北師大版選修2-1高中數(shù)學(xué)第二章空間向量與立體幾何測試題a-資料下載頁
2024-12-03 00:16本頁面
【導(dǎo)讀】時間120分鐘，滿分150分。[解析]設(shè)λ與α夾角為θ則sinθ＝|n·a||a||n|，即33＝|－2＋2－2m|34＋1＋m2，解得m＝±15.＝0.∴λ×0＋(1＋λ)×1＋1×1＝0，得λ＝－2.＝332·2＝12，∴θ＝60°.交BD于O，連EO，則OE∥AC1.BED⊥平面ECO，過C作CH⊥EO于H，則CH即為點C到平面BED之距，∴CH＝CE·COEO. BD→＋DE→＋EC→，所以BC→2＝BD→2＋DE→2＋EC→2＋2BD→·DE→＋2DE→·EC→＋2EC→·BD→.所以EC→·BD→＝－cos〈BD→·EC→〉＝－77.另解：如圖建立空間直角坐標(biāo)系，且設(shè)AB＝2，則B，C，A，設(shè)平面PAB的法向量為n1＝，由n1·AB→＝0，n1·PA→＝0. ＝SO＝OA＝OB＝OC＝a，則A，B，C，P(0，－a2，＝60°，所以直線BC與平面PAC的夾角為90°－60°＝30°.11．若A1、A2、A3是空間不共線的三點，則A1A2→＋A2A3→＋A3A1→＝__________________，12．已知a＝，b＝，向量c與z軸垂直，且滿足c·a＝9，c·b＝－4，則
【正文】 ABD的法向量 AC→ ＝ (0,1,0)． 由二面角 A－ BD－ C為 60176。知， 〈 AN→ ， AC→ 〉＝ 60176。， 故 AN→ AC→ ＝ |AN→ ||AC→ |cos60176。，求得 c＝ 12. 于是 AN→ ＝ (1,1， 2)， CB1→ ＝ (1，－ 1， 2)， cos〈 AN→ ， CB1→ 〉＝ AN→ CB1→|AN→ ||CB1→ |＝ 12，〈 AN→ ， CB1→ 〉＝ 60176。. 所以 B1C與平面 BCD所成的角為 30176。. 21． 如圖 ， 四棱錐 P－ ABCD中 ， PA⊥ 底面 ABCD， 四邊形 ABCD中 ， AB⊥ AD， AB＋AD＝ 4， CD＝ 2， ∠ CDA＝ 45176。. (1)求證 ： 平面 PAB⊥ 平面 PAD； (2)設(shè) AB＝ AP. (ⅰ )若直線 PB與平面 PCD所成的角為 30176。， 求線段 AB 的長 ； (ⅱ )在線段 AD上是否存在一個點 G， 使得點 G到點 P， B、 C、 D的距離都相等 ？ 說明理由 ． [解析 ] 解法一： (1)因為 PA⊥ 平面 ABCD， AB 平面 ABCD， 所以 PA⊥ AB． 又 AB⊥ AD， PA∩ AD＝ A，所以 AB⊥ 平面 PAD． 又 AB 平面 PAB，所 以平面 PAB⊥ 平面 PAD． (2)以 A為坐標(biāo)原點，建立空間直角坐標(biāo)系 A－ xyz(如圖 )． 在平面 ABCD內(nèi)，作 CE∥ AB 交 AD于點 E，則 CE⊥ AD． 在 Rt△ CDE中， DE＝ CDcos45176。＝ 1， CE＝ CDsin45176。＝ 1. 設(shè) AB＝ AP＝ t，則 B(t,0,0)， P(0,0， t)． 由 AB＋ AD＝ 4 得 AD＝ 4－ t， 所以 E(0,3－ t,0)， C(1,3－ t,0)， D(0,4－ t,0)， CD→ ＝ (－ 1,1,0)， PD→ ＝ (0,4－ t，－ t)． (ⅰ )設(shè)平面 PCD的法向量為 n＝ (x， y， z)， 由 n⊥ CD→ ， n⊥ PD→ ，得????? － x＋ y＝ 0，?4－ t?y－ tz＝ 0. 取 x＝ t，得平面 PCD的一個法向量 n＝ (t， t,4－ t)． 又 PB→ ＝ (t,0，－ t)，故由直線 PB與平面 PCD所成的角為 30176。得 cos60176。＝????????nPB→|n||PB→ |，即 |2t2－ 4t|t2＋ t2＋ ?4－ t?2 2t2＝12， 解得 t＝ 45或 t＝ 4(舍去，因為 AD＝ 4－ t0)，所以 AB＝ 45. (ⅱ )假設(shè)在線段 AD上存在一個點 G，使得點 G到點 P、 B、 C、 D的距離都相等 ． 設(shè) G(0， m,0)(其中 0≤ m≤ 4－ t)， 則 GC→ ＝ (1,3－ t－ m,0)， GD→ ＝ (0,4－ t－ m,0)， GP→ ＝ (0，－ m， t)． 由 |GC→ |＝ |GD→ |得 12＋ (3－ t－ m)2＝ (4－ t－ m)2， 即 t＝ 3－ m； ① 由 |GD→ |＝ |GP→ |得 (4－ t－ m)2＝ m2＋ t2. ② 由 ① 、 ② 消去 t，化簡得 m2－ 3m＋ 4＝ 0. ③ 由于方程 ③ 沒有實數(shù)根，所以在線段 AD上不存在一個點 G，使得點 G到點 P、 C、 D的距離都相等 ． 從而，在線段 AD上不存在一個點 G，使得點 G到點 P、 B、 C、 D的距離都相等 ． 解法二： (1)同解法一 ． (2)(ⅰ )同解法一 ． (ⅱ )假設(shè)在線段 AD上存在一個點 G，使得點 G到點 P， B， C， D的距離都相等 ． 由 GC＝ GD，得 ∠ GCD＝ ∠ GDC＝ 45176。， 從而 ∠ CGD＝ 90176。，即 CG⊥ AD， 所以 GD＝ CDcos45176。＝ 1. 設(shè) AB＝ λ，則 AD＝ 4－ λ， AG＝ AD－ GD＝ 3－ λ. 在 Rt△ ABG中， GB＝ AB2＋ AG2＝ λ2＋ ?3－ λ?2 ＝ 2?λ－ 32?2＋ 921， 這與 GB＝ GD矛盾 ． 所以在線段 AD上不存在一個點 G，使得點 G到點 B、 C、 D的距離都相等 ． 從而，在線段 AD上不存在一個點 G，使得點 G到點 P、 B、 C、 D的距離都相等 ．
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