高中數(shù)學(xué)立體幾何題型-資料下載頁
2025-08-05 18:17本頁面
【正文】 面是邊長為1的正方形，SD垂直于底面ABCD，SB=． （1）求證BCSC； （2）求面ASD與面BSC所成二面角的大??； （3）設(shè)棱SA的中點(diǎn)為M，求異面直線DM與SB所成角的 大?。?．在直角梯形ABCD中，208。D=208。BAD=90176。,AD=DC=AB=a,(如圖一)將△ADC 沿AC折起，使D到．記面AC為a,面ABC為b．面BC為g． （1）若二面角aACb為直二面角（如圖二），求二面角bBCg的大小。（2）若二面角aACb為60176。（如圖三），求三棱錐ABC的體積．5．如圖，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB=，AF=1，M是線段EF的中點(diǎn)．（1）求證AM//平面BDE；（2）求二面角ADFB的大??；（3）試在線段AC上確定一點(diǎn)P，使得PF與BC所成的角是60176。．【參考答案】一．選擇題 提示：AD在面ACC1A1上的射影應(yīng)在AC與A1C1中點(diǎn)的連線上，令射影為E，則∠△EAD中， 提示：由最小角定理知，最小角為，又異面直線所成角的范圍為，最大角為. 提示：由最小角定理知，此直線與另一面所成的角應(yīng)小于等于它與交線所成的角，故排除C、D，又此二面角為45176。，則此直線與另一平面所成的角只能小于它與交線所成的角，故選A. 提示：由題意，A1在面DCC1D1上的射影應(yīng)在C1D1延長線E上，且D1E=1，則∠A1CE為所求角，在Rt△AA1C中， 提示：由P到△ABC三個頂點(diǎn)的距離都是14，知P在底面ABC的射影是△ABC的外心，：BC=，即，在Rt△POB中， 提示：由題圖得 提示：連結(jié)MP、NQ交于O，由四邊形MNPQ是菱形得MP⊥NQ于O，將MNQ折起后易得MO⊥QN，OP⊥QN，所以∠MOP=60176。，且QN⊥面MOP，過O作OH⊥MP，所以O(shè)H⊥QN，從而OH為異面直線MP、QN的公垂線，經(jīng)計算得 提示：把半平面展到半平面內(nèi),此時,連結(jié)AC與棱的交點(diǎn)為M,這時AM+CM取最小值等于AC. (AM+CM)min= 提示：P、Q的最短距離即為異面直線AB與CD間的距離，當(dāng)P為AB的中點(diǎn)，Q為CD的中點(diǎn)時符合題意. 提示：將正棱錐展開，設(shè)正方形邊長為m，則 提示：在長方形ABCD中AB邊存在P，作，又因為AB=2，由對稱性可知，P為AB的中點(diǎn)時，AD最大為1，故選A. 提示：若BD與平面ABC所成的角為，則，取AC的中點(diǎn)O，則且BO=DO，不垂直，故BD與平面ABC所成的角一定不等于.二．填空題1．②③④ 提示：對于①，由得，①②連CB1交BC1于O，則O為C在面ABC1D1上的射影，為所成的線面角，②③正確，對于④連A1B，則為所成的角，解得，④正確.2．AB∥CD 提示：，要使體積為定值，則為定值，與E點(diǎn)位置無關(guān)，則AB∥CD3． 提示：作與E，易知，從而，又由，得，由可解的點(diǎn)到平面的距離為. 提示：MO=NO=30cm，過O作與旋轉(zhuǎn)前的MN平行且相等，所以旋轉(zhuǎn)后AB與平面的距離為，故升高了5040=10cm.5．①③④⑤.6..三、解答題1．（1）證明：在正三棱柱ABC—A1B1C1中，D為BC中點(diǎn)，則AD⊥面BCC1B1，從而AD⊥MC 又∵CM⊥AC1，則MC和平面ADC1內(nèi)兩相交直線AD，AC1均垂直∴MC⊥面ADC1，于是MC⊥DC1.(2)解：在矩形BB1C1C中，由CM⊥DC1 知△DCC1∽△BMC，設(shè)BB1=h,則BM=h∴h:a=從而所求AA1=：(Ⅰ)以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，以射線AD、AB、AP分別為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系，則p(0，0，)，A(0，0，0)，B(0，0)，C(2，0)，D(2，0，0)，E(1，0，0) ∵F在PC上，∴可令設(shè)F(x，y，z) ∵EF⊥平面PBC，∴且，又， 可得故F為PC的中點(diǎn). (Ⅱ)由(Ⅰ)可知：EF⊥PC，且EF⊥BC即EF⊥AD ∴EF是PC與AD的公垂線段，其長為||=1 (Ⅲ)由(Ⅰ)可知即為平面BEF的一個法向量而 設(shè)BD與平面BEF所成角θ，則：sinθ=cos∴θ=圖23．