【正文】 ? ? ? ? 切削力矩 ： 0Mt? 估算電機輸出的總力矩 M=Ma+Mf+0 所以 M=+= / 3 0 3 . 1 4 1 . 3 6 2 0 0 0 / 3 0 2 8 4P M n w?? ? ? ? ? ? ? 在這里由于忽略了同步帶與齒輪之間的摩擦及擺桿的慣性力矩， 所以對電機的選擇 ： (1)能滿足控 制精度的要求 (2)能滿足負載轉矩的要求 (3)滿足慣量的匹配原則 (4)應考慮到這些中間因素應該使得所選電機的額定輸出功率 =估算值的 2~3 倍。 (3)運行特性良好，自動半流鎖定，可靠性高 ?？刂葡到y(tǒng)的數(shù)學模型是描述系統(tǒng)內部物理量或變量之間關系的數(shù)學表達式。建立控制系統(tǒng)數(shù)學模型的方法有分析法和實驗法兩種。下面我們采用分析法來 對 倒立擺的數(shù)學模型 進行分析 。為了與控制理論的表達習慣相統(tǒng)一，即 u 一般表示控制量，用 u 來代表被控對象的輸入力 F ，線性化后兩個運動方程如下： ? ?????????????umlxbxmMxmlm glmlI??? ?????????)(2 () 對方程組（ ）進行拉普拉斯變換，得到： ? ?????? ????? ????? )()()()()( )()()(22222sUssmlssbXssXmMssm lXsm glssmlI () 畢業(yè)設計（論文） 12 注意：推導傳遞函數(shù)時假設初始條件為 0。 一級直線倒立擺控制器設計與仿真 控制器設計及算法仿真 PID 控制以其結構簡單、穩(wěn)定性好、工作可靠、調 整方便而成為工業(yè)控制的主要技術之一。 PID 控制原理如圖 畢業(yè)設計（論文） 16 圖 PID 控制原理 下面是通過對倒立擺在 MATLAB 中的 M 文件實現(xiàn)對倒立擺的仿真曲線，整定參數(shù)的步驟如下： Kd 和微分系數(shù) Ki 均設置為 0，比例系數(shù) Kp 設置為較小的值，使系統(tǒng)運行，同理在分別將其他兩個參數(shù)改為 0，總結這三個參數(shù)對系統(tǒng)響應的影響。 對微分系數(shù)的變化卻不是很大，曲線的響應過程也不是很明顯，但是在這里也可以看出，當 P=1， I=3， D=5000 時，系統(tǒng)的動態(tài)特性是最合適的。 LQR 控制器設計及算法仿真 前面已經得到了直線一級倒立擺系統(tǒng)的系統(tǒng)狀態(tài)方程，以外界作用力作為輸入的系統(tǒng)狀態(tài)方程和輸出方程分別為： 0 1 0 0 00 0. 08 83 16 7 0. 62 93 17 0 0. 88 31 670 0 0 1 00 0. 23 56 55 27 .8 28 5 0 2. 35 65 5x xx xu?????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ???? ??? ? ? ????? ??? ? ? ??? ??? ? ? ??? ? ? ????? ? ? ? ????? 1 0 0 0 00 0 1 0 0xxxyu???????? ? ? ? ? ???? ? ?? ? ? ? ? ???? ? ? ? ? ??????? 二次型性能指標函數(shù)： ? ?**0J X Q X u Ru dt???? Q、 R 是用來平衡狀態(tài)向量和輸入向量的權重， Q 是半正定陣， R 是正定陣。下面是對 Q， R 值的變換得到的仿真曲線： 先 令 x=1， y=1，運行后得到： K =[ ] 仿真曲線如圖 所示： 圖 系統(tǒng)響應曲線圖 當 x=10， y=5000 時，如圖 ： 當 x=10， y=500 時，如圖 ： 畢業(yè)設計（論文） 20 圖 系統(tǒng)響應曲線 圖 系統(tǒng)響應曲線 從上圖中可以看出 ,當 y 減小時 ， 小車的響應曲線穩(wěn)定得到了提高，響應時間有明顯的改善，現(xiàn)在保持 y 不變，變換 x 值： 當 x=1000， y=500 時，如圖 所示： 圖 系統(tǒng)響應曲線 從 仿真結果可知， X 在 1000 以上或者較大時，系統(tǒng)響應結果很好，小車和擺桿可以在很短時間內達到平衡，表明 X 值的變化對系統(tǒng)動態(tài)性能有很大影響。 計算狀態(tài)反饋增益矩陣 K 可以直接利用 Matlab 的極點配置函數(shù) [K，PREC， MESSAGE] = PLACE(A， B， P) 來計算。 在 PID 控制算法中，比例系數(shù) Kp 主要影響超調量和響應時間，積分系數(shù) Ki 主要影響靜差和超調量，微分系數(shù) Kd 主要影響系統(tǒng)的調節(jié)時間。 極點控制算法中控制系統(tǒng)的穩(wěn)定性和動態(tài)性能指標很大情況上取決于其閉環(huán)系統(tǒng)的零極點分布情況，根據(jù)極點計算出最佳的狀態(tài)反饋矩陣 K。 PID 中須根據(jù)調節(jié)者的經驗參考初始位置進行調整，初學者比較費時費力。二級倒立擺的組成如圖 所示： 圖 直線二級倒立擺物理模型 系統(tǒng)模型各相關參 數(shù)定義如表 表 系統(tǒng)模型參數(shù) 利用拉格朗日方程推導運動學方程： ( , ) ( , ) ( , )L q T q V qq q? ? ??? （ ） 式 （ ） 中 L 為 拉格朗日算子， q 為系統(tǒng)的廣義坐標， T 為系統(tǒng)動能， V 為系統(tǒng)勢能。 39。39。39。2Tm 分別為擺桿 2 的平均動能和轉動動能。