【正文】 1）設：，，，已知：，，，式（41）可轉換為： （42）進一步化解得： （43） （44）式（43）和式（44）聯(lián)立得： （45）把式（45）代入式（43）得： （46）把上式寫成S函數(shù)得： (47)在Simulink中建立一個S函數(shù)模塊（如下圖），并用上式完成它的程序，等待下面調用。 S函數(shù)模塊 本章小結本章首先對仿真中用到的MATLAB仿真軟件及動態(tài)仿真集成環(huán)境—Simulink進行了簡單的介紹，然后通過一級倒立擺的數(shù)學模型的進一步化解，把其編成S函數(shù)程序(附錄A)，建立倒立擺S函數(shù)仿真模塊，等待后面系統(tǒng)仿真時調用。第五章 一級倒立擺線性模型系統(tǒng)的仿真 及仿真結果分析 倒立擺控制器結構選擇下面來討論如何利用狀態(tài)反饋控制理論來設計一級倒立擺的控制器。一級倒立擺系統(tǒng)是一個單輸入兩輸出的系統(tǒng)，其中輸入為控制電壓，輸出為擺桿的角度偏移和小車的位置偏移量。一級倒立擺系統(tǒng) θ u x 一級倒立擺線性模型系統(tǒng)仿真本文以MATLAB為工具，將極點配置、線性二次最優(yōu)（LQR）與狀態(tài)觀測器結合起來，進行仿真研究，以便驗證線性系統(tǒng)理論應用與非線性系統(tǒng)線性模型的有效值。一級倒立擺系統(tǒng)的狀態(tài)變量共有四個，分別是擺角，擺角角速度，小車位移，小車速度，為了得到良好的控制效果，我們需要綜合考慮這四個狀態(tài)變量。然而，四個狀態(tài)變量中的兩個變量可以由傳感器得到，但是另外兩個卻不能直接得到，所以我在這里通過構造全維狀態(tài)觀測器來獲得全部變量的信息，以便能求得狀態(tài)反饋增益矩陣來鎮(zhèn)定一級倒立擺這個穩(wěn)定系統(tǒng)。一般來說，如果狀態(tài)觀測器構造的比較好，使用的重構的等價狀態(tài)變量進行狀態(tài)反饋和使用原狀態(tài)變量進行狀態(tài)反饋沒有什么太大的區(qū)別。因此，這里用觀測誤差曲線來評價觀測器的性能。我們根據(jù)第三章中一級倒立擺的狀態(tài)方程和輸出方程：其中，狀態(tài)方程中的系數(shù)矩陣滿足式（28），來評價觀測器的性能。此時。（LQR）兩種方法中設計的狀態(tài)反饋矩陣，進行一級倒立擺系統(tǒng)的仿真試驗。具體MATLAB仿真程序如下：1. 一級倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應%一級倒立擺系統(tǒng)的開環(huán)階躍響應clear all；A=[0 1 0 0； 0 ；0 0 0 1； 0 ]；B=[0；；0；]；C=[1 0 0 0]；D=0；t=0：：1；[y，x]=step(A，B，C，D，1，t)；plot(t，y)；title(‘一級倒立擺系統(tǒng)階躍響應’)；xlabel(‘Timesec’)；ylabel(‘Response’)；Grid； 一級倒立擺的階躍響應我們從圖（）上可以看到，校正以前系統(tǒng)的階躍響應是不穩(wěn)定的，如圖上看，曲曲線是發(fā)散的，不穩(wěn)定，以極快的速度趨于無窮。2. 線性二次型最優(yōu)控制器的設計%線性二次型最優(yōu)控制器A=[0 1 0 0； 0 ；0 0 0 1； 0 ]；B=[0；；0；]；C=[1 0 0 0]；D=0；Q=diag([100，1，1，1])；R=1；[K，P，r]=lqr(A，B，Q，R)；t=0：：50；figure(1)；step(AB*K，B，C，D，1，t)，figure(2)；[y，x，t]=step(AB*K，B，C，D，1，t)；plot(t，x)； 小車位移及四個狀態(tài)變量的響應曲線我們從圖（）上可以看到，采用線性二次型最優(yōu)控制器校正以后，系統(tǒng)的階躍響應是趨于穩(wěn)定的，小車位移經過一個短暫振蕩后足漸趨于0，使倒立擺穩(wěn)定在平衡位置，使擺角穩(wěn)定在接近于0度的位置。3. 