高中數(shù)學(xué)立體幾何題型(已修改)
2025-08-17 18:17 本頁(yè)面
【正文】 第六講 立體幾何新題型【考點(diǎn)透視】(A)，對(duì)于異面直線的距離，、直線和平面所成的角、二面角的平面角、兩個(gè)平行平面間的距離的概念.(B)版. ①理解空間向量的概念，掌握空間向量的加法、減法和數(shù)乘.②了解空間向量的基本定理，理解空間向量坐標(biāo)的概念，掌握空間向量的坐標(biāo)運(yùn)算.③掌握空間向量的數(shù)量積的定義及其性質(zhì)，掌握用直角坐標(biāo)計(jì)算空間向量數(shù)量積公式.④理解直線的方向向量、平面的法向量，向量在平面內(nèi)的射影等概念.⑤了解多面體、凸多面體、正多面體、棱柱、棱錐、球的概念.⑥掌握棱柱、棱錐、球的性質(zhì)，掌握球的表面積、體積公式.⑦會(huì)畫直棱柱、正棱錐的直觀圖.空間距離和角是高考考查的重點(diǎn)：特別是以兩點(diǎn)間距離，點(diǎn)到平面的距離，兩異面直線的距離，直線與平面的距離以及兩異面直線所成的角，直線與平面所成的角，二面角等作為命題的重點(diǎn)內(nèi)容，高考試題中常將上述內(nèi)容綜合在一起放在解答題中進(jìn)行考查，分為多個(gè)小問題，但也可能在最后一問中設(shè)置有難度的問題.不論是求空間距離還是空間角，都要按照“一作，二證，三算”的步驟來完成，即寓證明于運(yùn)算之中，正是本專題的一大特色. 求解空間距離和角的方法有兩種：一是利用傳統(tǒng)的幾何方法，二是利用空間向量。【例題解析】考點(diǎn)1 點(diǎn)到平面的距離求點(diǎn)到平面的距離就是求點(diǎn)到平面的垂線段的長(zhǎng)度，其關(guān)鍵在于確定點(diǎn)在平面內(nèi)的垂足，當(dāng)然別忘了轉(zhuǎn)化法與等體積法的應(yīng)用.典型例題例1如圖，正三棱柱的所有棱長(zhǎng)都為，為中點(diǎn)．ABCD（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）求二面角的大??；（Ⅲ）求點(diǎn)到平面的距離．考查目的：本小題主要考查直線與平面的位置關(guān)系，二面角的大小，點(diǎn)到平面的距離等知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力． 解答過程：解法一：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．ABCDOF為正三角形，．正三棱柱中，平面平面，平面．連結(jié)，在正方形中，分別為的中點(diǎn)， ， ．在正方形中， 平面．（Ⅱ）設(shè)與交于點(diǎn)，在平面中，作于，連結(jié)，由（Ⅰ）得平面．， 為二面角的平面角．在中，由等面積法可求得，又， ．所以二面角的大小為．（Ⅲ）中，．在正三棱柱中，到平面的距離為．設(shè)點(diǎn)到平面的距離為．由，得，．點(diǎn)到平面的距離為．解法二：（Ⅰ）取中點(diǎn)，連結(jié)．為正三角形，．在正三棱柱中，平面平面，平面．xzABCDOFy取中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，，的方向?yàn)檩S的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，．，，．平面．（Ⅱ）設(shè)平面的法向量為．，． ，令得為平面的一個(gè)法向量．由（Ⅰ）知平面，為平面的法向量．，．二面角的大小為．（Ⅲ）由（Ⅱ），為平面法向量，．點(diǎn)到平面的距離．小結(jié)：本例中（Ⅲ），把不易直接求的B點(diǎn)到平面的距離轉(zhuǎn)化為容易求的點(diǎn)K到平面的距離的計(jì)算方法，這是數(shù)學(xué)解題中常用的方法；解法一采用了等體積法，這種方法可以避免復(fù)雜的幾何作圖，顯得更簡(jiǎn)單些，因此可優(yōu)先考慮使用這一種方法.,已知兩個(gè)正四棱錐PABCD與QABCD的高分別為1和2,AB=4.(Ⅰ)證明PQ⊥平面ABCD；(Ⅱ)求異面直線AQ與PB所成的角；(Ⅲ)求點(diǎn)P到平面QAD的距離.命題目的：本題主要考查直線與平面的位置關(guān)系、異面直線所成的角以及點(diǎn)到平面的距離基本知識(shí)，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運(yùn)算能力.QBCPADOM過程指引：方法一關(guān)鍵是用恰當(dāng)?shù)姆椒ㄕ业剿蟮目臻g距離和角；方法二關(guān)鍵是掌握利用空間向量求空間距離和角的一般方法.解答過程：方法一 （Ⅰ）取AD的中點(diǎn)，連結(jié)PM，QM.因?yàn)镻－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以AD⊥PM，AD⊥QM. 