【正文】 2( 2 c o s ( ) ( ( 2 2 ) c o s 2 s in ( ) ( 2 2 ) s in )4( 4 4 ) ( c o s 2 s in ( ) s in s in s in ) )3R m l l m m m l x m l l m m m g lm m m l m l x m l l m l x m g l m l x? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? 2 2 2 2 2 22 1 2 1 2 1 2 3 2 1 244( 2 c o s ( ) ( 4 4 ) )33S m l l m m m m l l??? ? ? ? ? 式 (35)和式 (36)可表示成以下形式： 1 1 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (37) 2 2 1 2 1 2( , , , , , , )f x x x? ? ? ? ?? (38) 在平衡位置附近進(jìn)行泰勒級(jí)數(shù)展開，并線性化，可以得到： 1 1 1 1 2 1 1 3 2 1 4 1 5 1 1 6 2 1 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (39) 其中， 1 2 1 21110 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31121 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 2 2 ) ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 212132 1 2 3 10 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 2 1 .6 22 ( 4 3 1 2 )xxxf g mk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21140 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21151 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21162 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 31170 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 13 ( 4 ) 6 . 6 42 ( 4 6 1 2 )xxxm m mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 2 2 1 2 2 1 2 3 2 2 4 2 5 1 2 6 2 2 7k x k k k x k k k x? ? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? (310) 其中， 1 2 1 22210 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32221 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 09 ( 2 2 ) ( 4 3 1 2 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ?? ? ??? ? ? ?? ? ? 1 2 1 21 2 32232 1 2 3 20 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 03 ( 3 3 ) ( 4 6 12 )xxxg m m mfk m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? ? ?? ? ? 1 2 1 22240 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 0xxxfk x? ? ? ?? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22251 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 22262 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 00xxxfk? ? ? ?? ? ? ? ? ? ? ????? 1 2 1 21 2 32270 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 , 0 1 2 3 23 ( ) 0 . 0 8 82 ( 4 3 1 2 )xxxm l mfk x m m m l? ? ? ?? ? ? ? ? ? ???? ? ? ?? ? ? 對(duì)于二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，取以下六個(gè)變量為系統(tǒng)的狀態(tài)變量： ? ?1 2 1 2, , , , ,xx? ? ? ? 并且取小車加速度為輸入變量，即： ux? 那么，由式 (39)和式 (310)可以得到系統(tǒng)的狀態(tài)空間表達(dá)式： 112211220 0 0 1 0 0 00 0 0 0 1 0 00 0 0 0 0 1 00 0 0 0 0 0 10 8 6 .6 9 2 1 .6 2 0 0 0 6 .6 40 4 0 .3 1 3 9 .4 5 0 0 0 0 .0 8 8x xuxx?????????