【正文】 得復(fù)雜的原因。 21 直線二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)圖 對 直線二級 倒立擺控制系統(tǒng)而言，將功率放大器、力矩電機、小車、擺、皮帶及皮帶輪等的組合體視為控制對象，其輸入是功率放大器的輸入上擺桿 下 擺桿 測角電位器 測角電位器 小 車 滑 軌 框 架 電 機 水平調(diào)節(jié)栓 偽形傳送帶 底 座 測位電位器 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 11 信號，輸出是小車的位移和擺桿的角度。本章從二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)出發(fā)，通過 對其進行受力分析和運動描述， 對比 兩種 建立數(shù)學(xué)模型的方法： 牛頓力學(xué)分析方法、歐拉拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )的優(yōu)缺點，并選定 歐拉 拉格朗日原理 (拉格朗日方程 )對系統(tǒng)進行詳細的數(shù)學(xué)建模， 并進行必要的線性化處理和初步的系統(tǒng) 原理 分析。本章為控制系統(tǒng)的仿真章節(jié) ，在本章首先介紹了仿真軟件 MATLAB，然后介紹了本次設(shè)計所用的 仿真軟件MATLAB版本 ： ， 其次介紹了仿真軟件 Simulink 仿真工具箱 ，最后根據(jù)已經(jīng)建立的 系統(tǒng)數(shù)學(xué) 模型和控制器 ， 設(shè)定選取了一河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 9 些參數(shù)，求得 K值，然后用仿真軟件對 極點配置控制方案和線性二次型最優(yōu)控制（ LQR） 方案，一一進行了控制系統(tǒng)的仿真，得出了仿真結(jié)果即各個輸出量的波形。 第三章 直線二級倒立擺控制方案的設(shè)計。 第一章 緒論。 倒立擺作 為一個典型的被控對象，適合用多種理論和方法進行控制。 國外對二級以上倒立擺的研究從 70年代開始， 1972年 Sturgen等人采用線性控制模擬電路實現(xiàn)了二級倒立擺的控制，其線性狀態(tài)反饋采用極點配置的方法獲得，并采用全維狀態(tài)觀測器來重構(gòu)了狀態(tài) ； 1978年， 等人采用微機處理 實現(xiàn)了二級倒立擺的控制， 1980年他們又完成了二級擺在傾斜軌道上的穩(wěn)定控制 ； 1983年， 立擺的穩(wěn)定控制。正是由于對倒立擺系統(tǒng)穩(wěn)定控制研究有著重要的理論和實際意義，因而倒立擺的穩(wěn)定控制成為了控制理論中歷久不衰的研究課題。 倒立擺系統(tǒng)是一個復(fù)雜的多變量、高度非線性、強 耦合 和快速運動的絕對不穩(wěn)定系統(tǒng)，對于倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定控制，不僅具 有重要的理論意義，而且還具有很重要的工程實踐意義。它一般由沿導(dǎo)軌運動的小車和通過轉(zhuǎn)軸固定在小車上的擺體組成，小車可以在限定的軌道上移動，小車上的倒立擺一端被絞鏈在小車頂部，另一端可以在小車軌道所在的垂直平面上轉(zhuǎn)動。它用來解決多層次分 散結(jié)構(gòu)的復(fù)雜系統(tǒng)的分析和綜合問題，因此受到各國著名學(xué)者的極大關(guān)注。它能夠解決經(jīng)典控制理論難以解決的一些問題。經(jīng)典控制理論對于非線性時變系統(tǒng)很難奏效。 本文分別 用極點配置、 LQR最優(yōu)控 制設(shè)計了 不同的 控制器，通過 比較和 MATLAB仿真， 驗證了所設(shè) 計的控制器的有效性、穩(wěn)定性和抗干擾性 。河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 1 直線二級倒立擺的控制問題的研究和 matlab仿真 摘 要 倒立擺系統(tǒng)是一個典型的多變量、非線性、強 耦合 和快速運動的高階不穩(wěn)定系統(tǒng)，它是檢驗各種新 型 控制理論和方法有效性的典型 裝置 。