【正文】 得復(fù)雜的原因。 21 直線二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖 對(duì) 直線二級(jí) 倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機(jī)、小車(chē)、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對(duì)象，其輸入是功率放大器的輸入上擺桿 下 擺桿 測(cè)角電位器 測(cè)角電位器 小 車(chē) 滑 軌 框 架 電 機(jī) 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測(cè)位電位器 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 11 信號(hào)，輸出是小車(chē)的位移和擺桿的角度。本章從二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過(guò) 對(duì)其進(jìn)行受力分析和運(yùn)動(dòng)描述， 對(duì)比 兩種 建立數(shù)學(xué)模型的方法： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )的優(yōu)缺點(diǎn)，并選定 歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )對(duì)系統(tǒng)進(jìn)行詳細(xì)的數(shù)學(xué)建模， 并進(jìn)行必要的線性化處理和初步的系統(tǒng) 原理 分析。本章為控制系統(tǒng)的仿真章節(jié) ，在本章首先介紹了仿真軟件 MATLAB，然后介紹了本次設(shè)計(jì)所用的 仿真軟件MATLAB版本 ： ， 其次介紹了仿真軟件 Simulink 仿真工具箱 ，最后根據(jù)已經(jīng)建立的 系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型和控制器 ， 設(shè)定選取了一河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 9 些參數(shù)，求得 K值，然后用仿真軟件對(duì) 極點(diǎn)配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（ LQR） 方案，一一進(jìn)行了控制系統(tǒng)的仿真，得出了仿真結(jié)果即各個(gè)輸出量的波形。 第三章 直線二級(jí)倒立擺控制方案的設(shè)計(jì)。 第一章 緒論。 倒立擺作 為一個(gè)典型的被控對(duì)象，適合用多種理論和方法進(jìn)行控制。 國(guó)外對(duì)二級(jí)以上倒立擺的研究從 70年代開(kāi)始， 1972年 Sturgen等人采用線性控制模擬電路實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制，其線性狀態(tài)反饋采用極點(diǎn)配置的方法獲得，并采用全維狀態(tài)觀測(cè)器來(lái)重構(gòu)了狀態(tài) ； 1978年， 等人采用微機(jī)處理 實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺的控制， 1980年他們又完成了二級(jí)擺在傾斜軌道上的穩(wěn)定控制 ； 1983年， 立擺的穩(wěn)定控制。正是由于對(duì)倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有著重要的理論和實(shí)際意義，因而倒立擺的穩(wěn)定控制成為了控制理論中歷久不衰的研究課題。 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)復(fù)雜的多變量、高度非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的絕對(duì)不穩(wěn)定系統(tǒng)，對(duì)于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具 有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實(shí)踐意義。它一般由沿導(dǎo)軌運(yùn)動(dòng)的小車(chē)和通過(guò)轉(zhuǎn)軸固定在小車(chē)上的擺體組成，小車(chē)可以在限定的軌道上移動(dòng)，小車(chē)上的倒立擺一端被絞鏈在小車(chē)頂部，另一端可以在小車(chē)軌道所在的垂直平面上轉(zhuǎn)動(dòng)。它用來(lái)解決多層次分 散結(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)的分析和綜合問(wèn)題，因此受到各國(guó)著名學(xué)者的極大關(guān)注。它能夠解決經(jīng)典控制理論難以解決的一些問(wèn)題。經(jīng)典控制理論對(duì)于非線性時(shí)變系統(tǒng)很難奏效。 本文分別 用極點(diǎn)配置、 LQR最優(yōu)控 制設(shè)計(jì)了 不同的 控制器，通過(guò) 比較和 MATLAB仿真， 驗(yàn)證了所設(shè) 計(jì)的控制器的有效性、穩(wěn)定性和抗干擾性 。河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 1 直線二級(jí)倒立擺的控制問(wèn)題的研究和 matlab仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是一個(gè)典型的多變量、非線性、強(qiáng) 耦合 和快速運(yùn)動(dòng)的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗(yàn)各種新 型 控制理論和方法有效性的典型 裝置 。