【導(dǎo)讀】由于點O是△ABC的內(nèi)心，根據(jù)內(nèi)心的性質(zhì)得到OB、OC分別平分∠ABC、∠ACB，又EF∥BC，可得到∠1=∠3，則EO=EB，同理可得FO=FC，再根據(jù)周長的所以可得到y(tǒng)=x+a，∴y=x+a，（x＞0），即y是x的一次函數(shù)，以2cm/s的速度從B點出發(fā)沿著B→A的方向運動，點Q從A點出發(fā)沿著A→C的方向運動，當(dāng)點P到達(dá)點A時，點Q也隨之停止運動．設(shè)運動時間為t，當(dāng)△APQ是直角三角形時，試題解析：①：圖中的函數(shù)為正比例函數(shù)，與坐標(biāo)軸只有一個交點（0，0），由于缺少條件，無法求出陰影部分的面積；利用切線的性質(zhì)以及反比例函數(shù)的性質(zhì)即可得出，P點的坐標(biāo)應(yīng)該有兩個求出即可；∵P是雙曲線y=（x＞0）的一個分支上的一點，∵⊙P′與直線y=3相切，與t的函數(shù)關(guān)系式，并寫出t的取值范圍；

　　

【正文】 （ 3﹣ t，﹣ t）， ∴t ﹣ 1=3﹣ t， 解得 t=2， 即當(dāng) t=2時， △BPQ 為直角三角形． ② 如圖 2， ， 當(dāng) ∠PQB=90176。 時， ∵∠PBQ=45176。 ， ∴BP= ， ∵BP=3 ﹣（ t﹣ 1） =4﹣ t， BQ= ， ∴4 ﹣ t= 即 4﹣ t=2t， 解得 t=， 即當(dāng) t=時， △BPQ 為直角三角形． 綜上，可得 當(dāng) △BPQ 為直角三角形， t=或 2． （ 3）如圖 3，延長 MQ 交拋物線于點 N， H是 PQ的中點， ， 設(shè) PQ所在的直線的解析式是 y=px+q， ∵ 點 P的坐標(biāo)是（ t﹣ 1， 0），點 Q的坐標(biāo)是（ 3﹣ t，﹣ t）， ∴ ， 解得 ． ∴PQ 所在的直線的解析式是 y= x+ ， ∴ 點 M的坐標(biāo)是（ 0， ）， ∵ ， =﹣， ∴PQ 的中點 H的坐標(biāo)是（ 1，﹣）， 假設(shè) PQ的中點恰為 MN的中點， ∵1179。2 ﹣ 0=2，﹣ = ， ∴ 點 N的坐標(biāo)是（ 2， ）， 又 ∵ 點 N在拋物線上， ∴ =22﹣ 2179。2 ﹣ 3=﹣ 3， ∴ 點 N的坐標(biāo)是（ 2，﹣ 3）， 解得 t= 或 t= ， ∵t ＜ 2， ∴t= ， ∴ 當(dāng) t＜ 2時，延長 QP交 y軸于點 M，當(dāng) t= 時在拋物線上存在一點 N（ 2，﹣ 3），使得 PQ的中點恰為 MN的中點． 【點評】 （ 1）此 題主要考查了 二次函數(shù)綜合題，考查了分析推理能力，考查了分類討論思想的應(yīng)用，考查了數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，考查了從已知函數(shù)圖象中獲取信息，并能利用獲取的信息解答相應(yīng)的問題的能力． （ 2）此題還考查了等 腰三角形的性 質(zhì)和應(yīng)用，考查了分類討論思想的應(yīng)用，要熟練掌握，解答此題的關(guān)鍵是要明確： ① 等腰三角形的兩腰相等． ② 等腰三角形的兩個底角相等． ③ 等腰三角形的頂角平分線、底邊上的中線、底邊上的高相互重合 ． （ 3）此題還考查了待定系數(shù)法求函數(shù)解析式的方法，要熟練掌握． 21. (2021178。山西大同 178。一模）如圖：已知拋物線 ( 2) ( 4)8ky x x? ? ?（ k為常數(shù)，且 k0）與 x軸從左至右依次交于 A、 B兩點，與 y軸交于點 C，經(jīng)過點 B的直線 33y x b?? ? 與拋物線的另一個交點為 D. （ 1）若點 D的橫坐標(biāo)為 5，求拋物線的函數(shù)表達(dá)式； （ 2）若在第一象限的拋物線上有點 P，使得以 A、 B、 P 為頂點的三角形與△ ABC相似，求 k的值； （ 3）在 (1)的條件下，設(shè) F為線段 BD上一點 (不含端點 )， 連接 AF，一動點 M 從點 A 出發(fā)，沿線段 AF 以每秒 1 個單位的速度運動到 F，再沿線段 FD以每秒 2個單位的速度運動到點 D后停止 . 當(dāng)點 F的坐標(biāo)是多少時，點 M在整個運動過程中用時最少？ 答案：（ 1）由題意： 433b? 當(dāng) x=5時， y= 33? 179。（ 5） + 433? = 33? 把 D（ 5， 33 ）代入拋物線得 k=839 ∴ y= 23 2 3 8 39 9 9xx?? （ 2） C（ 0， k） OA=2， OB=4， OC=k ∴ AC= 2 4k ? ， BC= 2 16k ? 由題意兩個三角形相似只有兩種情況 當(dāng)△ PAB∽△ ABC時， PA ABAB BC? ∴ PA= 2ABBC = 2236 1616kk ?? 過 P做 PH⊥ x軸于 H， △ PAH∽△ CBO 2 36 36A H P H P AB O C O C B k? ? ? ?