首先 闡述了倒立擺系統(tǒng)控制的研究發(fā)展過程和現(xiàn)狀， 接著 介紹了倒立擺系統(tǒng)的結(jié)構(gòu)并詳細推導(dǎo)了二級倒立擺的數(shù)學(xué)模型。 第一階段是經(jīng)典控制理論階段 ， 上世紀 50年代前后的控制理論主要是研究單輸入 單輸出線性定常系統(tǒng)的分析和設(shè)計問題，其理論基礎(chǔ)是描述系統(tǒng)輸入 輸出關(guān)系的傳遞函數(shù)，基本分析和結(jié)合的方法是基于頻率法、根軌跡法和相平面法等，描述系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型是微分方程或傳遞函數(shù)。它以描述系統(tǒng)狀態(tài)這一 內(nèi)部特征向量的狀態(tài)方程為基礎(chǔ)，主要研究有高性能、高精度的多輸入 多輸出、變參數(shù)系統(tǒng)的 分 析和設(shè)計問題，最優(yōu)控制、最優(yōu)濾波、系統(tǒng)辨識和自適應(yīng)控制等理論都是這一領(lǐng)域研究的主要課題。 70年代末開始的智能控制理論和大系統(tǒng)理論的研究和應(yīng)用，是現(xiàn)代控制理論在深度上和廣度上的開拓。倒立擺，顧 名思義， 是處于倒置不穩(wěn)定狀態(tài)，人為控制使其處于動態(tài)平衡的一種擺。后來人們研究的倒立擺 的種類也由簡單的單級倒立擺迅速發(fā)展為多種形式的倒立擺系統(tǒng)。例如 ： 機器人行走 過程中的平衡控制、火箭發(fā)射中的垂直度控制和衛(wèi)星飛行中的姿態(tài)控制等等，因此倒立擺的穩(wěn)定控制方法在軍工、航天、機器人領(lǐng)域和一般工業(yè)工程中有著很廣泛的用途，相關(guān)的科研成果己經(jīng)應(yīng)用到航天科技和機器人學(xué)等諸多領(lǐng)域。 1966年 Schaefer和 Cannon應(yīng)用 BangBang控制理論，將一個曲軸穩(wěn)定于倒置位置 ； 1975年采用最優(yōu)控制和狀態(tài)重構(gòu)的方法完成對一級倒立擺的穩(wěn)定控制。 Charies 1988年應(yīng)用自學(xué)習(xí)模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)成功控制一級擺 ； 周建波等用基于 BP網(wǎng)絡(luò)的規(guī)則控制也解決了單擺的穩(wěn)定性控制問題 ； 徐紅兵等提出了基于變結(jié)構(gòu)的模糊神經(jīng)網(wǎng)絡(luò)控制算法，實現(xiàn)了二級倒立擺系統(tǒng)的穩(wěn)定性控制 ； 1995年，張明廉等人應(yīng)用擬人智能控制理論成功的解決了三級倒立擺這一控制界的世界性難題 ；20xx年 9月 19日，北京師范大學(xué)李洪興教授領(lǐng)導(dǎo)的復(fù)雜系統(tǒng)實時智能控制實驗室采用變論域自適應(yīng)模糊控制 成功地實現(xiàn) 了三 級倒立擺實物系統(tǒng)控河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 8 制，又于 20xx年 8月 11日在國際上首次成功實現(xiàn)了四級倒立擺實物控制系統(tǒng) 。 本文總共分 四 個部分 ， 下面介紹一下本文各部分的主要內(nèi)容。介紹了 直線 二級倒立擺的物理結(jié)構(gòu)，在一定假設(shè)條件下，用拉格朗 日方程，建立起二級倒立擺系統(tǒng)的標稱數(shù)學(xué)模型，并對其進行了線性化，初步分析了其運動特性。 第四章 控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真 。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 10 第二章 直線二級倒立擺數(shù)學(xué)模型的建立 現(xiàn)代控制理論是基于狀態(tài)空間法進行分析的，因此首先要建立系統(tǒng)的狀態(tài)空間方程。主要機械結(jié)構(gòu)部分如圖 21所示。 (3) 耦合 特性： 倒立擺的擺桿和小車之間，以及多級倒立擺系統(tǒng)的上下擺桿之間都是強 耦合 的。 