北師大版選修2-1高中數(shù)學26距離的計算練習題-資料下載頁
2024-12-03 00:16本頁面
【導讀】B．點P到面α的距離公式是d＝|PA→·n|n||，其中A為面α內任一點，n為面α的法向量。2．二面角α－l－β等于120°，A、B是棱l上兩點，AC、BD分別在半平面α、β內，[解析]如圖所示，∵|AC→|＝|AB→|＝|BD→|＝1，∴由DC→＝DB→＋BA→＋AC→得|DC→|2＝DB2→＋BA2→＋AC2→＋2DB→·BA→＋2DB→·AC→＋2BA→·AC→＝|DB→|2. ＋|BA→|2＋|AC→|2＋2DB→·AC→＝3＋2cos＝4，∴|DC→|＝2.4．在長方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝4，BC＝3，CC1＝2，則平面A1BC1與平面ACD1. 6．在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，M、N分別是線段BB1、B1C1的中點，所以MN→＝12AD1→.又直線AD1與MN不重合，所以|AM→|＝02＋12＋?的距離即為H到平面ACD1的距離．則VD1－AHC＝13×34＝14＝VH－ACD1＝13×32h∴h＝32.[解析]以D為原點，建立如圖所示的空間直角坐標系，設平面AEC1F的法向量為n＝，則n·AE→＝0，n·AF→＝0.于是|BF→|＝26，即BF的長為26.a)，D，于是有AB1→＝，B1D→＝，AC→＝．。令24a＝1，解得a＝22.12，－12，0，平面ABC1D1的法向量DA1→
【正文】 3 22＝ 23， 所以，點 B到平面 OCD的距離為 23. 方法 2(向量法 )： 作 AP⊥ CD于點 P，如圖，分別以 AB、 AP、 AO所在直線為 x、y、 z軸建立直角坐標系 ． A(0,0,0)， B(1,0,0)， P(0， 22 ， 0)， D(－ 22 ， 22 ， 0)， O(0,0,2)，M(0,0,1)， N(1－ 24 ， 24 ， 0)． (1)MN→ ＝ (1－ 24 ， 24 ，－ 1)， OP→ ＝ (0， 22 ，－ 2)， OD→ ＝ (－ 22 ，22 ，－ 2)． 設平面 OCD的法向量為 n＝ (x， y， z)，則 nOP→ ＝ 0， nOD→ ＝ ????? 22 y－ 2z＝ 0－ 22 x＋ 22 y－ 2z＝ 0， 取 z＝ 2，解得 n＝ (0,4， 2)． ∵ MN→ n＝ (1－ 24 ， 24 ，－ 1)(0,4， 2)＝ 0. 又 ∵ MN 平面 OCD， ∴ MN∥ 平面 OCD． (2)設 AB與 MD所成角為 θ， ∵ AB→ ＝ (1,0,0)， MD→ ＝ (－ 22 ， 22 ，－ 1)， ∴ cosθ＝ |AB→ MD→ ||AB→ ||MD→ |＝ 12， ∴ θ＝ π3. AB與 MD所成角的大小為 π3. (3)設點 B到平面 OCD的距離為 d，則 d為 OB→ 在向量 n＝ (0,4， 2)上的投影的絕對值 ． 由 OB→ ＝ (1,0，－ 2)，得 d＝ |OB→ n||n| ＝23. 所以，點 B到平面 OCD的距離為 23. 8． (2021北京理 )如圖 ， 正方形 AMDE的邊長為 2， B、 C分別為 AM、 MD的中點 ． 在五棱錐 P－ ABCDE中 ， F為棱 PE的中點 ， 平面 ABF與棱 PD、 PC分別交于點 G、 H. (1)求證 ： AB∥ FG； (2)若 PA⊥ 底面 ABCDE， 且 PA＝ AE， 求直線 BC與平面 ABF所成角的大小 ， 并求線段PH的長 ． [解析 ] (1)在正方形 AMDE中，因為 B是 AM的中點，所以 AB∥ DE. 又因為 AB?平面 PDE，所以 AB∥ 平面 PDE. 因為 AB? 平面 ABF，且平面 ABF∩ 平面 PDE＝ FG， 所以 AB∥ FG. (2)因為 PA⊥ 底面 ABCDE，所以 PA⊥ AB， PA⊥ AE. 如圖建立空間直角坐標系 A－ xyz，則 A(0,0,0)， B(1,0,0)， C(2,1,0)， P(0,0,2)， F(0,1,1)，BC→ ＝ (1,1,0)． 設平面 ABF的法向量為 n＝ (x， y， z)，則 ????? nAB→ ＝ 0，nAF→ ＝ 0，即????? x＝ 0，y＋ z＝ 0. 令 z＝ 1，則 y＝－ 1，所以 n＝ (0，－ 1,1)． 設直線 BC與平面 ABF所成角為 α，則 sinα＝ |cos〈 n， BC→ 〉 |＝ | nBC→|n||BC→ ||＝ 12. 因此直線 BC與平面 ABF所成角的大小為 π6. 設點 H的坐標為 (u， v， w)． 因為點 H在棱 PC上，所以可設 PH→ ＝ λPC→ (0λ1)， 即 (u， v， w－ 2)＝ λ(2,1，－ 2)，所以 u＝ 2λ， v＝ λ， w＝ 2－ 2λ， 因為 n是平面 ABF的法向量，所以 nAH→ ＝ 0，即 (0，－ 1,1)(2λ， λ， 2－ 2λ)＝ 0， 解得 λ＝ 23，所以點 H的坐標為 (43， 23， 23)． 所以 PH＝ ?43?2＋ ?23?2＋ ?－ 43?2＝ 2.
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