39。 22 22 2 2 22 6T J m lmp ? ?? ?? ? （ ） 1 ( ) ( )22( ( ) ( ) )332 d X m d Y mTmm d t d t?? （ ） 于是有系統(tǒng)的總動能： 1 2 3m m m mT T T T T? ? ? ? （ ） ? 212Mx? + 1 ( 1 ) ( 1 )22( ( ) ( ) )12 d X p d Y pm d t d t?+ 2 211 116ml?? + 1 ( 2 ) ( 2 )22( ( ) ( ) )22 d X p d Y pm d t d t?+ 1 2 22226ml?? + 1 ( ) ( )22( ( ) ( ) )32 d X m d Y mm d t d t? 系統(tǒng)的勢能為： 121 2 3 1 2 3V V V V m Y p m Y p m Y mm m m? ? ? ? ? ? （ ） ? c o s ( 2 c o s c o s ) 2 c o s1 1 1 2 1 1 2 2 3 1 1m l m l l m l? ? ? ?? ? ? 由式（ ）、（ ）、（ ）可知拉格朗日算子： ( , ) ( , ) ( , )L q T q V qq q q? ? ??? （ ） 21 1 ( 1 ) ( 1 ) 1 ( 2 )2 2 2( ( ) ( ) ) ( ( )122 2 2M x d X p d Y p d X pmmd t d t d t?? ? ? ? ( 2)2( ) )d Ypdt? 1 1 ( ) ( )2 2 22 ( ( ) ( ) )2 2 3262 d X m d Y mm l m d t d t? ?? ? ? cos11 1ml ?? ( 2 c o s c o s ) 2 c o s2 1 1 2 2 3 1 1m l l m l? ? ?? ? ? 由于系統(tǒng)在 12,??廣義坐標下沒有外力作用，所以有： 畢業(yè)設計（論文） 27 120102d L ldtd L ldt????????? ??? ??????? ??? ??? （ ） 將式 （ ）展開，并對 1??? 和 2??? 求代數(shù)方程，最后表示為： 1??? = 1f (x , 1? , 2? ,x? , 1?? , 2?? ,x?? ) （ ） 2??? = 1f (x , 1? , 2? ,x? , 1?? , 2?? ,x?? ) 取平衡位置時各變量的初值為零： ? ?, , , , ,1 2 1 2xx? ? ? ?? ? ?=? ?0, 0, 0, 0, 0, 0 將式 （ ） 在平衡位置附近進行泰勒級數(shù)展開，并線性化處理，令： 111 0 0AfK x ????? () 1 2 311 2 01 1 2 3 13 ( 2 4 4 )2 ( 4 3 1 2 )A g m g m g mfK m m m l? ? ? ? ????? ? ? ? () 121 3 02 1 2 3 192 ( 4 3 1 2 )Af m gK m m m l? ????? ? ? ? () 114 0 0AfK x ????? () 115 01 0AfK ? ????? () 116 02 0AfK ? ????? () 1 2 311 7 0 1 2 3 13 ( 2 4 )2 ( 4 3 1 2 )A m m mfK x m m m l? ? ? ????? ? ? ? () 得到線性化之后的公式 ： xKKK ???? 172131121 ??? ??? () 將 ),( 212122 xxxf ??????? ????? ? 在平衡位置進行泰勒級數(shù)展開，并線性化，令 221 0 0AfK x ????? () 1 2 3222 01 2 2 1 2 3 22 ( 2( ) )164 ( 3 ( ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ??????? ? ? ? () 畢業(yè)設計（論文） 28 1 2 3223 02 2 2 1 2 3 24 ( 3 ( ) )163 ( 4 ( 3 ( ) ) )9Ag m m mfKm l m m m l? ????? ? ?? ? ? ? () 224 0 0AfK x ????? () 225 01 0AfK ? ????? () 226 02 0AfK ? ????? () 1 2 3 1 2 322 7 02 2 1 2 3 242 ( 2 ( ) ) ( 3 ( )3164 ( 3 ( ) )9Am m m m m mfK xm l m m m l?? ? ? ? ?????? ? ? () 得到 ： xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 即 : xKKK ???? 172131121 ??? ??? () xKKK ???? 272231222 ??? ??? () 現(xiàn)在得到了兩個線性微分方程，由于我們采用加速度作為輸入，因此還需加上一個方程 : xu ??? () 取狀態(tài)變量如下： ?????????????????2615423121???????xxxxxxxx () 則 狀態(tài)空間方程如下： uKKxxxxxxKKKKxxxxxx??????????????????????????????????????????????????????????????????????????????????271765432123221312654321100000000000000000100000010000001000