【正文】 論相結(jié)合的問題，要從實際出發(fā)來確定極點和零點在 復(fù)數(shù)平面上的分布。這里只給出具體結(jié)果 ， 所求反饋增益矩陣 ： 1s C K A B 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 24 ? ?TK e P A? 其中：? ? 110 0 1Tne B A B A B ??????, ? ? ? ?? ? ? ?12 nP ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ?,A、 B陣就是系統(tǒng)狀態(tài)方程描述的參數(shù)矩陣， ? 是期望的極點向量。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的設(shè)計 最優(yōu)控制就是在一定條件下，在完成所要求的控制任務(wù)時，使系統(tǒng)規(guī)定的性能指標具有最優(yōu)值的 一種控制。 ??Qt和 ??Rt 分別是對 狀態(tài)變量和控制量的加權(quán)陣， ? ? ? ?12 TffX t FX t表示的是最終誤差，從理論上講 積分項中的第一項已經(jīng)包含了 終端誤差的成分，但是如果要特別強調(diào)終值誤差，則可以加 上這一項，反之就可以不用加了。由此可見最優(yōu)控制器的設(shè)計的關(guān)鍵是選擇合適的加權(quán)陣 Q和 R，并據(jù)此計算出 黎卡提矩陣代數(shù)方程中的 P，就可以求出反饋增益 K。 一般來說 ， 加權(quán)矩陣 Q和 R的選取是在立足提高控制性能與降低控制能量消耗的 折中 上考慮的。 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 27 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 仿真軟件的介紹 MATLAB簡介 MATLAB 是在 20 世紀 80 年代初期，由美國的 MathWorks 軟件開發(fā)公司正式推出的一種數(shù)學工具軟件，它以矩陣運算為基礎(chǔ)，把計算、可視化、程序設(shè)計有機地融合到一個簡單易學的交互式工作環(huán)境中。因此， MATLAB語言也可以通俗地稱為演算紙式 科學算法語言。各個步驟之間是順序關(guān)系，編程的過程就是在它們之間做瀑布型的循環(huán)。因而，用戶可以根據(jù)自己的需要方便地建立和擴充新的庫函數(shù)，以便提高 MATLAB 的使用效率和擴充其他功能。本文即以 及其附帶的Simulink 仿真軟 件作為仿真軟件。 MATLAB 的每一個工具箱都為特定的學科和研究領(lǐng)域提供了豐富的分析處理工具，如控制系統(tǒng)工具箱 (Control Systems Toolbox)、信號處理工具箱 (Signal Processing Toolbox)、通信工具箱(Communication Toolbox)、神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)工具箱 (Neural Networks Toolbox)、小波分析工具箱 (Wavelets Toolbox)和仿真工具箱 (Simulation Toolbox)等。 Simulink 仿真工具箱簡介 在 中附帶有 Simulink 仿真工具箱。它與傳統(tǒng)的仿真軟件包微分方程和差分方程建模相比，具有更直觀、方便、靈活的優(yōu)點。 包括五種標準模式：延遲，零 極點，濾波器，離散傳遞函數(shù)，離散狀態(tài)空間。 考慮到系統(tǒng)的復(fù)雜性， SIMULINK 另提供十二種類型的擴展系統(tǒng)庫，每一種又有多種模型供選擇。 通過 SFUNCTION 模板構(gòu)造新功能模塊，即通過 MATLAB 或 C 語言程序，設(shè)計出可實現(xiàn)所需功能的新功能模塊。無干擾條件下控制系統(tǒng) Simulink 仿真圖如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 31 圖 41 無干擾 控制 系統(tǒng) Simulink 仿真框圖 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 32 對于上圖 41中設(shè)置的 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖為如下圖所示： 圖 42 Subsystem 模塊其內(nèi)部結(jié)構(gòu)圖 極點配置控制方案的仿真 為了使 系統(tǒng)有較好的穩(wěn)態(tài)響應(yīng)和瞬態(tài)響應(yīng)特性，通過反復(fù)仿真最終選取閉環(huán)極點為： ? ?3 2 6 7 8 9i? ? ? ? ? ? ? ?得反饋增益陣為： ? ?4 . 8 6 4 5 2 0 . 6 3 0 9 9 6 . 9 5 8 3 0 . 6 9 9 1 8 . 3 2 3 7 1 3 . 4 0 5 4K ? 