新人教a版高中數(shù)學(xué)選修2-132立體幾何中的向量方法同步測試題-資料下載頁
2025-11-23 10:13本頁面
【導(dǎo)讀】A．60°B．90°C．105°D．75°，則異面直線BD和SC之間的距離（）。是各條棱長均等于a的正三棱柱，D是側(cè)。6．在棱長為1的正方體1111ABCDABCD?中，則平面1ABC與平面11ACD間的距離（）。8．在直三棱柱111CBAABC?D，E分別是1CC與BA1的中點，點E在平面ABD上的射影是ABD?的底面邊長為3，側(cè)棱323. ，D是CB延長線上一點，中，底面邊長為22，側(cè)棱長為4，E，F(xiàn)分別為棱AB，中，E為11AB的中點，則異面直線1DE和1BC間的距。16．（12分）已知棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、M分別是A1C1、A1D和。17．（12分）在四棱錐P—ABCD中，底面ABCD是一直角梯形，∠BAD=90°，AD∥BC，若AE⊥PD，E為垂足，求證：BE⊥PD；求點A1到平面的BDEF的距離；（Ⅰ）D1E與平面BC1D所成角的大小；（Ⅱ）二面角D－BC1－C的大??；20．（14分）如圖5：正方體ABCD-A1B1C1D1，過線段BD1上一點P（P?平面ACB1）作垂直于D1B. 求證：平面EFG∥平面ACB1，并判斷三角形類型；6．B；分析：建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
【正文】 ??? .21yzyx 令 )21,1,1(,1 ???? ny 得． 設(shè)點 A1在平面 BDFE 上的射影為 H，連結(jié) A1D，知 A1D 是平面 BDFE 的斜線段． .23)21)(1(10)1)(1(),1,0,1(1 ?????????????? nADDA? .1222,c o s||||.2223223||||,c o s,23)21(1)1(||,2)1()1(||111111112222221?????????????????????????????HADADAHAnDAnDAHADAnODA?又 即點 A1到平面 BDFE 的距離為 1． （ 3）由（ 2）知， A1H=1，又 A1D= 2 ，則△ A1HD 為等腰直角三角形， ?4511 ???? HDADHA .45,11111????????DHAB D F EDADHAB D F EDAHDB D F EHA所成的角與平面就是直線上的射影在平面是平面 19．解：建立坐標(biāo)系如圖，則 ? ?2,0,0A 、 ? ?2,2,0B ， ? ?0,2,0C ， ? ?1 2,0,2A ， ? ?1 2,2,2B ， ? ?1 0,0,2D ， ? ?2,1,0E ， ? ?1 2,2, 2AC ? ? ? ， ? ?1 2,1, 2DE??， ? ?0,2,0AB? ， ? ?1 0,0,2BB ? ． （Ⅰ）不難證明 1AC 為平面 BC1D 的法向量， ∵ 1111113c o s , 9A C D EA C D E A C D E?? ∴ D1E 與 平面 BC1D 所成的角的大小為 3arccos29?? （即 3arcsin 9 ）． （Ⅱ） 1AC 、 AB 分別為平面 BC1D、 BC1C 的法向量， ∵ 1113c o s , 3A C A BA C A B A C A B??，∴ 二面角 D－ BC1－ C 的大小為 3arccos 3 ． （Ⅲ）∵ B1D1∥平面 BC1D，∴ B1D1與 BC1之間的距離為 111233A C BBd AC??． A1 B1 C1 D1 A B C D E x y z 20． (證明（ 1）用純粹的幾何方法要輾轉(zhuǎn)證明 EF∥ AC， EG∥ B1C， FG∥ AB1來證明，而我們借用向量法使問題代數(shù)化，運算簡潔，思路簡單明了． ) (1)分析：要證平面 EFG平面 ACB1，由題設(shè)知只要證 BD1垂直平面 ACB1即可． 證明：以 D為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖 5，不妨設(shè)正方體棱長為 a，則 A（ a，0， 0）， B（ a， a， 0）， C（ 0， a， 0）， D1（ 0， 0， a）， B1（ a， a， a）， E（ xE， 0， a）， F（ 0，yF， a）， G（ 0， 0， zG）． ∴ ?1BD =（－ a，－ a， a）， ? 1AB =（ 0， a， a）， ?EF （－ xE， yF， 0）， ?AC =（－ a， a， 0），?CB 1 =（－ a， 0，－ a）， ∵ ?1BD 1?AB =(－ a，－ a， a) (0， a， a)=0， ∴ ?1BD ⊥ ?1AB ， 同理 ?1BD ⊥ ?AC ， 而 ?1AB 與?AC不共線且相交于點 A， ∴ ?1BD ⊥平面 ACB1，又已知 ?1BD ⊥平面 EFG， ∴ 平面 EFG∥平面 ACB1； 又因為 ?1BD ⊥平面 EFG，所以 ?1BD ⊥ ?EF ， 則 ?1BD ?EF =0， 即 (－ a，－ a， a) (－ xE， yF， 0)=0， 化簡得 xE－ yF=0； 同理 xE－ zG=0, yF－ zG=0， 易得 ?EF = ?EF = ?FG ， ∴ △ EFG為正三角形． (2)解：因為△ EFG是正三角形，顯然當(dāng)△ EFG與△ A1C1D重合時，△ EFG的邊最長，其面積也最大，此時， EF =A1C1= 2 a， ∴EFGS?= DCAS 11? =21 ?? DACA 111 sin600 =21 ( 2 a)2 23 yxzA BCDA1OB1D1JC1EGFO1KP圖 5* =23 a2 ． 此時 EF與 B1C的距離即為 A1C1與 B1C的距離，由于兩異面直線所在平面平行，所求距離轉(zhuǎn)化為求點 B1到平面 A1C1D的距離，記 A1C1與 B1D1交于點 O1，作 O1H∥ D1B并交 BB1于點 H，則 O1H⊥平面 A1C1D，垂足為 O1，則 O1(2a，2a， a)， H(a， a，2a)，而 ?HO1 作為平面 A1C1D的法向量， 所以異面直線 EF與 B1C的 距離設(shè)為 d是 d = ???HOHOBO1111 =43)44(222aaa ?= 33 a． (證明（ 2）時一般要找到求這兩平面距離的兩點，如圖 5*，而這兩點為 K 與 J，在立體圖形中較難確定，且較難想到通過作輔助線 DO1， OB1來得到，加上在如此復(fù)雜的空間圖形中容易思維混亂，但只要借助平面法向量求線段的射影長度的思想，結(jié)合題設(shè)，使思路清晰明了，最終使問題的解決明朗化；把握這種思想，不管是空間線線距離，線面距離，面面距離問題，一般我們 都能轉(zhuǎn)化成點線或點面距離，再借助平面法向量很好地解決了． )
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