【導(dǎo)讀】如圖，通過證明△AOE≌△DOE得到∠OAE=∠ODE=90°，易證得ED是⊙O的切線；得∠DEO=∠C，∠ODE=∠OAE=90°，從而∠ODE=∠ADC=90°，從而證得△EOD∽△CAD．。在△AOE與△DOE中，又∵OD是⊙O的半徑，∴正確的①②④，∵點(diǎn)A的坐標(biāo)為，∴直線和圓一定相交，由題意可得：DC=4，∠BOA=∠CBO=60°，于是有∠BOC=60°，最后根據(jù)弧長公式計(jì)算出劣弧BC的長．?！唷鱋BC為等邊三角形，即∠BOC=60°，A．76°B．38°C．30°D．26°先根據(jù)切線的性質(zhì)得到∠OAB=90°，再利用互余計(jì)算出∠AOB=52°，然后根據(jù)圓周

　　

【正文】 （ 2）關(guān)鍵兩個(gè)圓內(nèi)切、外切半徑之間的關(guān)系，先求出 PH，設(shè) BP=x，根據(jù) AH2=AB2﹣ BH2=AP2﹣ PH2列出方程即可解決問題． （ 3）如圖 3中過點(diǎn) D作 DG⊥ AF于 G，設(shè) AG=t，根據(jù) AD2﹣ AG2=DF2﹣ FG2程即求出 t與 x的關(guān)系，再利用三角形面積公式計(jì)算即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1中，過點(diǎn) D作 DG⊥ AH于 G， ∵ AH⊥ BC， AB=AC ∴∠ DGE=∠ CHG=90176。 ， BH=CH， ∴ DG∥ BC， ∴ = = = = =，設(shè) EG=a，則 EH=3a， ∴ = =， ∴ AG=2a， AE=3a=2， ∴ AH=6a=4． （ 2）如圖 2中， ∵ 點(diǎn) P為圓心， BP 為半徑的圓與 ⊙ A外切， CP 為半徑 的圓與 ⊙ A內(nèi)切， ∴ AP=AD+BP， AP=PC﹣ AD， ∴ AD+BP=PC﹣ AD， ∴ PC﹣ BP=2AD=4， ∴ PH+HC﹣（ BH﹣ PH） =4， ∴ PH=2， ∵ AH2=AB2﹣ BH2=AP2﹣ PH2，設(shè) BP=x， ∴ 62﹣（ x+2） 2=（ x+2） 2﹣ 22， ∴ x=2 ﹣ 2， ∴ BC=2BH=2（ PB+PH） =4 ． （ 3）如圖 3中，過點(diǎn) D作 DG⊥ AF 于 G，設(shè) AG=t， ∵ AD2﹣ AG2=DF2﹣ FG2， ∴ 22﹣ t2=x2﹣（ 2﹣ t） 2， ∴ t= ， ∴ y=S△ ABC=18?S△ ADG=18?AG?DG=9? ? ， ∴ y= （ 0＜ x＜ 2 ）． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查圓的有關(guān)知識(shí)、兩圓的位置關(guān)系、勾股定理、平行線分線段成比例定理等知識(shí)，解題的關(guān)鍵是用轉(zhuǎn)化的思想，把問題掌握方程解決，屬于中考參考題型． 21. （ 2020江蘇丹陽市丹北片一模） （ 6分） 如圖， AB是 ⊙ O的弦， OP⊥ OA交 AB于點(diǎn) P，過點(diǎn) B的直線交 OP的延長線于點(diǎn) C，且 CP=CB． （ 1）求證： BC是 ⊙ O的切線； （ 2）若 ⊙ O的半徑為 ， OP=1，求 BC 的長 答案： （（ 6分）（ 1）證明 略（ 3分） （ 2） BC=2（ 3分） 22. （ 2020上海市閘北區(qū)中考數(shù)學(xué)質(zhì)量檢測(cè) 4月卷） （本題滿分 14 分 ， 第（ 1）小題 4分，第（ 2）小題 4分，第（ 3）小題 6分 ） 如圖，在 △ABC 中， AB=AC=6， BC=4， ⊙B 與邊 AB 相交于點(diǎn) D，與邊 BC 相交于點(diǎn) E，設(shè) ⊙B的半徑為 x． （ 1）當(dāng) ⊙B 與直線 AC 相切時(shí)，求 x的值； （ 2）設(shè) DC的長為 y，求 y關(guān)于 x的函數(shù)解析式，并寫出定義域； （ 3）若以 AC為直徑的 ⊙ P經(jīng)過點(diǎn) E，求 ⊙P 與 ⊙B 公共弦的長． 答案： 解：（ 1）作 AG⊥ BC于 G， BH⊥ AC于 H， ∵ AB＝ AC， AG⊥ BC，∴ BG＝ GC＝ 2， ∴ AG＝2 2 2 26 2 4 2AC C G = = 又 AG BC＝ BH AC， ∴4 2 4 8 263AG BCAC狀= = = ∴當(dāng)⊙ B與直線 AC相切時(shí)．