【正文】 2( 2 c o s ( ) ( ( 2 2 ) c o s 2 s in ( ) ( 2 2 ) s in )4( 4 4 ) ( c o s 2 s in ( ) s in s in s in ) )3R m l l m m m l x m l l m m m g lm m m l m l x m l l m l x m g l m l x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 3 2 1 244( 2 c o s ( ) ( 4 4 ) )33S m l l m m m m l l??? ? ? ? ? 式 (35)和式 (36)可表示成以下形式： 1 1 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (37) 2 2 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (38) 在平衡位置附近進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，可以得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 5 1 1 6 2 1 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (39) 其中， 1 2 1 21110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31121 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 2 2 ) ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 212132 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 2 1 .6 22 ( 4 3 1 2 )xxxf g mk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21140 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21151 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21162 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31170 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 13 ( 4 ) 6 . 6 42 ( 4 6 1 2 )xxxm m mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 4 2 5 1 2 6 2 2 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (310) 其中， 1 2 1 22210 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32221 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 2 2 ) ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21 2 32232 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 3 3 ) ( 4 6 12 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 22240 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22251 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22262 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32270 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 23 ( ) 0 . 0 8 82 ( 4 3 1 2 )xxxm l mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 對于二級倒立擺系統(tǒng)，取以下六個變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量： ? ?1 2 1 2, , , , ,xx? ? ? ? 并且取小車加速度為輸入變量，即： ux? 那么，由式 (39)和式 (310)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達式： 112211220 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 8 6 .6 9 2 1 .6 2 0 0 0 6 .6 40 4 0 .3 1 3 9 .4 5 0 0 0 0 .0 8 8x xuxx?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ????? (311) 12121 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0xxyux????????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? 倒立擺系統(tǒng)的定性分析 相關(guān)定理簡介 在得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為了進一步的了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對系統(tǒng)的特性進行分析，最主要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性。 3)小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力與小車速度成正比。 直線二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型 考慮到牛頓力學(xué)建模需要對許多微分方程進行處理，在進行二級倒立擺建模時，大量微分方程的運算會使建模變得很復(fù)雜，所以本文采用分析力學(xué)中的Lagrange 方程建模。系統(tǒng)建?？梢苑譃閮煞N：實驗建模和機理建模。用戶只需要安裝相關(guān)的 軟件、一個編譯器和 I/O 設(shè)備板卡，就可將一個 PC 機用作實時系統(tǒng)并通過 I/O 設(shè)備與外部設(shè)備進行連接。在 WINDOWS 平臺上進行實時仿真實驗，如果實驗效果不太理想，很難說明到底是因為算法結(jié)構(gòu)或參數(shù)設(shè)計不當(dāng)?shù)脑蜻€是因為該平臺實時性達不到要求的原因。 圖 WINDOWS 方式 圖 MATLAB 實時內(nèi)核方式 對于第一種方式，理論上能夠完成硬件在回路仿真的任務(wù)，而且目前大多數(shù) 外部設(shè)備制造商都向客戶提供其產(chǎn)品基于 WINDOWS 平臺的驅(qū)動程序，實現(xiàn)起 來并不復(fù)雜。 在 MATLAB 下實現(xiàn)硬件在回路實時仿真，一般可以通過兩種渠道來完成。 