（1）證法一：如圖，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，∴DC是SC在平面ABCD上的射影，圖1由三垂線定理得BC⊥SC．證法二：如圖1，∵底面ABCD是正方形， ∴BC⊥DC．∵SD⊥底面ABCD，∴SD⊥BC，又DC∩SD=D，∴BC⊥平面SDC，∴BC⊥SC．（2）解：如圖2，過點(diǎn)S作直線在面ASD上，∵底面ABCD為正方形，在面BSC上，為面ASD與面BSC的交線．∴∠CSD為面ASD與面BSC所成二面角的平面角．∵BD=，SB=，SAD=1．∴（3）解1：如圖2，∵SD=AD=1，∠SDA=90176。，∴△SDA是等腰直角三角形．又M是斜邊SA的中點(diǎn)，∴DM⊥SA．∵BA⊥AD，BA⊥SD，AD∩SD=D，∴BA⊥面ASD，SA是SB在面ASD上的射影．由三垂線定理得DM⊥SB．圖3∴異面直線DM與SB所成的角為90176。．解2：如圖3，取AB中點(diǎn)P，連結(jié)MP，DP．在△ABS中，由中位線定理得 MP//SB，是異面直線DM與SB所成的角．，又∴在△DMP中，有DP2=MP2+DM2，∴異面直線DM與SB所成的角為90176。．4． 解：（1）在直角梯形ABCD中， 由已知DAC為等腰直角三角形， ∴ , 過C作CH⊥AB，由AB=2， 可推得 AC=BC= ∴ AC⊥BC ．取 AC的中點(diǎn)E，連結(jié)，則 ⊥AC 又 ∵ 二面角為直二面角，∴ ⊥ 又 ∵ 平面 ∴ BC⊥ ∴ BC⊥，而， ∴ BC⊥ ∴ 為二面角的平面角．由于， ∴二面角為． （2）取AC的中點(diǎn)E，連結(jié)，再過作，垂足為O，連結(jié)OE．∵ AC⊥， ∴ AC⊥ ∴ 為二面角的平面角， ∴ ． 在中， ∴ 5．解法一: (1)記AC與BD的交點(diǎn)為O,連接OE, ∵O、M分別是AC、EF的中點(diǎn)，ACEF是矩形，∴四邊形AOEM是平行四邊形，∴AM∥OE．∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDE．(2)在平面AFD中過A作AS⊥DF于S，連結(jié)BS，∵AB⊥AF， AB⊥AD， ∴AB⊥平面ADF，∴AS是BS在平面ADF上的射影，由三垂線定理得BS⊥DF．∴∠BSA是二面角A—DF—B的平面角．在RtΔASB中，∴∴二面角A—DF—B的大小為60186。．（3）設(shè)CP=t（0≤t≤2）,作PQ⊥AB于Q，則PQ∥AD，∵PQ⊥AB，PQ⊥AF，∴PQ⊥平面ABF，平面ABF，∴PQ⊥QF．在RtΔPQF中，∠FPQ=60186。，PF=2PQ．∵ΔPAQ為等腰直角三角形，∴又∵ΔPAF為直角三角形，∴，∴所以t=1或t=3(舍去),即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．解法二： （1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系．設(shè)，連接NE， 則點(diǎn)N、E的坐標(biāo)分別是（、（0,0,1）, ∴, 又點(diǎn)A、M的坐標(biāo)分別是,（ ∴ =（∴且NE與AM不共線，∴NE∥AM．又∵平面BDE， 平面BDE，∴AM∥平面BDF．（2）∵AF⊥AB，AB⊥AD，AF∴AB⊥平面ADF．∴為平面DAF的法向量．∵=（=0，∴=（=0得，∴NE為平面BDF的法向量．∴cos=∴AB與NE的夾角是60186。．即所求二面角A—DF—B的大小是60186。．（3）設(shè)P(t,t,0)(0≤t≤)得∴=（，0，0）又∵PF和BC所成的角是60186。．∴解得或（舍去），即點(diǎn)P是AC的中點(diǎn)．
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