8 23x=． （ 2）作 DF⊥ BC于 F， 則 DF∥ AG，∴BD DFAB AG=， 即6 42x DF=，∴223DF x= 1si n 3BF BD B x=?， ∴ CF＝ 4－13x， 在 Rt△ CFD中， CD2＝ DF2＋ CF2 C B A D E （第 22 題圖） G A B C H ∴221 2 2( 4 ) ( )33y x x= + ＝2 8 163xx+ （ 0x≤ 4）． （ 3）解法一： ?作 PQ⊥ BC于 Q． ∵ EF是⊙ B、⊙ P的公共弦， ∴ BP⊥ EF，且 EG＝ FG， ∵⊙ P經(jīng)過點(diǎn) E，∴ PA＝ PE＝ PC， ∴ AE⊥ BC， 又 AC＝ AB，∴ BE＝ EC＝ 2 ∵ PQ∥ AE，且 P是 AC的中點(diǎn) ∴ PQ＝1 222 AE=， CP＝ 3， ∴ CQ＝ 1， BQ＝ 3， ∴ BP＝17 設(shè) BP交 EF于點(diǎn) H 設(shè) mBH?，由2222 PHPEBHBE ???， 2222 )m17(3m2 ???? E F B C D A G E F B C D A Q P H 解得4m 3417?， ∴ EF=82m 3417? 解法二： 作 PQ⊥ BC于 Q． ∵ EF是⊙ B、⊙ P的公共弦， ∴ BP⊥ EF，且 EG＝ FG， ∵⊙ P經(jīng)過點(diǎn) E，∴ PA＝ PE＝ PC， ∴ AE⊥ BC， 又 AC＝ AB，∴ BE＝ EC＝ 2 ∵ PQ∥ AE，且 P是 AC的中點(diǎn)， ∴ PQ＝1 222 AE=， CP＝ 3， ∴ CQ＝ 1， BQ＝ 3， ∴ BP＝17 而 Rt△ BQP∽ Rt△ BGE， ∴BEPQ BP=，即22 2 17EG =，∴4 34EG ∴公共弦 EF＝83417 ?當(dāng)點(diǎn) E和點(diǎn) C重合時(shí)，341716?EF 23. （ 2020廣東一模） （本題滿分 8 分） 已知：如圖， 在△ ABC中， AB=AC，以 AC為直徑的⊙ O 交 AB 于點(diǎn) M，交 BC 于點(diǎn) N，連接 AN,過點(diǎn) C 的切線交 AB 的延長線于點(diǎn) P. （ 1）求證：∠ BCP=∠ BAN。 （ 2）求證： BPCBMNAM? E F B C D A Q P G 24. （ 2020廣東東莞聯(lián)考） 如圖， AB是 △ ABC外接圓 ⊙ O的直徑， D是 AB延長線上一點(diǎn)，且 BD=AB， ∠ A=30176。 ， CE⊥ AB 于 E，過 C的直徑交 ⊙ O于點(diǎn) F，連接 CD、 BF、 EF． （ 1）求證： CD是 ⊙ O的切線； （ 2）求： tan∠ BFE的值． 【考點(diǎn)】 切線的判定；解直角三角形． 【專題】 綜合題． 【分析】 （ 1）要證明 CD 是 ⊙ O的切線，只要證明 OC⊥ CD即可； （ 2）過點(diǎn) E 作 EH⊥ BF 于 H，設(shè) EH=a，利用角之間的關(guān)系可得到 AC∥ BF，從而得到BH= EH=a ， BE=2EH=2a，進(jìn)而可得到 BF的長，此時(shí)可求得 FH的長，再根據(jù)正切的公式即可求得 tan∠ BFE的值． 【解答】 （ 1）證明： ∵ AB 是 ⊙ O的直徑， ∴∠ ACB=90176。 ， ∵∠ A=30176。 ， ∴ BC= ， ∵ OB= ， BD= ， ∴ BC=OB=BD， ∴ BC= ， ∴ OC⊥ CD， ∵ OC是半徑， ∴ CD是 ⊙ O的切線； （ 2）解：過點(diǎn) E作 EH⊥ BF于 H，設(shè) EH=a， ∵ CF是 ⊙ O直徑， ∴∠ CBF=90176。= ∠ ACB， ∴∠ CBF+∠ ACB=180176。 ， ∴ AC∥ BF， ∴∠ ABF=∠ A=30176。 ， ∴ BH= EH=a ， BE=2EH=2a， ∵ CE⊥ AB于 E， ∴∠ A+∠ ABC=90176。= ∠ ECB+∠ ABC， ∴∠ ECB=∠ A=30176。 ， ∴ BC=2BE=4a， ∵∠ BFC=∠ A=30176。 ， ∠ CBF=90176。 ， ∴ BF= =4a ， ∴ FH=BF﹣ BH=4a ﹣ a =3a ， ∴ tan∠ BFE= = = ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查的是切線的判定，要證某線是圓的切線，已知此線過圓上某點(diǎn)，連接圓心和這點(diǎn)（即為半徑），再證垂直即可．