首先 闡述了倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過(guò)程和現(xiàn)狀， 接著 介紹了倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并詳細(xì)推導(dǎo)了二級(jí)倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 第一階段是經(jīng)典控制理論階段 ， 上世紀(jì) 50年代前后的控制理論主要是研究單輸入 單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計(jì)問(wèn)題，其理論基礎(chǔ)是描述系統(tǒng)輸入 輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法和相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。它以描述系統(tǒng)狀態(tài)這一 內(nèi)部特征向量的狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，主要研究有高性能、高精度的多輸入 多輸出、變參數(shù)系統(tǒng)的 分 析和設(shè)計(jì)問(wèn)題，最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辨識(shí)和自適應(yīng)控制等理論都是這一領(lǐng)域研究的主要課題。 70年代末開(kāi)始的智能控制理論和大系統(tǒng)理論的研究和應(yīng)用，是現(xiàn)代控制理論在深度上和廣度上的開(kāi)拓。倒立擺，顧 名思義， 是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動(dòng)態(tài)平衡的一種擺。后來(lái)人們研究的倒立擺 的種類(lèi)也由簡(jiǎn)單的單級(jí)倒立擺迅速發(fā)展為多種形式的倒立擺系統(tǒng)。例如 ： 機(jī)器人行走 過(guò)程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等等，因此倒立擺的穩(wěn)定控制方法在軍工、航天、機(jī)器人領(lǐng)域和一般工業(yè)工程中有著很廣泛的用途，相關(guān)的科研成果己經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機(jī)器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。 1966年 Schaefer和 Cannon應(yīng)用 BangBang控制理論，將一個(gè)曲軸穩(wěn)定于倒置位置 ； 1975年采用最優(yōu)控制和狀態(tài)重構(gòu)的方法完成對(duì)一級(jí)倒立擺的穩(wěn)定控制。 Charies 1988年應(yīng)用自學(xué)習(xí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功控制一級(jí)擺 ； 周建波等用基于 BP網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則控制也解決了單擺的穩(wěn)定性控制問(wèn)題 ； 徐紅兵等提出了基于變結(jié)構(gòu)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，實(shí)現(xiàn)了二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制 ； 1995年，張明廉等人應(yīng)用擬人智能控制理論成功的解決了三級(jí)倒立擺這一控制界的世界性難題 ；20xx年 9月 19日，北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)實(shí)時(shí)智能控制實(shí)驗(yàn)室采用變論域自適應(yīng)模糊控制 成功地實(shí)現(xiàn) 了三 級(jí)倒立擺實(shí)物系統(tǒng)控河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 8 制，又于 20xx年 8月 11日在國(guó)際上首次成功實(shí)現(xiàn)了四級(jí)倒立擺實(shí)物控制系統(tǒng) 。 本文總共分 四 個(gè)部分 ， 下面介紹一下本文各部分的主要內(nèi)容。介紹了 直線 二級(jí)倒立擺的物理結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)條件下，用拉格朗 日方程，建立起二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的標(biāo)稱(chēng)數(shù)學(xué)模型，并對(duì)其進(jìn)行了線性化，初步分析了其運(yùn)動(dòng)特性。 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 10 第二章 直線二級(jí)倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 現(xiàn)代控制理論是基于狀態(tài)空間法進(jìn)行分析的，因此首先要建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。主要機(jī)械結(jié)構(gòu)部分如圖 21所示。 (3) 耦合 特性： 倒立擺的擺桿和小車(chē)之間，以及多級(jí)倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都是強(qiáng) 耦合 的。 