索，有力地推動(dòng)控制理論和控制方法取得長(zhǎng)足發(fā)展，其發(fā)展通?？梢苑譃槿齻€(gè)階段 。隨著 被控系統(tǒng)的高度復(fù)雜性、高度不確定性以及人們對(duì)控制性能要求的提高 ， 經(jīng)典和現(xiàn)代控制理論面臨空前的挑戰(zhàn) 。 倒立擺系統(tǒng)的最初研究開(kāi)始于二十世紀(jì) 50年代，麻省理工學(xué)院設(shè)計(jì)出一級(jí)倒立擺實(shí)驗(yàn)設(shè)備，而后世界各國(guó)都將一級(jí)倒立擺控制作為驗(yàn)證某種控制理論或方法的典型方案。國(guó)外在 60年代就開(kāi)始了對(duì)一級(jí)倒立擺系統(tǒng)的研究，在 60年代后期，作為一個(gè)典型的不穩(wěn) 定、嚴(yán)重非線(xiàn)性例證提出了倒立擺的概念，并用其檢驗(yàn)控制方法對(duì)不穩(wěn)定、非線(xiàn)性和快速性系統(tǒng)的控制能力。 本人所做工作 本文主要是以倒立擺 的仿真控制 裝置為平臺(tái)，分析研究了極點(diǎn)配置、最優(yōu)控制方案，用 MATLAB和 SIMULINK對(duì)控制方案進(jìn)行了仿真，并實(shí)現(xiàn)了 直線(xiàn) 二級(jí)倒立擺 仿真 系統(tǒng)的控制。本章介紹了極點(diǎn)配置控制方案和線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制（ LQR） 方案，并介紹了極點(diǎn)配置理論 、極點(diǎn)配置算法、線(xiàn)性二次型最優(yōu)控制原理和 Q,R陣的選擇。機(jī)械部分包括底座，框架，滑軌，直流永磁式力矩電機(jī)，測(cè)速電機(jī)，電位器，齒型傳動(dòng)皮帶，小車(chē)，擺桿，觸發(fā)開(kāi)關(guān)以及一些連接軸等。豎直向下的狀態(tài)是系統(tǒng)穩(wěn)定的平衡點(diǎn) (考慮摩擦力的影響 )，而豎直向上的狀態(tài)是系統(tǒng)不穩(wěn)定的平衡點(diǎn)，開(kāi)環(huán)時(shí)微小的擾動(dòng)都會(huì)使系統(tǒng)離開(kāi)豎直向上的狀態(tài)而進(jìn)入到豎直向下的狀態(tài)中。 用拉格朗日方程可大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程。秒 /米 ； 1F :下擺桿與小車(chē)之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效摩擦力矩 1 1 1TF?? ，單位牛 此次設(shè)計(jì)作為仿真， 為了與實(shí)際采集系統(tǒng)相符合，也為了使計(jì)算方便，做如下變換 : Z TZ? ? ?1 2 1,Zx? ? ??? 1 0 00 1 00 1 1T???????? 于是有： 11Z TM T Z TN T Z TG u??? ? ? ? 取狀態(tài)變量： 1 1 2 1 1 2 1, , , , , TX x x? ? ? ? ? ???? ? ??? ? ?1 2 1, TYx? ? ??? 于是線(xiàn)性化后的六階狀態(tài)方程如下： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 19 X AX BuY CX Du???? （ 214） 其中： 3 3 3 321 22 660IA AA?????? ???? 332 660B B????????? 2110 0 0 0 00 0 0 0 00 0 0 0 0KCKK??????? 0D? ? ? ? ?? ? ? ?? ?1 1 1211 1 1220120 , 0 0 , 00 , 0 0 , 0 , 0 , 00 , 0 00A T NT T M F TA T M T T M N TGB T G T M? ? ?? ? ????? ? ? ????????????? 即 X AX Bu??,Y CX Du??是對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)進(jìn)行狀態(tài)空間分析的數(shù)學(xué)模型基礎(chǔ)。由于我們所關(guān)心的是系統(tǒng)在平衡點(diǎn)附近的性質(zhì)，因而可以根據(jù)前面得到的系統(tǒng)線(xiàn)性模型分析。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 22 第三章 直線(xiàn)二級(jí)倒立擺控制方案的設(shè)計(jì) 前一章己經(jīng)對(duì)二級(jí)倒立擺模型做了詳盡的分析和推導(dǎo)，獲得了它的狀態(tài)方程形式的線(xiàn)性數(shù)學(xué)模型 ，從分析中可以看出，二級(jí)倒立擺系統(tǒng)是完全可控、完全可觀測(cè)的。就是通過(guò)對(duì)狀態(tài)反饋矩陣的選擇，使閉環(huán)系統(tǒng)的極點(diǎn)配置在所希望的位置上，從而達(dá)到期望的性能指標(biāo)要求。這里只給出具體結(jié)果 ， 所求反饋增益矩陣 ： 1s C K A B 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 24 ? ?TK e P A? 其中：? ? 110 0 1Tne B A B A B ??????, ? ? ? ?? ? ? ?12 nP ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?,A、 B陣就是系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的參數(shù)矩陣， ? 是期望的極點(diǎn)向量。 ??Qt和 ??Rt 分別是對(duì) 狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)陣， ? ? ? ?12 TffX t FX t表示的是最終誤差，從理論上講 積分項(xiàng)中的第一項(xiàng)已經(jīng)包含了 終端誤差的成分，但是如果要特別強(qiáng)調(diào)終值誤差，則可以加 上這一項(xiàng)，反之就可以不用加了。 一般來(lái)說(shuō) ， 加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的 折中 上考慮的。因此， MATLAB語(yǔ)言也可以通俗地稱(chēng)為演算紙式 科學(xué)算法語(yǔ)言。因而，用戶(hù)可以根據(jù)自己的需要方便地建立和擴(kuò)充新的庫(kù)函數(shù)，以便提高 MATLAB 的使用效率和擴(kuò)充其他功能。 MATLAB 的每一個(gè)工具箱都為特定的學(xué)科和研究領(lǐng)域提供了豐富的分析處理工具，如控制系統(tǒng)工具箱 (Control Systems Toolbox)、信號(hào)處理工具箱 (Signal Processing Toolbox)、通信工具箱(Communication Toolbox)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱 (Neural Networks Toolbox)、小波分析工具箱 (Wavelets Toolbox)和仿真工具箱 (Simulation Toolbox)等。它與傳統(tǒng)的仿真軟件包微分方程和差分方程建模相比，具有更直觀、方便、靈活的優(yōu)點(diǎn)。 考慮到系統(tǒng)的復(fù)雜性， SIMULINK 另提供十二種類(lèi)型的擴(kuò)展系統(tǒng)庫(kù)，每一種又有多種模型供選擇。無(wú)干擾條件下控制系統(tǒng) Simulink 仿真圖如下圖所示： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 31 圖 41 無(wú)干擾 控制 系統(tǒng) Simulink 仿真框圖 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 32 對(duì)于上圖 41中設(shè)置的 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖為如下圖所示： 圖 42 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖 極點(diǎn)配置控制方案的仿真 為了使 系統(tǒng)有較好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性，通過(guò)反復(fù)仿真最終選取閉環(huán)極點(diǎn)為： ? ?3 2 6 7 8 9i? ? ? ? ? ? ? ?得反饋增益陣為： ? ?4 . 8 6 4 5 2 0 . 6 3 0 9 9 6 . 9 5 8 3 0 . 6 9 9 1 8 . 3 2