針對以上倒立擺系統(tǒng)的特性，在數(shù)學(xué)上完全準確地描述它幾乎是不可能，為了解決實際系統(tǒng)中的控制問題， 在 實際設(shè)計控制系統(tǒng) 建模時，通常忽略掉系統(tǒng)中一些次要的因素，例如空氣阻力、伺服電機由于安裝而產(chǎn)生的靜摩擦力、系統(tǒng)連接處的松弛程度、擺桿連接處質(zhì)量分布不均勻、傳動皮帶的彈性、傳動齒輪的間隙等等，并將小車抽象為質(zhì)點，擺桿抽象為勻質(zhì)剛體，從而建立一個比較精確的倒立擺系統(tǒng)的線性模 型。 ② 建立運動方程時只需分析已知的主動力而不必分析未知的約束力，因而，對于倒立擺這樣的復(fù)雜系統(tǒng)更能體現(xiàn)其優(yōu)越性。 直線 二級倒立擺系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型采用經(jīng)典力學(xué)進行建模分析， 需要考慮各部分受力情況 ， 雖然 簡單易懂，但需要羅列和解算大量微分方程，同時還需考慮質(zhì)點組受到的約束條件，計算量大且復(fù)雜 ，對于此次設(shè)計，所涉及到的是基于直線二級倒立擺控制系統(tǒng)的 MATLAB仿真，如果用牛頓經(jīng)典力學(xué)建立數(shù)學(xué)模型必須考慮系統(tǒng)各部分干擾因素，對整個設(shè)計及其仿真過程影響工作較大； 而采用分析力學(xué)中的拉格朗日方程建模只需考慮系統(tǒng)的動能和廣義力兩個方 面，計算簡單、工作量小，大大簡化建模過程 ，因此此次設(shè)計建立數(shù)學(xué)模型選擇拉格朗日方程建模。 ，上下擺桿轉(zhuǎn)動時作用于擺桿的阻力矩正比于擺桿的角速度。秒 /弧度 ； 2F :上擺桿與下擺桿之間的的等效轉(zhuǎn)動摩擦阻力系數(shù)，其定義如下 :等效磨擦 力矩 2 2 2TF?? ，單位牛拉格朗日 方程為： 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 14 11 1 1t q qd L L D Qdq??? ? ?? ? ???? ? ??? ， ? ? ? ? ? ?q , , ,L q T q q V q q?? （ 21） 對于 直線 二級倒立擺系統(tǒng)，廣義坐標為位移 x 和擺桿角度 1? ,2? ； 1Q 為作用在系統(tǒng)上的廣義力，當(dāng) 1qx? ， 10Q Gu? ,當(dāng) 11q ?? ,2? 時， 1 0Q? 。 系統(tǒng)參數(shù)的設(shè)定 倒立擺系統(tǒng)實際上是一個定常系統(tǒng)，其系統(tǒng)參數(shù)是可以得到的。因此，在建立了系統(tǒng)的數(shù)學(xué)模型之后，利用一些仿真手段對被控對象的特性加以分析，是很有必要的。在進行倒立擺的定性分析之前，先介紹線性控制理論中關(guān)于能控性 、能觀性的判定定理 。 對于由式 (214)所確定的二級倒立擺系統(tǒng) ， 其特征方程為 ：? ?det 0IA? ??， 經(jīng)計算的系統(tǒng)的開環(huán)特征根為：? ?0 8 . 9 9 2 6 5 . 0 8 7 2 1 6 . 9 6 8 7 4 . 7 2 6 3 9 . 3 8 4 1? ? ?，系統(tǒng)有兩個極點在復(fù)平面右半平面， 有一個極點在原點，因此系統(tǒng)是不穩(wěn)定的。對二級倒立擺進行控制的主要目的是 ： 二級倒立擺系統(tǒng)在控制作用下能夠穩(wěn)定 ； 系統(tǒng)的瞬態(tài)及穩(wěn)態(tài)特性和動態(tài)特性良好 ； 控制系統(tǒng)具有很強的魯棒性 ； 較容易完成穩(wěn)定控制的任務(wù)。 極點配置控制方案的設(shè)計 極點配置理論 閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和響應(yīng)品質(zhì)同閉環(huán)極 點密切相關(guān)，控制系統(tǒng)的各種特性及其各種品質(zhì)指標很大程度上由其閉環(huán)系統(tǒng)的零點和極點的位置決定。 對于完全能控和完全能觀的系統(tǒng)，設(shè)其狀態(tài)方程為 : X AX BU?? Y CX? (31) 其中， nXR? ， mUR? 。 單輸入單輸出系統(tǒng)確定滿足極點配置要求的狀態(tài)反饋矩陣 K的算法主要有系統(tǒng)匹配法、 Ackermann配置法、 GuraBass算法等幾種方法 ， 假定期望的閉 環(huán)極點為： i? ， ? ?1in? ， 則原系統(tǒng) (31)的開環(huán)特征方程為 ： ? ? ? ? 