針對(duì)以上倒立擺系統(tǒng)的特性，在數(shù)學(xué)上完全準(zhǔn)確地描述它幾乎是不可能，為了解決實(shí)際系統(tǒng)中的控制問(wèn)題， 在 實(shí)際設(shè)計(jì)控制系統(tǒng) 建模時(shí)，通常忽略掉系統(tǒng)中一些次要的因素，例如空氣阻力、伺服電機(jī)由于安裝而產(chǎn)生的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動(dòng)皮帶的彈性、傳動(dòng)齒輪的間隙等等，并將小車(chē)抽象為質(zhì)點(diǎn)，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，從而建立一個(gè)比較精確的倒立擺系統(tǒng)的線性模 型。 ② 建立運(yùn)動(dòng)方程時(shí)只需分析已知的主動(dòng)力而不必分析未知的約束力，因而，對(duì)于倒立擺這樣的復(fù)雜系統(tǒng)更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用經(jīng)典力學(xué)進(jìn)行建模分析， 需要考慮各部分受力情況 ， 雖然 簡(jiǎn)單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時(shí)還需考慮質(zhì)點(diǎn)組受到的約束條件，計(jì)算量大且復(fù)雜 ，對(duì)于此次設(shè)計(jì)，所涉及到的是基于直線二級(jí)倒立擺控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真，如果用牛頓經(jīng)典力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型必須考慮系統(tǒng)各部分干擾因素，對(duì)整個(gè)設(shè)計(jì)及其仿真過(guò)程影響工作較大； 而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動(dòng)能和廣義力兩個(gè)方 面，計(jì)算簡(jiǎn)單、工作量小，大大簡(jiǎn)化建模過(guò)程 ，因此此次設(shè)計(jì)建立數(shù)學(xué)模型選擇拉格朗日方程建模。 ，上下擺桿轉(zhuǎn)動(dòng)時(shí)作用于擺桿的阻力矩正比于擺桿的角速度。秒 /弧度 ； 2F :上擺桿與下擺桿之間的的等效轉(zhuǎn)動(dòng)摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效磨擦 力矩 2 2 2TF?? ，單位牛拉格朗日 方程為： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 14 11 1 1t q qd L L D Qdq??? ? ?? ? ???? ? ??? ， ? ? ? ? ? ?q , , ,L q T q q V q q?? （ 21） 對(duì)于 直線 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)，廣義坐標(biāo)為位移 x 和擺桿角度 1? ,2? ； 1Q 為作用在系統(tǒng)上的廣義力，當(dāng) 1qx? ， 10Q Gu? ,當(dāng) 11q ?? ,2? 時(shí)， 1 0Q? 。 系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定 倒立擺系統(tǒng)實(shí)際上是一個(gè)定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。因此，在建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，利用一些仿真手段對(duì)被控對(duì)象的特性加以分析，是很有必要的。在進(jìn)行倒立擺的定性分析之前，先介紹線性控制理論中關(guān)于能控性 、能觀性的判定定理 。 對(duì)于由式 (214)所確定的二級(jí)倒立擺系統(tǒng) ， 其特征方程為 ：? ?det 0IA? ??， 經(jīng)計(jì)算的系統(tǒng)的開(kāi)環(huán)特征根為：? ?0 8 . 9 9 2 6 5 . 0 8 7 2 1 6 . 9 6 8 7 4 . 7 2 6 3 9 . 3 8 4 1? ? ?，系統(tǒng)有兩個(gè)極點(diǎn)在復(fù)平面右半平面， 有一個(gè)極點(diǎn)在原點(diǎn)，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對(duì)二級(jí)倒立擺進(jìn)行控制的主要目的是 ： 二級(jí)倒立擺系統(tǒng)在控制作用下能夠穩(wěn)定 ； 系統(tǒng)的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性和動(dòng)態(tài)特性良好 ； 控制系統(tǒng)具有很強(qiáng)的魯棒性 ； 較容易完成穩(wěn)定控制的任務(wù)。 極點(diǎn)配置控制方案的設(shè)計(jì) 極點(diǎn)配置理論 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)品質(zhì)同閉環(huán)極 點(diǎn)密切相關(guān)，控制系統(tǒng)的各種特性及其各種品質(zhì)指標(biāo)很大程度上由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點(diǎn)和極點(diǎn)的位置決定。 對(duì)于完全能控和完全能觀的系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)方程為 : X AX BU?? Y CX? (31) 其中， nXR? ， mUR? 。 單輸入單輸出系統(tǒng)確定滿(mǎn)足極點(diǎn)配置要求的狀態(tài)反饋矩陣 K的算法主要有系統(tǒng)匹配法、 Ackermann配置法、 GuraBass算法等幾種方法 ， 假定期望的閉 環(huán)極點(diǎn)為： i? ， ? ?1in? ， 則原系統(tǒng) (31)的開(kāi)環(huán)特征方程為 ： ? ? ? ? 