極點配置及狀態(tài)觀測器的設計%極點配置A=[0 1 0 0； 0 ；0 0 0 1； 0 ]；b=[0；；0；]；Uc=ctrb(A，b)；rc=rank(Uc)；P=[2 3 1 4]；K=acker(A，b，P)；極點為：K = [ ]%狀態(tài)觀測器的設計 A=[0 1 0 0； 0 ；0 0 0 1； 0 ]；b=[0；；0；]；C=[1 0 0 0]；disp(‘The Rank of Obstrabilaty Matrix’)r0=rank(obsv(A，C))；A1=A’；b1=C’；C1=b’；P=[1 2 3 4]；K=acker(A1，b1，P)；L=K’； Simulink仿真，并比較各組極點配置后仿真效果，選擇一組可以使系統(tǒng)比較穩(wěn)定的極點。根據(jù)狀態(tài)反饋控制原理。通過配置極點來控制倒立擺，使其穩(wěn)定。 Simulink仿真圖第一組極點為：[1 2 3 4]，狀態(tài)反饋矩陣為：K= 仿真結果如下： 小車位移及擺角仿真曲線圖中可以看出擺角已經基本控制在穩(wěn)定位置了，小車位移的仿真曲線較平滑，我們可以換一組極點觀測仿真曲線。第二組極點為：[15 20 30 40]，狀態(tài)反饋矩陣為：K= +004 * 仿真結果如下： 小車位移及擺角仿真曲線第三組極點為：[1 2 (1+j*2) (3j*4)]，狀態(tài)反饋矩陣為：K= 仿真結果如下： 小車位移及擺角仿真曲線圖中可以看出擺角有一些小超調但很快達到了穩(wěn)定，小車位移也已經基本控制在穩(wěn)定位置了，達到了所要求的性能指標。系統(tǒng)的階躍響應仿真結果表明系統(tǒng)對結構參數(shù)和的變化具有很強的魯棒性。仿真結果如下： 小車位移及擺角仿真曲線狀態(tài)觀測器解決了受控系統(tǒng)的狀態(tài)重構問題，為那些狀態(tài)變量不能直接量測得到的系統(tǒng)實際狀態(tài)反饋創(chuàng)造了條件。帶狀態(tài)觀測器的狀態(tài)反饋系統(tǒng)的仿真結果和前面極點配置后的狀態(tài)反饋仿真結果基本相同，說明了狀態(tài)反饋控制可以使倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定的控制在理想狀態(tài)。 本章小結本章主要介紹了使用各種現(xiàn)代控制方法來控制一級倒立擺，并進行MATLAB仿真，然后對仿真結果進行分析，分析后反復修改參數(shù)，反復調試，最后使系統(tǒng)盡可能達到我們希望的的穩(wěn)定狀態(tài)。結束語倒立擺系統(tǒng)作為控制理論研究中的一種比較理想的實驗手段，為自動控制理論的教學、實驗和科研構建了一個良好的實驗平臺，是用來檢驗某種控制理論或方法的典型方案，促進了控制系統(tǒng)新理論、新思想的發(fā)展。在仿真過程中，幫助學生更好得掌握MATLAB 這個現(xiàn)代社會最實用的軟件。而實時控制實驗部分又非常直觀、生動、有趣，不斷激發(fā)學生的學習熱情?？梢哉f，倒立擺不僅僅是進行控制理論研究的理想實驗平臺，同時也是一種優(yōu)秀的教學實驗儀器。將它應用到自控實驗中，對理論與實際相結合的教學起到極大的促進作用。通過本次畢業(yè)設計，讓我對現(xiàn)代控制理論有了深入的了解，掌握了一些現(xiàn)代控制手段，即各種控制方法，如極點配置，狀態(tài)反饋等。非常感謝學校給了我們這樣一個機會來鍛煉自己，讓我們學會自己發(fā)現(xiàn)問題，自己想辦法解決問題。這對我們以后的工作和生活都著重要的意義。 本篇論文已經完成，還有許多的地方需要改進，但總的來說，在撰寫的過程中，我真實地學習到了許多東西，也積累了不少經驗，更進一步豐富了自己的知識但由于個人能力不足，加之時間和精力有限，在許多內容表述、論證上存在著不當之處，于老師的期望還有差距，許多問題還有待進一步思考和探究，借此答辯機會，希望各位老師能夠提出寶貴的意見，指出我的錯誤和不足之處，我將虛心接受，從而進一步深入學習，使該論文得到完善和提高。