從而AD⊥平面PQM.又平面PQM，所以PQ⊥AD.同理PQ⊥AB，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）連結(jié)AC、BD設(shè)，由PQ⊥平面ABCD及正四棱錐的性質(zhì)可知O在PQ上，從而P、A、Q、連接PN.因?yàn)?，所以，從而AQ∥PN，∠BPN（或其補(bǔ)角）是異面直線AQ與PB所成的角.因?yàn)椋?從而異面直線AQ與PB所成的角是.(Ⅲ)連結(jié)OM，則所以∠MQP＝45176。.由（Ⅰ）知AD⊥平面PMQ，所以平面PMQ⊥平面QAD. 過P作PH⊥QM于H，PH⊥.又.即點(diǎn)P到平面QAD的距離是.QBCPADzyxO方法二?。á瘢┻B結(jié)AC、BD，設(shè).由P－ABCD與Q－ABCD都是正四棱錐，所以PO⊥平面ABCD，QO⊥平面ABCD.從而P、O、Q三點(diǎn)在一條直線上，所以PQ⊥平面ABCD.（Ⅱ）由題設(shè)知，ABCD是正方形，所以AC⊥BD. 由（Ⅰ），QO⊥平面ABCD. 故可分別以直線CA、DB、QP為x軸、y軸、z軸建立空間直角坐標(biāo)系（如圖），由題條件，相關(guān)各點(diǎn)的坐標(biāo)分別是P（0，0，1），A（，0，0），Q（0，0，－2），B（0，0）.所以于是.(Ⅲ)由（Ⅱ），點(diǎn)D的坐標(biāo)是（0，－，0）， ，設(shè)是平面QAD的一個(gè)法向量，由得.取x=1，得.所以點(diǎn)P到平面QAD的距離.考點(diǎn)2 異面直線的距離此類題目主要考查異面直線的距離的概念及其求法，考綱只要求掌握已給出公垂線段的異面直線的距離.典型例題例3 已知三棱錐，底面是邊長(zhǎng)為的正三角形，棱的長(zhǎng)為2，求CD與SE間的距離.思路啟迪：由于異面直線CD與SE的公垂線不易尋找，所以設(shè)法將所求異面直線的距離，轉(zhuǎn)化成求直線與平面的距離，再進(jìn)一步轉(zhuǎn)化成求點(diǎn)到平面的距離.解答過程： 如圖所示，取BD的中點(diǎn)F，連結(jié)EF，SF，CF，為的中位線，∥∥面,到平面的距離即為兩異面直線間的距離.又線面之間的距離可轉(zhuǎn)化為線上一點(diǎn)C到平面的距離，設(shè)其為h，由題意知，,D、E、F分別是AB、BC、BD的中點(diǎn)，在Rt中，在Rt中，又由于，即，解得故CD與SE間的距離為.小結(jié)：通過本例我們可以看到求空間距離的過程，就是一個(gè)不斷轉(zhuǎn)化的過程.考點(diǎn)3 直線到平面的距離此類題目再加上平行平面間的距離，主要考查點(diǎn)面、線面、面面距離間的轉(zhuǎn)化.典型例題例4． 如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，G是的中點(diǎn)，求BD到平面的距離.BACDOGH思路啟迪：把線面距離轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，再用點(diǎn)到平面距離的方法求解.解答過程：解析一 ∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)O平面的距離,，平面,又平面平面，兩個(gè)平面的交線是,作于H，則有平面，即OH是O點(diǎn)到平面的距離.在中，.又.即BD到平面的距離等于.解析二 ∥平面，上任意一點(diǎn)到平面的距離皆為所求，以下求點(diǎn)B平面的距離.設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為h，將它視為三棱錐的高，則 , 即BD到平面的距離等于.小結(jié)：當(dāng)直線與平面平行時(shí)，直線上的每一點(diǎn)到平面的距離都相等，；解析二是等體積法求出點(diǎn)面距離.考點(diǎn)4 異面直線所成的角此類題目一般是按定義作出異面直線所成的角，.典型例題例5如圖，在中，斜邊．可以通過以直線為軸旋轉(zhuǎn)得到，且二面角的直二面角．是的中點(diǎn)．（I）求證：平面平面； （II）求異面直線與所成角的大?。悸穯⒌希海↖I）的關(guān)鍵是通過平移把異面直線轉(zhuǎn)化到一個(gè)三角形內(nèi). 解答過程：解法1：（I）由題意，，是二面角是直二面角，又，平面，又平面．平面平面．（II）作，垂足為，連結(jié)（如圖），則，是異面直線與所成的角．在中，，．又．在中，．異面直線與所成角的大小為．解法2：（I）同解法1．（II）建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，則，，，．異面直線
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