其 Simulink仿真框圖如圖 41所示 ， 仿真時選取初始狀態(tài)為： 0x? ，1 ?? ， 2 0?? ，仿真結(jié)果如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 33 圖 43 小車 位移 圖 44 小車速度 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 34 圖 45 上擺桿角位移 圖 46 上擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 35 圖 47 下擺桿角位移 圖 48 下擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 36 圖 49 總體仿真曲線 經(jīng)過多次 仿真可知，極點配置法可以對倒立擺這樣的不穩(wěn)定系統(tǒng)進行有效的控制，穩(wěn)態(tài)性能較好。通過 多次 仿真 ， 還可得出 ： Q不變而 R減小時，系統(tǒng)的調(diào)節(jié)時間與超調(diào)量減小 ， 但穩(wěn)態(tài)誤差增大 ； 當 R不變而 Q變大時，調(diào) 節(jié)時間與超調(diào)量減小，擺桿的角度變化也同時減小，但穩(wěn)態(tài)誤差同時增大 ； 當 Q和 R的變化與上述兩種情況相反時，結(jié)論也相反。為了便于表達和說明，在原有的 Simulink仿真框圖加入一個相當于外部干擾信號的 Bandlimited White Noise模塊，其參 數(shù)設(shè)置為 10，其他參數(shù)如無干擾仿真設(shè)置一樣， Simulink仿真框圖如下圖所示： 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 41 圖 417 干擾條件下 控制 系統(tǒng) Simulink仿真框圖 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 42 極點配置控制方案的仿真 圖 418 小車位移 圖 419 小車速度 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 43 圖 420 上擺桿角位移 圖 421 上擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 44 圖 422 下 擺桿角位移 圖 423 下擺桿角速度 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 45 圖 424 總體仿真曲線 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 圖 425 小車位移 河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 46 圖 426 小車速度 圖 427 上擺桿角位。在控制系統(tǒng)設(shè)計中， Q和 R的選取應(yīng)根據(jù)上述規(guī)律并結(jié)合實際情況協(xié)調(diào)進行。 線性二次型最優(yōu)控制 (LQR)方案的仿真 由于系統(tǒng)的非線性是固有的，片面追求系統(tǒng)的線性行為是不合理的，重要的是使采用線性模型設(shè)計的控制器能夠克服系統(tǒng)非線性來適應(yīng)對應(yīng)參數(shù)的變化，并具有一定的魯棒性。使用時只要建立好自己的模塊或從各子庫中取出模型，定義好模型參數(shù)，將各模型連接起來，然后設(shè)置系統(tǒng)參數(shù)，如仿真時間、仿真步長、計算方法等，就可以進行使 用。要建立自己的模型，主要有如下三種方法 : 用現(xiàn)有模型組合成新的自定義功能模型。 提供十三種常用標準模式：絕對值、乘法、函數(shù)、回環(huán)特性、死區(qū)特性、斜率、繼電器特性、飽和特性、開關(guān)特性等。 號源庫 包 括階躍信號、正弦波、白噪聲、時鐘、常值、文件、信號發(fā)生器等各種信號源，其中信號發(fā)生器可產(chǎn)生正弦波、方波、鋸齒波、隨機信號等波形。在Simulink 環(huán)境中，利用鼠標就可以在模型窗口中直觀地做出 系統(tǒng)模型，然后直接進行仿真。當然也有可能涉及到 SimPowerSystem 工具箱、 SimExtra 工具箱。 為 主包和數(shù)十個可選的工具箱 (Tool boxs)組成。 正是由于這些特點，是 MATLAB 語言得到了廣泛的應(yīng)用。它能在同一畫面上進行靈活操作 ,快速排除程序中的書寫錯誤、語法錯誤乃至語義錯誤，從而加快河南理工大學畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 28 了用戶編寫、修改和調(diào)試程序的速度，可以說在編程和調(diào)試過程中它是一種比 VB 還要簡單的語言。 （ 2） 語句簡單，用戶使用方便 MATLAB 語言是一種解釋執(zhí)行的語言（在沒被專門的工具編譯之前），它靈活、方便，其調(diào)試程序手段豐富，調(diào)試速度快，需要學習時間少。 