110d e t nnna s s I A s a s a s a??? ? ? ? ? ? (35) 閉環(huán)系統(tǒng)的特征方程為 : ? ? ? ? 1101n nnints s s s s? ? ? ? ????? ? ? ? ? ?? (36) (1)系統(tǒng)匹配法是計算反饋陣的一個最直接的方法，它主要通過比較系統(tǒng)特征 方 程的系數(shù)來求解，即 :(34)式與 (36)式的對應(yīng)系數(shù)相等。 (3)較為常用的方法是 GuraBass算法，其具體步驟為 : 1)判斷系統(tǒng)的可控性 。對于線性系統(tǒng)， 若取狀態(tài)變量的二次型函數(shù)的積分做 為系統(tǒng)的性能指標，這種系統(tǒng)最優(yōu)化問題稱為線性系統(tǒng)二次型性能指標的最優(yōu)控制問題，簡稱線性二次型 (LQR)問題。由此可知二次型性能指標的最優(yōu)控制問題實質(zhì)上就是 ： 要求用較小的控制能量來獲得較小的誤差的最優(yōu)控制。 河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 26 Q, R陣的選擇 在利用 LQR方法設(shè)計控制器時，一個最 關(guān)鍵的問題是二次型性能指標的選取。為了使問題簡單，且使加權(quán)陣 Q和 R的各元素有明顯的物理意義 ，通常將加權(quán)陣 Q和 R選為對角陣 。 MATLAB 擁有功能強大、豐富的函數(shù)工具箱，可以實現(xiàn)科學(xué)計算、符號運算、算法研究、數(shù)學(xué)建模和仿真、數(shù)據(jù)分析和可視化、科學(xué)工程繪圖以及圖形用戶界面設(shè)計等強大功能。由于它編寫簡單，所以編程效率高，易學(xué)易懂。 MATLAB 語言與其他語言相比，較好地解決了上述問題，把編輯、編譯、連接和執(zhí)行融為一體。 （ 4） 方便的繪圖功能 MATLAB 的繪圖功能十分方便，它有一系列繪圖函 數(shù)（命令），例如線性坐標、對數(shù)坐標、半對數(shù)坐標以及極坐標，均只需調(diào)用不同的繪圖函數(shù)（命令），在圖上標出圖題、 XY 軸標注，格（柵）繪制也只需調(diào)用相應(yīng)的命令，簡單易行。 是一個由 MATLAB 工作環(huán)境、 MATLAB 數(shù)學(xué)函數(shù)庫、 MATLAB語言、 MATLAB 圖形處理系統(tǒng)和 MATLAB 應(yīng)用程序接口五大部分組成的功能強大的系統(tǒng)。對于我們 自動化 專業(yè)的仿真而言，我們主要用到的是 Simulink 工具河南理工大學(xué)畢業(yè)設(shè)計（論文）說明書 29 箱。 Simulink 是一個用來對動態(tài)系統(tǒng)進行建模、仿真和分析的軟件包，它支持連續(xù)、離散及兩者混合的線性和非線性系統(tǒng)，也支持具有多種采樣頻率的系統(tǒng)。 Simulink 包含有 SINKS（輸入方式）、 SOURCE（輸入源）、 LINEAR（線性環(huán)節(jié)）、 NONLINEAR（非線性環(huán)節(jié)）、 CONNECTIONS（連接與接口）和 EXTRA（其他環(huán)節(jié)）子模型庫。 提供七種標準模式：加法器、比例環(huán)節(jié)、積分環(huán)節(jié)、微分環(huán)節(jié)、傳遞函數(shù)、零 極點、狀態(tài)空間。 另外， MATLAB/SIMULINK 具有開放的編程環(huán)境，它允許用戶開發(fā)自己所需的模型，通 過成組封裝擴充現(xiàn)有的模型庫。這些給快速建模提供了很大的便利。當(dāng)選擇的主 導(dǎo)極點離虛軸較遠時，系統(tǒng)的過渡時間短，但所需的控制力較大，反之， 離虛軸較近時，系統(tǒng)的過渡時間長，所需的控制力較小 ； 當(dāng)主導(dǎo)極點確定后，其余極點應(yīng)遠離主導(dǎo)極點，也就是其余極點實部最小的也要大于主導(dǎo)極點實部的 23倍以上，其距離主導(dǎo)極點遠，系統(tǒng)的過渡時間短，超調(diào)量變大，所需的 控制力也較大。當(dāng) Q和 R陣太大時，系統(tǒng)會喪失穩(wěn)定性