高中數學空間向量與立體幾何教案新課標人教a版選修-資料下載頁
2025-06-07 23:19本頁面
【正文】 的垂線對應的有向線段作為平面的法向量；在空間直角坐標系中利用向量的坐標運算來求法向量。BAyAPCA圖1練習：在三棱錐P－ABC中，PA⊥平面ABC，∠BAC=90176。，AB=2，AC=PA=1，求平面PBC的一個法向量。 寫出平面ABC的一個法向量 。αAPθHP圖2三、利用平面的法向量求空間角 求直線和平面所成的角。如圖（圖2）所示，設PA與平面的法向量所在直線所成的角為θ，則PA與所成的角為，（其中）所以：例2．如圖（圖3）所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是正方形，圖3FEyDCBAPPA⊥底面ABCD，AE⊥PD，EF//CD，PA=3AB，求直線AC與平面AEFB所成角的正弦值。 ：。設 分別為平面的法向量，二面角的大小為，向量 的夾角為，則有（圖4）或 （圖5）圖4 圖5 圖6FEADCBD1C1A1B1zxy例3．如圖（圖6）所示，在棱長為1的正方體ABCD－A1B1C1D1中，AC與BD交于點E，C1B與CB1交于點F。（1）求證：A1C⊥平面DBC1（2）求二面角B－EF－C的大小。四、利用法向量求距離1．求點到平面的距離APθHP圖7利用法向量求點面距離的基本思路是：如圖7，點P為平面外一點，點A為平面內任一點，平面的法向量為，過點P作平面的垂線PH，記PA和所成的角為θ，則P到平面的距離公式為：S圖8NMOCBA例4．如圖8所示，在三棱錐S－ABC中，ΔABC是邊長為4的正三角形，平面SAC⊥平面ABC，SA=SC=，M、N分別為AB、SB的中點，（1）證明：AC⊥SB ；（2）求二面角N－CM－B的大?。唬?）求點B到平面CMN的距離。B圖7a/baQPA2．求異面直線的距離 兩異面直線間的距離可先求得兩直線的公共“法向量”（即與兩直線都垂直的向量），然后在兩直線上各取一點，求出過這兩點的向量在法向量上的射影長就是兩異面直線間的距離。 如圖7，設A、B分別為異面直線、上的兩點，為與、都垂直的向量，PQ為兩異面直線、的距離，則例5．已知正方體ABCD－A1B1C1D1的棱長是2，M、N分別為A1BBB1的中點，求（1）異面直線AM與CN所成的角 （2）求異面直線AM與CN的距離。圖9ADCBD1C1A1B1zxyNM應用平面的法向量解決立體幾何問題的一般步驟是： (1)建立空間直角坐標系并寫出相應的點與向量的坐標； (2)由法向量的定義求出平面的法向量； (3)由向量代數的有關知識判定平面的法向量與對應向量的關系(共線、垂直、夾角及距離等)； (4)根據題目的要求得出問題的結果。小結：通過建立適當直角坐標系，借助平面的法向量，省去了找點面距、線面角、二面角的平面角、異面直線的公垂線的過程，減少了輔助線的添加，避開了一些較復雜的空間想象，從而降低了解題難度，并且思路明確，過程程序化，效果顯著。ED1CDB1A1C1BA練習：1．如圖,在長方體ABCD—A1B1C1D1中，AD=AA1=1，AB=2，點E在棱AB上移動。(1)證明：D1E⊥A1D；(2)當E為AB的中點時，求點E到面ACD1的距離；(3)AE等于何值時，二面角D1—EC—D的大小為。 BGDCAFE，已知ABCD是邊長為4的正方形，E，F分別是AD，AB的中點，GC垂直于ABCD所在的平面，且GC＝2，求點B到平面FEG的距離。已知點P為矩形ABCD所在平面外一點，且PA⊥平面ABCD，Q是線段PA的中點，AB=3，BC=4，PA=6，求點P到平面BQD的距離ｚPQAＢｙＤCｘ
教學教案相關推薦
鄂ICP備17016276號-1