，214416AH k? ?,PH=23616kk ? P(214416k ?2，23616kk ?)代入 y= ( 2)( 4)8k xx? k2 =2， ∵ k0，∴ k= 2 當(dāng)△ APB∽△ ABC相似時，同理可求 k=455 （ 3）過 D作 DG⊥ y軸于 G，作 AQ⊥ DG于 Q,過 F作 FQ⊥ DG于 Q’ 設(shè)直線 BD交 y軸于 E，則 E（ 0， 433 ），∠ EBO=30176。 由 DG∥ AB得∠ EDG=30176。， DF=2FQ’ ∴ t=AF+2FD=AF+22 ’FQ?=AF+ FQ’ ∵ AF+ FQ’ ? AQ 即當(dāng) F為 AQ與 BD的交點時，點 M的運動時間最少 ∵ DG⊥ y軸， AQ⊥ DG ∴ xF=xA=2 當(dāng) xF =2時， yF=23 ∴ F（ 2， 23 ） 22. (2021178。四川峨眉 178。二模）如圖 12，拋物線 2 2y ax bx? ? ? 交 x 軸于 A ( 1,0)? ， (4,0)B兩點，交 y 軸于點 C ，與過點 C 且 平行于 x 軸的直線交于另一點 D ，點 P 是拋物線上一動點． （ 1）求拋物線解析式及點 D 坐標(biāo)； （ 2）點 E 在 x 軸上，若以 A ， E ， D ， P 為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點 P 的坐標(biāo)； （ 3）過點 P 作直線 CD 的垂線，垂足為 Q ，若將 CPQV 沿 CP 翻折，點 Q 的對應(yīng)點為 Q? ．是否存在點 P ， 使 Q? 恰好落在 x 軸上？若存在，求出此時點 p 的 坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：（ 1）∵拋物線 2 2y ax bx? ? ? 經(jīng)過 A ( 10)?， ， B (40)， 兩點， ∴ 2016 4 2 0abab? ? ??? ? ? ??，解得： 12a?? ， 32b? ， ∴拋物線解析式為： 213 222y x x? ? ? ?； ) 當(dāng) 2y? 時， 213 2222xx? ? ? ?，解得： 1 3x? ， 2 0x? （舍）， 即：點 D 坐標(biāo)為 (3 )， 2 ． （ 2）∵ A ， E 兩點都在 x 軸上， x y A B C D O 圖 12 圖 1 ∴ AE 有兩種可能： ①當(dāng) AE 為一邊時， AE ∥ PD ，此時點 P 與點 C 重合（如圖 1）， ∴ 1(0,2)P ， ②當(dāng) AE 為對角線時， P 點、 D 點到直線 AE （即 x 軸）的距離相等， ∴ P 點的縱坐標(biāo)為 2? （如圖 2）， 把 2y?? 代入拋物線的解析式，得： 213 2222xx? ? ? ? ?， 解得：1 3 412x ??，2 3 412x ??， ∴ P 點的坐標(biāo)為 3+ 41( 2)2 ?， ， 3 41( 2)2? ?， ， 綜上所述： 1(0,2)P ； 2P 3+ 41( 2)2 ?， ； 3P 3 41( 2)2? ?， ． （ 3）存在滿足條件的點 P ，顯然點 P 在直線 CD 下方，設(shè)直線 PQ 交 x 軸于 F ， 點 P 的坐標(biāo)為（ a ， 213222aa? ? ? ）， ①當(dāng) P 點在 y 軸右側(cè)時（如圖 3）， pCQ x a??， 2132 ( 2 )22cpP Q y y a a? ? ? ? ? ? ?? 21322aa? ， 又∵ C Q O FQ P??? ?? ?18 0 18 0 90C Q P PQ C?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 90C Q O O C Q??? ? ? ? ? ∴ FQ P OCQ??? ? ? , 又 90C O Q Q FP??? ? ? ? ?， ∴ COQ Q FP??V : V ， ∴ 39。39。39。Q C Q PCO Q F?， ∵ Q C CQ a? ??， 2CO? ， QP PQ? ??21322aa? ， ∴ 21322239。aaa QF?? ，∴ 39。3Q F a??， 圖 2 圖 3 ∴ ( 3 )O Q O F Q F a a??? ? ? ? ?3? ， CQ ＝ CQ? ＝ 2 2 2 239。 2 3 1 3CO O Q? ? ? ?， 即 13a? ，∴點 p 的坐標(biāo)為（ 13 ， 9 132?? ）， ②當(dāng) p 點在 y 軸左側(cè)時（如圖 4），此時 0a? ， 213 2022aa? ? ? ?， CQ ＝ Px ＝ a? ， PQ ＝ 2 －（ 213222aa? ? ? ）＝ 21322aa? ， 又∵ 90C Q O FQ P C Q P PQ C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 90C Q O O C Q??? ? ? ? ?