經(jīng)過這些年的不斷更新 ，它的交互性越來越好，功能也越來越強大，目前， MATLAB 軟件已成為了國際上公認的、應(yīng)用最廣泛的優(yōu)秀數(shù)學應(yīng)用軟件之一， MATLAB 為用戶提供了豐富而實用的資源，它涵蓋了許多門類的科學研究，如數(shù)學、控制、通信、數(shù)字信號處理、數(shù)字圖像處理和經(jīng)濟等。這樣可以看出 1q 是對狀態(tài)ix 平方的加權(quán)， 1q 相對增大就意味著對 ix 的要求較嚴； R 是對控制量 u 平方的加權(quán)， 當 R相對較大，意味著控制費用增高，使得控制能量較小 ， 反饋減弱 ， 當 R相對 很 小時，控制費用較低，反饋增強 ， 系統(tǒng)動態(tài)響應(yīng)迅速 。二次 型性能指標與實際工程意義的品質(zhì)指標間的聯(lián)系至今未完全建立。 一般情況下加權(quán)陣取為定常矩陣 即 Q 和 R ， 首先構(gòu)造一個哈密爾頓函數(shù)： ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?12 T T TH X t Q X t U t R U t A X t B U t???? ? ? ? ??????? （ 38） 當輸入信號不受約束時，則可對哈密爾頓函數(shù)求導(dǎo)并令其值為 0，求出最 小值 ? ? ? ? 0TH R U t B tU ?? ? ? ? ?? ,從而得到最優(yōu)控制信號為 : ? ? ? ?1U Tt R B t???? (39) 其中 ??t? 可由下式求出 : ? ? ? ? ? ?t P t X t? ?? , ??Pt 即為黎卡提微分方程的解 : ? ? ? ? ? ? ? ? ? ?1TTP t P t A A P t P t B R B P t Q?? ? ? ? ? (310) 當 ft ?? ， ??Pt 趨近于一個常值矩陣，且 ?? 0Pt? ，故： 1 0TTP A A P P B R B P Q?? ? ? ? (311) 此式稱為黎卡提矩陣代數(shù)方程。線性二次型控制理論已成為反饋系統(tǒng)設(shè)計的一種重要工具。 確定能否完成預(yù)定的閉環(huán)極點配置綜合目標 ； 2)計算 A的特征多項式，即開環(huán)系統(tǒng)的特征多項式 (35)的 n 個系數(shù) 1a ； 3)由給定的動態(tài)指標或閉環(huán)極點要求確定閉環(huán)特征多項式 (36)的 n 個系數(shù) 1? ； 4)計算 矩陣 ? ?0 0 1 1 1 1nnK a a a? ? ? ??? ? ? ?； 5)計算變換陣 T: 1 2 1231111101 0 01 0 0 0nnna a aaaT B A B A Ba??????????? ?????? 計算所求的增益陣 K KT? GuraBass算法不僅適用于單輸入 單輸出系統(tǒng)，也同樣適用于單輸入多輸出系統(tǒng)。此方法較為簡單，但只適合于低階系統(tǒng)。 控制規(guī)律選擇為線性狀態(tài)反饋，即 : U u KX?? (32) 式中， ? ?1 2 3 nK k k k k? 。經(jīng)典控制理論中通常用調(diào)整開環(huán)增益及引入串、并聯(lián)校正裝置來配置閉環(huán)極點。所設(shè)計的控制系統(tǒng)應(yīng)該盡可能簡單，容易實現(xiàn)，并有一定的抗 干 擾能力。 還可以計算得出 ? ? 6Crank S ? ， ? ?0 6rank S ? ， 根據(jù)定理 1和定理 2可知：系統(tǒng)是完全可控和完全可觀的。 定理 1(能控性判據(jù) ) n 階線性定常連續(xù)系 統(tǒng) X AX Bu??狀態(tài)完全能控，當且僅當系統(tǒng)的能控性矩陣 ： 21 nCS B A B A B A B???? ??滿秩，即 ? ?Crank S n? 。 一般擺桿豎直向上是系統(tǒng)的不穩(wěn)定平衡點，需要設(shè)計控制器來鎮(zhèn)定系統(tǒng)。有些參數(shù)可以直接測得，如上下擺的質(zhì)量、長度、擺桿的重心到轉(zhuǎn)軸的距離、小車的質(zhì)量等。 T為小車和各級倒立擺的總動能， V為小車和各級倒立擺的總勢能， D為小車和各級倒立擺的總耗散能 。秒 /弧度 ； 1J :下擺對其重心的轉(zhuǎn)動慣量，單位千克 ， 擺桿沒有在與滑軌成垂直方向上的運動。 系統(tǒng) 數(shù)學建模參數(shù)的設(shè)定 在推導(dǎo) 直線 二級擺系統(tǒng)的數(shù)學模型前，為了明確物理意義和推導(dǎo)的方便，忽略了一些次要的因素，做出以下假設(shè) : 。 ③ 拉格朗日方程具有很好的對稱性，即對于同一位形空間中的每個坐標而言各方程都具有相同的形式。 系統(tǒng)的數(shù)學建模 兩種數(shù)學建模方法的比較 倒立擺系統(tǒng)適合用數(shù)學工具進行理論推導(dǎo) ， 目前 ， 人們對倒立擺系統(tǒng)建模一般采用兩種方法 ： 牛頓力學分析方法、歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )。這既是可 采用單電機驅(qū)動倒立擺控制系統(tǒng)的原因，也是使得控制系統(tǒng)的設(shè)計、控制器參數(shù)調(diào)節(jié)變