110d e t nnna s s I A s a s a s a??? ? ? ? ? ? (35) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 : ? ? ? ? 1101n nnints s s s s? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? (36) (1)系統(tǒng)匹配法是計(jì)算反饋陣的一個(gè)最直接的方法，它主要通過(guò)比較系統(tǒng)特征 方 程的系數(shù)來(lái)求解，即 :(34)式與 (36)式的對(duì)應(yīng)系數(shù)相等。 (3)較為常用的方法是 GuraBass算法，其具體步驟為 : 1)判斷系統(tǒng)的可控性 。對(duì)于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做 為系統(tǒng)的性能指標(biāo)，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問(wèn)題稱(chēng)為線性系統(tǒng)二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題，簡(jiǎn)稱(chēng)線性二次型 (LQR)問(wèn)題。由此可知二次型性能指標(biāo)的最優(yōu)控制問(wèn)題實(shí)質(zhì)上就是 ： 要求用較小的控制能量來(lái)獲得較小的誤差的最優(yōu)控制。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 26 Q, R陣的選擇 在利用 LQR方法設(shè)計(jì)控制器時(shí)，一個(gè)最 關(guān)鍵的問(wèn)題是二次型性能指標(biāo)的選取。為了使問(wèn)題簡(jiǎn)單，且使加權(quán)陣 Q和 R的各元素有明顯的物理意義 ，通常將加權(quán)陣 Q和 R選為對(duì)角陣 。 MATLAB 擁有功能強(qiáng)大、豐富的函數(shù)工具箱，可以實(shí)現(xiàn)科學(xué)計(jì)算、符號(hào)運(yùn)算、算法研究、數(shù)學(xué)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學(xué)工程繪圖以及圖形用戶(hù)界面設(shè)計(jì)等強(qiáng)大功能。由于它編寫(xiě)簡(jiǎn)單，所以編程效率高，易學(xué)易懂。 MATLAB 語(yǔ)言與其他語(yǔ)言相比，較好地解決了上述問(wèn)題，把編輯、編譯、連接和執(zhí)行融為一體。 （ 4） 方便的繪圖功能 MATLAB 的繪圖功能十分方便，它有一系列繪圖函 數(shù)（命令），例如線性坐標(biāo)、對(duì)數(shù)坐標(biāo)、半對(duì)數(shù)坐標(biāo)以及極坐標(biāo)，均只需調(diào)用不同的繪圖函數(shù)（命令），在圖上標(biāo)出圖題、 XY 軸標(biāo)注，格（柵）繪制也只需調(diào)用相應(yīng)的命令，簡(jiǎn)單易行。 是一個(gè)由 MATLAB 工作環(huán)境、 MATLAB 數(shù)學(xué)函數(shù)庫(kù)、 MATLAB語(yǔ)言、 MATLAB 圖形處理系統(tǒng)和 MATLAB 應(yīng)用程序接口五大部分組成的功能強(qiáng)大的系統(tǒng)。對(duì)于我們 自動(dòng)化 專(zhuān)業(yè)的仿真而言，我們主要用到的是 Simulink 工具河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計(jì)（論文）說(shuō)明書(shū) 29 箱。 Simulink 是一個(gè)用來(lái)對(duì)動(dòng)態(tài)系統(tǒng)進(jìn)行建模、仿真和分析的軟件包，它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)，也支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)。 Simulink 包含有 SINKS（輸入方式）、 SOURCE（輸入源）、 LINEAR（線性環(huán)節(jié)）、 NONLINEAR（非線性環(huán)節(jié)）、 CONNECTIONS（連接與接口）和 EXTRA（其他環(huán)節(jié)）子模型庫(kù)。 提供七種標(biāo)準(zhǔn)模式：加法器、比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、傳遞函數(shù)、零 極點(diǎn)、狀態(tài)空間。 另外， MATLAB/SIMULINK 具有開(kāi)放的編程環(huán)境，它允許用戶(hù)開(kāi)發(fā)自己所需的模型，通 過(guò)成組封裝擴(kuò)充現(xiàn)有的模型庫(kù)。這些給快速建模提供了很大的便利。當(dāng)選擇的主 導(dǎo)極點(diǎn)離虛軸較遠(yuǎn)時(shí)，系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間短，但所需的控制力較大，反之， 離虛軸較近時(shí)，系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間長(zhǎng)，所需的控制力較小 ； 當(dāng)主導(dǎo)極點(diǎn)確定后，其余極點(diǎn)應(yīng)遠(yuǎn)離主導(dǎo)極點(diǎn)，也就是其余極點(diǎn)實(shí)部最小的也要大于主導(dǎo)極點(diǎn)實(shí)部的 23倍以上，其距離主導(dǎo)極點(diǎn)遠(yuǎn)，系統(tǒng)的過(guò)渡時(shí)間短，超調(diào)量變大，所需的 控制力也較大。當(dāng) Q和 R陣太大時(shí)，系統(tǒng)會(huì)喪失穩(wěn)定性