RTW 是 MATLAB 圖形建模和仿真環(huán)境 Simulink 的一個重要的補充功能模塊，提供了一個實時的開發(fā)環(huán)境 — 從系統(tǒng)設(shè)計到硬件實現(xiàn)的直接途徑。運動方式可為單軸點位運動、直線 /圓弧插補、速度控制等；網(wǎng)絡(luò)接口可為以太網(wǎng)、 RS232 或 RS422/485，適合標準 ISA， PC 104 和 PCI 總線；控制電機可以是伺服或步進電機；控制方式可為閉環(huán)或開環(huán)控制，其控制周期用戶可調(diào)，看門狗實時監(jiān)控 DSP 工作狀態(tài)；輸 出方式采用模擬量輸出或脈沖輸出，模擬量輸出 10V~+10V，脈沖量輸出最高輸出 1 MHz，同時設(shè)置跟隨誤差極限、加速度極限及控制輸出極限。 (3)運動控制器 運動控制器的型號種類有很多，它以 IBMPC 及其兼容機為主機，提供了標準的 ISA 總線 (PC104)和 PCI 總線兩個系列的產(chǎn)品。控制方式分為電壓控制和頻率控制兩種方式，異步電機通常采用電壓控制方式。由于光電編碼器輸出的檢測信號是數(shù)字信號，因此可以直接進入計算機進行處理，不需放大和轉(zhuǎn)換等過程，使用非常方便，因此應(yīng)用越來越廣泛。 光電式增量編碼器的測量精度取決于它所能分辨的最小角度 a(分辨角、分辨率 )，而這與碼盤圓周內(nèi)所分狹縫的線數(shù)有關(guān)。 旋轉(zhuǎn)編碼器是一種角位移傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應(yīng)式三種，其中光電式脈沖編碼器是閉環(huán)控制系統(tǒng)中最常用的位置傳感器。在軌道一端裝有用來測量小車位移的光電編碼器。 圖 直線二級倒立擺組成框圖 光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號反饋給伺服驅(qū)動器和運動控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號由光電碼盤 2 反饋回控制卡和伺服驅(qū)動器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號則由光電碼盤 3 反饋。 (5)約束限制 由于機構(gòu)的限制，如運動模塊行程限制，電機力矩限制等。實際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。 倒立擺的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性 : (1)非線性 倒立擺是一個典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，為了方便研究，可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進行控制。 第二章 倒立擺系統(tǒng) 倒立擺分類 倒立擺按結(jié)構(gòu)來分，有以下類型： (1)直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運動模塊上裝有擺體組件，直線運動模塊有一個自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運動，在小車上裝載 不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個可以沿導(dǎo)軌滑動的小車，并且在主動小車和從動小車之間增加了一個彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。從而驗證了所設(shè)計控制器的有效性。 (5)針對二級倒立擺系統(tǒng)，討論了倒立擺系統(tǒng)的模糊控制方法。具體內(nèi)容如下： (1)初步了解目前倒立擺的研究現(xiàn)狀以及研究熱點，認識到了隨著控制理論的不斷發(fā)展和完善，智能控制器越來 越受到專家學(xué)者的關(guān)注。北京示范大學(xué)李洪興教授采用變論域自適應(yīng)模糊控制理論研究四級倒立擺的控制問題，成功實現(xiàn)了四級倒立擺實物系統(tǒng)控制。將 Q 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實現(xiàn)了狀態(tài)未離散化的倒立擺的模型學(xué)習(xí)控制。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來實現(xiàn)倒立擺的平衡控制，迄今已經(jīng)取得了不少成果。 1996 年，張乃堯等采用模糊雙閉環(huán)控制方案成功的實現(xiàn)對一級倒立擺的穩(wěn)定 控制。模糊控制是采用模糊化、模糊推理、解模糊等運算的模糊控制方法，其主要工作是模糊控制器的設(shè)計。目前主要有三種狀態(tài)反饋的方法來設(shè)計倒立擺控制器，即極點配置調(diào)節(jié)器的方法、 LQR 最優(yōu)調(diào)節(jié)器的方法和 LQY 最優(yōu)調(diào)節(jié)器的方法，試驗表明，用這三種方法不僅對一級倒立擺可以成功的控制，二級倒立擺的控制效果也不錯。為此，需要引入適當(dāng)?shù)姆答?，使閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都位于左平面上。 1. 2 倒立擺的控制算法 多少年來，國內(nèi)外不少專家學(xué)者對倒立擺進行了大量的研究，人們試圖尋找不同的控制方法實現(xiàn)對倒立擺的控制。人們試圖通過倒立擺這樣的一個典型對象，檢驗新的控制方法是否有較強的處理多變量、非線性和絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中找到最優(yōu)秀的控制方法。最后，設(shè)計出了二級倒立擺的穩(wěn)定模糊控制器，經(jīng)過實物實驗，成功的實現(xiàn)二級倒立擺的 穩(wěn)定控制。 2)二級倒立擺的模糊控制器設(shè)計。實物控制的成功進一步證明了本文所設(shè)計的控制器具有很好的穩(wěn)定性和抗干擾性。 基于智能控制算法的二級倒立擺控制器設(shè)計 第一章 緒論 倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強耦合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。 本文圍繞二級直線倒立擺系統(tǒng)，設(shè)計模糊控制器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對二級倒立擺實現(xiàn)穩(wěn)定控制。同時，從相對可控度方面指出了二級倒立擺的相對可控度要比一級倒立擺小很多，更難以控制。為此，基于 LQR 最優(yōu)二次理論，得出反饋矩陣，并以此構(gòu)造出了降維矩陣，把狀態(tài)變量進行有效的合并。 4) 二級倒立擺實物調(diào)試 完成了對二級倒立擺實物的模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 倒立擺系統(tǒng)研究的意義 倒立擺系統(tǒng)的研究涉及到機器人技術(shù)、控制理論、計算機控制等多個領(lǐng)域， 其本身是一個絕對不穩(wěn)定、高階次、多變量、強耦合的非線性系統(tǒng)，作為一個典型的控制對象一直以來受到不少專家學(xué)者的關(guān)注 與研究。所以說，倒立擺系統(tǒng)的研究不僅具有深刻的理論意義，而且具有深遠的現(xiàn)實價值。根據(jù)對系統(tǒng)的力學(xué)分析，應(yīng)