參考文獻[1] 黃永宣，自動平衡倒置擺系統(tǒng)＿一個有趣的經典控制理論教學實驗裝置，控制理論與應用，1987，4(3):92－95頁[2] 尹征琦，馮祖仁，陳輝堂，采用模擬調節(jié)器的二級倒立擺的控制，信息與控制，1985，l，6－10頁[3] 朱長山，二級倒立擺的計算機控制，哈爾濱船舶工程學院學報，1989，10(2)[4] 劉春生，吳慶憲，鄒新生，二級倒立擺的模糊控制，電光與控制，2000，4[5] 楊亞偉，張明廉，三級倒立擺的數(shù)控穩(wěn)定，北京航天航空大學學報，2002,6[6] 班曉軍，李士勇，倒立擺的一種Fuzyz－PD復合控制器的設計，哈爾濱工業(yè)大學學報，2003，35(11)[7] 李明愛，阮小剛，22(l)[8] 鄭大鐘，線性系統(tǒng)理論，清華大學出版社，1999,5[9] 吳麒，自動控制原理，清華大學出版社，1992[10] 程福雁，鐘國民，李友善，二級倒立擺的參變量模糊控制，信息與控制，1995，24(3):189－192頁[11] 歐陽黎明，MATLAB控制系統(tǒng)設計[M]，北京：國防工業(yè)出版社，2001，9[12] 杜繼宏，解學書，慕春棣，自動控制原理（下），清華大學出版社，1992[13] Mora S，Nishihara H，F(xiàn)uruta K，Control of unstable mechanical system control of pendulum．INT J Control，1976；23(5)：673692P[14] Furuta，K．T．Okutanti，H．Sone，Computer Control of a Double Inverted Pendulum， Computer and Elect，Engrg，5， (1978)：6784P[15] Optimal parametric stbilization of an inverted pendulum,PMM,USSR,1982,45(1):4550附錄A 用S函數(shù)編寫一級倒立擺的數(shù)學模型的程序程序：function [sys，x0，str，ts] =q(t，x，u，flag)switch flag，case 0 [sys，x0，str，ts]=mdlInitializeSizes；case 1 sys=mdlDerivatives(t，x，u)case 3 sys=mdlOutputs(t，x，u)；case{2，4，9} sys=[]；otherwise error([＇Unhandled flag = ＇，num2str(flag)])；endfunction [sys，x0，str，ts]=mdlInitializeSizes()sizes = simsizes；Sizes．NumContStates = 4；Sizes．NumDiscStates = 0；Sizes．NumOutputs = 2；Sizes．NumInputs = 1；Sizes．DirFeedthrough = 1；Sizes．NumSampleTimes = 1； sys = simsizes(sizes)；str = []；x0 = [0；0；0；0]；ts = [1 0]；function sys=mdlDerivatives(t，x，u)sys(1)=x(2)；sys(2)=*x(1)*x(2)+*x(4)*u；sys(3)=x(4)；sys(4)=*x(1)+*x(2)*x(4)+*u；function sys=mdlOutputs(t，x，u)sys=x；致 謝在此論文撰寫過程中，我要特別感謝我的導師劉慧博老師，感謝她的督促與指導，同時感謝她的諒解與包容。從最初的定題，到資料收集，到寫作、修改 ，到論文的定稿，她給了我許多耐心的指導和無私的幫助，為了輔導我們設計，她放棄了自己午休的時間，每次都是在帶完課后抽中午時間給我們作輔導，真的很辛苦！沒有劉老師的幫助也就沒有今天的這篇論文。求學歷程是艱苦的，但也是快樂的。感謝我的班主任靳秀蘭老師，謝謝她在這四年之中為我們全班所做的一切。感謝所有任課老師和所有幫助過我的老師、同學們，是你們教會了我專業(yè)知識，教會了我如何學習，如做人。在這里祝所有老師身體健康，工作順利！謝謝我的父母，沒有他們的辛勤付出就沒有我的今天，在這一刻，將最崇高的敬意獻給他們，也祝愿天下所有的父母福如東海，壽比南山！本文參考了大量文獻資料，在此，向各位學術界的前輩們致敬！ 秦禎 2011年6