， ∴ FQ P OCQ??? ? ? ，又 90C O Q Q FP??? ? ? ? ? ∴ COQ Q FP??V : V ，∴ 39。39。39。Q C Q PCO Q F?， ∵ Q C CQ a? ? ??， 2CO? ， QP PQ? ??21322aa? ， ∴ 21322239。aaa QF?? ? ，∴ 39。3Q F a?? ， ∴ 3 ( ) 3O Q Q F O F a a??? ? ? ? ? ? ?， CQ ＝ CQ? ＝ 2 2 2 239。 2 3 1 3CO O Q? ? ? ?， 此時 13a?? ，點 P 的坐標(biāo)為（ 13? ， 9 132?? ）． 綜上所述，滿足條件的點 P 有兩個，其坐標(biāo)分別為： （ 13 ， 9 132?? ），（ 13? ， 9 132?? ）． 23. (2021178。重慶巴南 178。一模）如圖，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 與 x 軸交于點 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）兩點，直線 y=﹣ x+3 與 y 軸交于點 C，與 x 軸交于點 D．點 P 是 x 軸上方的拋物線上一動點，過點 P作 PF⊥ x軸于點 F，交直線 CD于點 E．設(shè)點 P的橫坐標(biāo)為 m． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若 PE=5EF，求 m的值； （ 3）若點 E′是點 E關(guān) 于直線 PC的對稱點，是否存在點 P，使點 E′落在 y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 圖 4 【分析】 （ 1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （ 2）用含 m的代數(shù)式分別表示出 PE、 EF，然后列方程求解； （ 3）解題關(guān)鍵是識別出當(dāng)四邊形 PECE′是菱形，然后根據(jù) PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形 PECE′是菱形不存在時， P點 y軸上，即可得到點 P坐標(biāo)． 【解答】 方法一： 解：（ 1）將點 A、 B坐標(biāo)代入拋物線解析式，得： ，解得 ， ∴拋物線的解析式為： y=﹣ x2+4x+5． （ 2）∵點 P的橫坐標(biāo)為 m， ∴ P（ m，﹣ m2+4m+5）， E（ m，﹣ m+3）， F（ m， 0）． ∴ PE=|yP﹣ yE|=|（﹣ m2+4m+5）﹣（﹣ m+3） |=|﹣ m2+ m+2|， EF=|yE﹣ yF|=|（﹣ m+3）﹣ 0|=|﹣ m+3|． 由題意， PE=5EF，即： |﹣ m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15| ①若﹣ m2+ m+2= m+15，整理得： 2m2﹣ 17m+26=0， 解得： m=2或 m= ； ②若﹣ m2+ m+2=﹣（ m+15），整理得： m2﹣ m﹣ 17=0， 解得： m= 或 m= ． 由題意， m的取值范圍為：﹣ 1＜ m＜ 5，故 m= 、 m= 這兩個解均舍去． ∴ m=2或 m= ． （ 3）假設(shè)存在． 作出示意圖如下： ∵點 E、 E′關(guān)于直線 PC對稱， ∴∠ 1=∠ 2， CE=CE′， PE=PE′． ∵ PE平行于 y軸，∴∠ 1=∠ 3， ∴∠ 2=∠ 3，∴ PE=CE， ∴ PE=CE=PE′ =CE′，即四邊形 PECE′是菱形． 當(dāng)四邊形 PECE′是菱形存在時， 由直線 CD解析式 y=﹣ x+3，可得 OD=4， OC=3，由勾股定理得 CD=5． 過點 E作 EM∥ x軸，交 y軸于點 M，易得△ CEM∽△ CDO， ∴ ，即 ，解得 CE= |m|， ∴ PE=CE= |m|，又由（ 2）可知： PE=|﹣ m2+ m+2| ∴ |﹣ m2+ m+2|= |m|． ①若﹣ m2+ m+2= m，整理得： 2m2﹣ 7m﹣ 4=0，解得 m=4或 m=﹣ ； ②若﹣ m2+ m+2=﹣ m，整理得： m2﹣ 6m﹣ 2=0，解得 m1=3+ ， m2=3﹣ ． 由題意， m的取值范圍為：﹣ 1＜ m＜ 5，故 m=3+ 這個解舍去． 當(dāng)四邊形 PECE′是菱形這一條件不存在時， 此時 P點 橫坐標(biāo)為 0， E， C， E39。三點重合與 y軸上，菱形不存在． 綜上所述，存在滿足條件的點 P，可求得點 P坐標(biāo)為（﹣ ， ），（ 4， 5），（ 3﹣ ，2 ﹣ 3） 方法二： （ 1）略． （ 2）略． （ 3）若 E關(guān)于直線 PC的對