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ????? ? ? ??? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ??? ? ??? ? ? ????? (311) 12121 0 0 0 0 0 01 0 1 0 0 0 0 02 0 0 1 0 0 0 0xxyux????????????? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ?? ? ? ? ? ????????? 倒立擺系統(tǒng)的定性分析 相關(guān)定理簡(jiǎn)介 在得到系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型后，為了進(jìn)一步的了解系統(tǒng)性質(zhì)，需要對(duì)系統(tǒng)的特性進(jìn)行分析，最主要的是系統(tǒng)的穩(wěn)定性、可控性和可觀性。 3)小車與導(dǎo)軌之間的摩擦力與小車速度成正比。 直線二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型 考慮到牛頓力學(xué)建模需要對(duì)許多微分方程進(jìn)行處理，在進(jìn)行二級(jí)倒立擺建模時(shí)，大量微分方程的運(yùn)算會(huì)使建模變得很復(fù)雜，所以本文采用分析力學(xué)中的Lagrange 方程建模。系統(tǒng)建模可以分為兩種：實(shí)驗(yàn)建模和機(jī)理建模。用戶只需要安裝相關(guān)的 軟件、一個(gè)編譯器和 I/O 設(shè)備板卡，就可將一個(gè) PC 機(jī)用作實(shí)時(shí)系統(tǒng)并通過 I/O 設(shè)備與外部設(shè)備進(jìn)行連接。在 WINDOWS 平臺(tái)上進(jìn)行實(shí)時(shí)仿真實(shí)驗(yàn)，如果實(shí)驗(yàn)效果不太理想，很難說明到底是因?yàn)樗惴ńY(jié)構(gòu)或參數(shù)設(shè)計(jì)不當(dāng)?shù)脑蜻€是因?yàn)樵撈脚_(tái)實(shí)時(shí)性達(dá)不到要求的原因。 圖 WINDOWS 方式 圖 MATLAB 實(shí)時(shí)內(nèi)核方式 對(duì)于第一種方式，理論上能夠完成硬件在回路仿真的任務(wù)，而且目前大多數(shù) 外部設(shè)備制造商都向客戶提供其產(chǎn)品基于 WINDOWS 平臺(tái)的驅(qū)動(dòng)程序，實(shí)現(xiàn)起 來并不復(fù)雜。 在 MATLAB 下實(shí)現(xiàn)硬件在回路實(shí)時(shí)仿真，一般可以通過兩種渠道來完成。 RTW 是 MATLAB 圖形建模和仿真環(huán)境 Simulink 的一個(gè)重要的補(bǔ)充功能模塊，提供了一個(gè)實(shí)時(shí)的開發(fā)環(huán)境 — 從系統(tǒng)設(shè)計(jì)到硬件實(shí)現(xiàn)的直接途徑。運(yùn)動(dòng)方式可為單軸點(diǎn)位運(yùn)動(dòng)、直線 /圓弧插補(bǔ)、速度控制等；網(wǎng)絡(luò)接口可為以太網(wǎng)、 RS232 或 RS422/485，適合標(biāo)準(zhǔn) ISA， PC 104 和 PCI 總線；控制電機(jī)可以是伺服或步進(jìn)電機(jī)；控制方式可為閉環(huán)或開環(huán)控制，其控制周期用戶可調(diào)，看門狗實(shí)時(shí)監(jiān)控 DSP 工作狀態(tài)；輸 出方式采用模擬量輸出或脈沖輸出，模擬量輸出 10V~+10V，脈沖量輸出最高輸出 1 MHz，同時(shí)設(shè)置跟隨誤差極限、加速度極限及控制輸出極限。 (3)運(yùn)動(dòng)控制器 運(yùn)動(dòng)控制器的型號(hào)種類有很多，它以 IBMPC 及其兼容機(jī)為主機(jī)，提供了標(biāo)準(zhǔn)的 ISA 總線 (PC104)和 PCI 總線兩個(gè)系列的產(chǎn)品。控制方式分為電壓控制和頻率控制兩種方式，異步電機(jī)通常采用電壓控制方式。由于光電編碼器輸出的檢測(cè)信號(hào)是數(shù)字信號(hào)，因此可以直接進(jìn)入計(jì)算機(jī)進(jìn)行處理，不需放大和轉(zhuǎn)換等過程，使用非常方便，因此應(yīng)用越來越廣泛。 光電式增量編碼器的測(cè)量精度取決于它所能分辨的最小角度 a(分辨角、分辨率 )，而這與碼盤圓周內(nèi)所分狹縫的線數(shù)有關(guān)。 旋轉(zhuǎn)編碼器是一種角位移傳感器，它分為光電式、接觸式和電磁感應(yīng)式三種，其中光電式脈沖編碼器是閉環(huán)控制系統(tǒng)中最常用的位置傳感器。在軌道一端裝有用來測(cè)量小車位移的光電編碼器。 圖 直線二級(jí)倒立擺組成框圖 光電碼盤 1 將小車的位移、速度信號(hào)反饋給伺服驅(qū)動(dòng)器和運(yùn)動(dòng)控制卡，下面一節(jié)擺桿（和小車相連）的角度、角速度信號(hào)由光電碼盤 2 反饋回控制卡和伺服驅(qū)動(dòng)器，上面一節(jié)擺桿的角度和角速度信號(hào)則由光電碼盤 3 反饋。 (5)約束限制 由于機(jī)構(gòu)的限制，如運(yùn)動(dòng)模塊行程限制，電機(jī)力矩限制等。實(shí)際控制中一般通過減少各種誤差來降低不確定性，如通過施加預(yù)緊力減少皮帶或齒輪的傳動(dòng)誤差，利用滾珠軸承減少摩擦阻力等不確定因素。 倒立擺的特性 雖然倒立擺的形式和結(jié)構(gòu)各異，但所有的倒立擺都具有以下的特性 : (1)非線性 倒立擺是一個(gè)典型的非線性復(fù)雜系統(tǒng)，為了方便研究，可以通過線性化得到系統(tǒng)的近似模型，線性化處理后再進(jìn)行控制。 