高考卷普通高等學(xué)校招生考試湖北理數(shù)學(xué)理工農(nóng)醫(yī)類全解全析-資料下載頁
2025-09-30 12:13本頁面
【正文】 本小題主要考查直線、圓和拋物線等平面解析幾何的基礎(chǔ)知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識進行推理運算的能力和解決問題的能力．解法1：（Ⅰ）依題意，點的坐標(biāo)為，可設(shè)，NOACByx直線的方程為，與聯(lián)立得消去得．由韋達(dá)定理得，．于是．，當(dāng)時，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，的中點為，與為直徑的圓相交于點，的中點為，NOACByxl則，點的坐標(biāo)為．，．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．解法2：（Ⅰ）前同解法1，再由弦長公式得，又由點到直線的距離公式得．從而，當(dāng)時，．（Ⅱ）假設(shè)滿足條件的直線存在，其方程為，則以為直徑的圓的方程為，將直線方程代入得，則．設(shè)直線與以為直徑的圓的交點為，則有．令，得，此時為定值，故滿足條件的直線存在，其方程為，即拋物線的通徑所在的直線．20．本小題主要考查函數(shù)、不等式和導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用等知識，考查綜合運用數(shù)學(xué)知識解決問題的能力．解：（Ⅰ）設(shè)與在公共點處的切線相同．，由題意，．即由得：，或（舍去）．即有．令，則．于是當(dāng)，即時，；當(dāng)，即時，．故在為增函數(shù)，在為減函數(shù)，于是在的最大值為．（Ⅱ）設(shè)，則．故在為減函數(shù)，在為增函數(shù)，于是函數(shù)在上的最小值是．故當(dāng)時，有，即當(dāng)時，．21．本小題主要考查數(shù)學(xué)歸納法、數(shù)列求和、不等式等基礎(chǔ)知識和基本的運算技能，考查分析問題能力和推理能力．解法1：（Ⅰ）證：用數(shù)學(xué)歸納法證明：（?。┊?dāng)時，原不等式成立；當(dāng)時，左邊，右邊，因為，所以左邊右邊，原不等式成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式成立，即，則當(dāng)時，于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時，不等式也成立．綜合（?。áⅲ┲瑢σ磺姓麛?shù)，不等式都成立．（Ⅱ）證：當(dāng)時，由（Ⅰ）得，于是，．（Ⅲ）解：由（Ⅱ）知，當(dāng)時，．即．即當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．故只需要討論的情形：當(dāng)時，等式不成立；當(dāng)時，等式成立；當(dāng)時，等式成立；當(dāng)時，為偶數(shù)，而為奇數(shù)，故，等式不成立；當(dāng)時，同的情形可分析出，等式不成立．綜上，所求的只有．解法2：（Ⅰ）證：當(dāng)或時，原不等式中等號顯然成立，下用數(shù)學(xué)歸納法證明：當(dāng)，且時，． ?、伲á。┊?dāng)時，左邊，右邊，因為，所以，即左邊右邊，不等式①成立；（ⅱ）假設(shè)當(dāng)時，不等式①成立，即，則當(dāng)時，因為，所以．又因為，所以．于是在不等式兩邊同乘以得，所以．即當(dāng)時，不等式①也成立．綜上所述，所證不等式成立．（Ⅱ）證：當(dāng)，時，而由（Ⅰ），．（Ⅲ）解：假設(shè)存在正整數(shù)使等式成立，即有． ?、谟钟桑á颍┛傻?，與②式矛盾．故當(dāng)時，不存在滿足該等式的正整數(shù)．下同解法1．
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