高中數(shù)學(xué)空間向量與立體幾何教案新課標(biāo)人教a版選修(已修改)
2025-06-19 23:19 本頁面
【正文】 （一）教學(xué)要求：了解共線或平行向量的概念，掌握表示方法；理解共線向量定理及其推論；掌握空間直線的向量參數(shù)方程；會(huì)運(yùn)用上述知識(shí)解決立體幾何中有關(guān)的簡單問題．教學(xué)重點(diǎn)：空間直線、平面的向量參數(shù)方程及線段中點(diǎn)的向量公式．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1. 回顧平面向量向量知識(shí)：平行向量或共線向量？怎樣判定向量與非零向量是否共線？方向相同或者相反的非零向量叫做平行向量．由于任何一組平行向量都可以平移到同一條直線上，所以平行向量也叫做共線向量．向量與非零向量共線的充要條件是有且只有一個(gè)實(shí)數(shù)λ，使＝，二、新課講授：與平面向量一樣，如果表示空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．平行于記作//．2．關(guān)于空間共線向量的結(jié)論有共線向量定理及其推論： 共線向量定理：空間任意兩個(gè)向量、（≠0），//的充要條件是存在實(shí)數(shù)λ，使＝λ.理解：⑴上述定理包含兩個(gè)方面：①性質(zhì)定理：若∥（≠0），則有＝，其中是唯一確定的實(shí)數(shù)。②判斷定理：若存在唯一實(shí)數(shù)，使＝（≠0），則有∥（若用此結(jié)論判斷、所在直線平行，還需（或）上有一點(diǎn)不在（或）上）.⑵對(duì)于確定的和，＝表示空間與平行或共線，長度為 ||，當(dāng)0時(shí)與同向，當(dāng)0時(shí)與反向的所有向量.3. 推論：如果l為經(jīng)過已知點(diǎn)A且平行于已知非零向量的直線，那么對(duì)于任意一點(diǎn)O，點(diǎn)P在直線l上的充要條件是存在實(shí)數(shù)t滿足等式 ．其中向量叫做直線l的方向向量.推論證明如下：∵ l//a ，∴ 對(duì)于l上任意一點(diǎn)P，存在唯一的實(shí)數(shù)t，使得．(*) 又∵ 對(duì)于空間任意一點(diǎn)O，有， ∴ ， ． ①若在l上取，則有．(**)又∵ ∴ ．② 當(dāng)時(shí)，．③理解：⑴ 表達(dá)式①和②都叫做空間直線的向量參數(shù)表示式，③式是線段的中點(diǎn)公式．事實(shí)上，表達(dá)式(*)和(**)既是表達(dá)式①和②的基礎(chǔ)，也是直線參數(shù)方程的表達(dá)形式．OABCD⑵ 表達(dá)式①和②三角形法則得出的，可以據(jù)此記憶這兩個(gè)公式．⑶ 推論一般用于解決空間中的三點(diǎn)共線問題的表示或判定．空間向量共線（平行）的定義、共線向量定理與平面向量完全相同，是平面向量相關(guān)知識(shí)的推廣．4. 出示例1：用向量方法證明順次連接空間四邊形四邊中點(diǎn)的四邊形是平行四邊形. （ 分析：如何用向量方法來證明？）5. 出示例2：如圖O是空間任意一點(diǎn)，C、D是線段AB的三等分點(diǎn)，分別用、表示、.三、鞏固練習(xí)： 作業(yè)：（二）教學(xué)要求：了解向量與平面平行、共面向量的意義，掌握向量與平面平行的表示方法；理解共面向量定理及其推論；掌握點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件；會(huì)用上述知識(shí)解決立幾中有關(guān)的簡單問題．教學(xué)重點(diǎn)：點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件．教學(xué)難點(diǎn)：對(duì)點(diǎn)在已知平面內(nèi)的充要條件的理解與運(yùn)用．教學(xué)過程：一、復(fù)習(xí)引入1. 空間向量的有關(guān)知識(shí)——共線或平行向量的概念、共線向量定理及其推論以及空間直線的向量表示式、中點(diǎn)公式．2. 必修④《平面向量》，平面向量的一個(gè)重要定理——平面向量基本定理：如果ee2是同一平面內(nèi)兩個(gè)不共線的向量，那么對(duì)這一平面內(nèi)的任意一個(gè)向量a，有且只有一對(duì)實(shí)數(shù)λλ2，使a＝λ1e1＋、e2叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一組基底．二、新課講授1. 定義：如果表示空間向量a的有向線段所在直線與已知平面α平行或在平面α內(nèi)，則稱向量a平行于平面α，記作a//α．向量與平面平行，向量所在的直線可以在平面內(nèi)，而直線與平面平行時(shí)兩者是沒有公共點(diǎn)的．2. 定義：平行于同一平面的向量叫做共面向量．共面向量不一定是在同一平面內(nèi)的，但可以平移到同一平面內(nèi)．3. 討論：空間中任意三個(gè)向量一定是共面向量嗎？請舉例說明．結(jié)論：空間中的任意三個(gè)向量不一定是共面向量．例如：對(duì)于空間四邊形ABCD，、這三個(gè)向量就不是共面向量．4. 討論：空間三個(gè)向量具備怎樣的條件時(shí)才是共面向量呢？5. 得出共面向量定理：如果兩個(gè)向量a、b不共線，則向量p與向量a、b共面的充要條件是存在實(shí)數(shù)對(duì)x，y，使得 p= xa+yb ．證明：必要性：由已知，兩個(gè)向量a、b不共線．∵ 向量p與向量a、b共面∴ 由平面向量基本定理得：存在一對(duì)有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使得 p= xa+yb．充分性：如圖，∵ xa，yb分別與a、b共線， ∴ xa，yb都在a、b確定的平面內(nèi)．又∵ xa+yb是以｜xa｜、｜yb｜為鄰邊的平行四邊形的一條對(duì)角線所表示的向量，并且此平行四邊形在a、b確定的平面內(nèi)，∴ p= xa+yb在a、b確定的平面內(nèi)，即向量p與向量a、b共面．說明：當(dāng)p、a、b都是非零向量時(shí)，共面向量定理實(shí)際上也是p、a、b所在的三條直線共面的充要條件，但用于判定時(shí)，還需要證明其中一條直線上有一點(diǎn)在另兩條直線所確定的平面內(nèi)．6. 共面向量定理的推論是：空間一點(diǎn)P在平面MAB內(nèi)的充要條件是存在有序?qū)崝?shù)對(duì)x，y，使得，① 或?qū)τ诳臻g任意一定點(diǎn)O，有
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