第二章 倒立擺系統(tǒng) 倒立擺分類 倒立擺按結(jié)構(gòu)來分，有以下類型： (1)直線倒立擺系列 直線倒立擺是在直線運(yùn)動(dòng)模塊上裝有擺體組件，直線運(yùn)動(dòng)模塊有一個(gè)自由度，小車可以沿導(dǎo)軌水平運(yùn)動(dòng)，在小車上裝載 不同的擺體組件，可以組成很多類別的倒立擺，直線柔性倒立擺和一般直線倒立擺的不同之處在于，柔性倒立擺有兩個(gè)可以沿導(dǎo)軌滑動(dòng)的小車，并且在主動(dòng)小車和從動(dòng)小車之間增加了一個(gè)彈簧，作為柔性關(guān)節(jié)。從而驗(yàn)證了所設(shè)計(jì)控制器的有效性。 (5)針對(duì)二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，討論了倒立擺系統(tǒng)的模糊控制方法。具體內(nèi)容如下： (1)初步了解目前倒立擺的研究現(xiàn)狀以及研究熱點(diǎn)，認(rèn)識(shí)到了隨著控制理論的不斷發(fā)展和完善，智能控制器越來 越受到專家學(xué)者的關(guān)注。北京示范大學(xué)李洪興教授采用變論域自適應(yīng)模糊控制理論研究四級(jí)倒立擺的控制問題，成功實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控制。將 Q 學(xué)習(xí)算法和 BP 神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)有效結(jié)合，實(shí)現(xiàn)了狀態(tài)未離散化的倒立擺的模型學(xué)習(xí)控制。用神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)方法來實(shí)現(xiàn)倒立擺的平衡控制，迄今已經(jīng)取得了不少成果。 1996 年，張乃堯等采用模糊雙閉環(huán)控制方案成功的實(shí)現(xiàn)對(duì)一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定 控制。模糊控制是采用模糊化、模糊推理、解模糊等運(yùn)算的模糊控制方法，其主要工作是模糊控制器的設(shè)計(jì)。目前主要有三種狀態(tài)反饋的方法來設(shè)計(jì)倒立擺控制器，即極點(diǎn)配置調(diào)節(jié)器的方法、 LQR 最優(yōu)調(diào)節(jié)器的方法和 LQY 最優(yōu)調(diào)節(jié)器的方法，試驗(yàn)表明，用這三種方法不僅對(duì)一級(jí)倒立擺可以成功的控制，二級(jí)倒立擺的控制效果也不錯(cuò)。為此，需要引入適當(dāng)?shù)姆答?，使閉環(huán)系統(tǒng)特征方程的根都位于左平面上。 1. 2 倒立擺的控制算法 多少年來，國(guó)內(nèi)外不少專家學(xué)者對(duì)倒立擺進(jìn)行了大量的研究，人們?cè)噲D尋找不同的控制方法實(shí)現(xiàn)對(duì)倒立擺的控制。人們?cè)噲D通過倒立擺這樣的一個(gè)典型對(duì)象，檢驗(yàn)新的控制方法是否有較強(qiáng)的處理多變量、非線性和絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)的能力，從而從中找到最優(yōu)秀的控制方法。最后，設(shè)計(jì)出了二級(jí)倒立擺的穩(wěn)定模糊控制器，經(jīng)過實(shí)物實(shí)驗(yàn)，成功的實(shí)現(xiàn)二級(jí)倒立擺的 穩(wěn)定控制。 2)二級(jí)倒立擺的模糊控制器設(shè)計(jì)。實(shí)物控制的成功進(jìn)一步證明了本文所設(shè)計(jì)的控制器具有很好的穩(wěn)定性和抗干擾性。 基于智能控制算法的二級(jí)倒立擺控制器設(shè)計(jì) 第一章 緒論 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng)耦合的自然不穩(wěn)定系統(tǒng)。 本文圍繞二級(jí)直線倒立擺系統(tǒng)，設(shè)計(jì)模糊控制器和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制器對(duì)二級(jí)倒立擺實(shí)現(xiàn)穩(wěn)定控制。同時(shí)，從相對(duì)可控度方面指出了二級(jí)倒立擺的相對(duì)可控度要比一級(jí)倒立擺小很多，更難以控制。為此，基于 LQR 最優(yōu)二次理論，得出反饋矩陣，并以此構(gòu)造出了降維矩陣，把狀態(tài)變量進(jìn)行有效的合并。 4) 二級(jí)倒立擺實(shí)物調(diào)試 完成了對(duì)二級(jí)倒立擺實(shí)物的模糊控制和神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制 倒立擺系統(tǒng)研究的意義 倒立擺系統(tǒng)的研究涉及到機(jī)器人技術(shù)、控制理論、計(jì)算機(jī)控制等多個(gè)領(lǐng)域， 其本身是一個(gè)絕對(duì)不穩(wěn)定、高階次、多變量、強(qiáng)耦合的非線性系統(tǒng)，作為一個(gè)典型的控制對(duì)象一直以來受到不少專家學(xué)者的關(guān)注 與研究。所以說，倒立擺系統(tǒng)的研究不僅具有深刻的理論意義，而且具有深遠(yuǎn)的現(xiàn)實(shí)價(jià)值。根據(jù)對(duì)系統(tǒng)的力學(xué)分析，應(yīng)