要熟知直角三角形的性質(zhì)并熟練掌握三角函數(shù)值的求法． 25. （ 2020廣東深圳一模） 如圖，在直角坐標(biāo)系中，以點(diǎn) A（ ， 0）為圓心，以 2為半徑的圓與 x軸交于 B， C兩點(diǎn)，與 y軸交于 D， E兩點(diǎn)． （ 1）寫出 B， C， D點(diǎn)坐標(biāo)（不寫計(jì)算過程） （ 2）若 B、 C、 D三點(diǎn)在拋物線 y=ax2+bx+c上，求這個(gè)拋物線的解析式． （ 3）若圓 A的切線交于 x軸正半軸于 點(diǎn) M，交 y軸負(fù)半軸與點(diǎn) N，切點(diǎn)為 P， ∠ OMN=30176。 ，試判斷直線 MN是否經(jīng)過所示拋物線的頂點(diǎn) ？說明理由． 【考點(diǎn)】 圓的綜合題． 【分析】 （ 1）連接 AD，構(gòu)造直角三角形解答，在直角 △ ADO中， OA= ， AD=2 ，根據(jù)勾股定理就可以求出 AD的長，求出 D的坐標(biāo)，再利用圓的性質(zhì)得出 B， C的坐標(biāo)． （ 2）求出 B、 C、 D的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法設(shè)出一般式解答； （ 3）求出拋物線交點(diǎn)坐標(biāo)，連接 AP，則 △ APM是直角三角形，且 AP等于圓的半徑，根據(jù)三角函數(shù)就可以求出 AM的長，已知 OA，就可以得到 OM，則 M點(diǎn)的坐標(biāo) 可以求出；同理可以在直角 △ BNM 中，根據(jù)三角函數(shù)求出 BN 的長，求出 N 的坐標(biāo)，根據(jù)待定系數(shù)法就可以求出直線 MN的解析式．將交點(diǎn)坐標(biāo)代入直線解析式驗(yàn)證即可． 【解答】 解：（ 1）如圖 1，連接 AD，得 OA= ， AD=2 ， ∴ OD= = =3， ∴ D（ 0，﹣ 3）， ∵ 點(diǎn) A（ ， 0）為圓心，以 2 為半徑的圓與 x軸交于 B、 C兩點(diǎn)， ∴ B（﹣ ， 0）， C（ 3 ， 0）； （ 2） ∵ B（﹣ ， 0）， C（ 3 ， 0）， D（ 0，﹣ 3） ∴ 將 B， C， D三點(diǎn)代入拋物線 y=ax2+bx+c得， ， 解得： ∴ 拋物線為： y=x2﹣ x﹣ 3． （ 3）如圖 2，連接 AP，在 Rt△ APM中， ∠ PMA=30176。 ， AP=2 ∴ AM=4 ∴ M（ 5 ， 0） ∵ ON=MOtan30176。=5 ∴ N（ 0，﹣ 5） 設(shè)直線 MN的解析式為 y=kx+b，由于點(diǎn) M（ 5 ， 0）和 N（ 0，﹣ 5）在直線 MN上， 則 ， 解得 ∴ 直線 MN的解析式為 y= x﹣ 5 ∵ 拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（ ，﹣ 4）， 當(dāng) x= 時(shí)， y=﹣ 4 ∴ 點(diǎn)（ ，﹣ 4）在直線 y= x﹣ 5上，即直線 MN經(jīng)過拋物線的頂點(diǎn)． 【點(diǎn)評(píng)】 此題主要考查 了二次函數(shù)的綜合應(yīng)用以及用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式和圓以及存在性問題相結(jié)合，培養(yǎng)了同學(xué)們的實(shí)際應(yīng)用能力，注意利用數(shù)形結(jié)合得出是解題關(guān)鍵． 26. （ 2020廣東河源一模） 如圖，⊙ O的直徑 AB＝ 6 cm， D為⊙ O上一點(diǎn)，∠ BAD＝ 30176。，過點(diǎn) D的切線交 AB的延長線于點(diǎn) C。 求： (1)∠ ADC的度數(shù)； (2)AC的長。 解：（ 1）連接 OD. ∵在⊙ O中， OD＝ OA，∴∠ ADO＝∠ BAD＝ 30176。 .且 CD與⊙ O相切， ∴∠ ODC＝ 90176。 . ∴∠ ADC＝∠ ADO +∠ ODC＝ 90176。＋ 30176。＝ 120176。 . （ 2） ∵在 Rt△ ODC中，∠ C＝ 180176。 ∠ A∠ ADC＝ 30176。，∴ OC＝ 2OD＝ AB＝ 6 cm． 又∵ AO＝ AB21 ＝ 3 cm，∴ AC＝ AO＋ OC＝ 6＋ 3＝ 9（ cm） .