【文章內(nèi)容簡介】 如圖， AB是⊙ O的直徑，點 P在 BA的延長線上， 弦 CD⊥ AB，垂足為 E，且 PC2=PE PO. （ 1）求證： PC是⊙ O的切線； （ 2）若 OE︰ EA=1︰ 2， PA=6，求⊙ O的半徑； 答案：（ 1）連結(jié) OC. ∵ PC2=PE PO， ∴PCPOPEPC?.∠ P=∠ P. ∴△ PCE∽△ POC，………………… ……… 2分 ∴∠ PEC=∠ ∵ CD⊥ AB， ∴∠ PEC=90176。， ∴∠ PCO=90176。 .………………………… 3分 ∴ PC是 ⊙ O的切線 . ………………………… 4分 （ 2）設 OE= x.∵ OE︰ EA=1︰ 2， EA=x2， OA=OC=x3， ∴ OP=x3+ ∵ CE是高，∴ Rt△ OCE∽ Rt△ OPC,OCOPOEOC?. ……………… 5分 ∴ OC2=OE OP. 即).63()3( 2 ?? xxx……………………… 6分 ∴11?x，02?x（不合題意，舍去） .故 OA=3.………………………… 7分 7. (2020浙江麗水模擬 )（本題 8分） 已知：如圖， ⊙ O的半徑 OC 垂直弦 AB 于點 H，連接 BC，過點 A作弦 AE∥ BC，過點 C作 CD∥ BA交 EA延長線于點 D，延長 CO交 AE于點 F． （ 1）求證： CD為⊙ O的切線； （ 2）若 BC=10， AB=16，求 OF的長． 解 ：（ 1） ∵ OC⊥ AB， AB∥ CD ∴ OC⊥ DC. ∴∠ DCF=Rt∠ . ∴ CD是 ⊙ O的切線 . （ 2）連結(jié) OB=x ∵直徑 AB=16 OC⊥ AB ∴ HA=BH=8 . ∵ BC=10 ∴ CH=6. ∴ OH=x6. 由勾股定理得222 OBBHOH ?? 222 8)6( xx ??? 解得 325?x ∵ CB∥ AE ∴∠ CBA=∠ BAE，∠ HCB=∠ HFA 又∵ AH=BH △ CHB≌△ FHA ∴ CF=2CH=12 ∴ OF=CFOC=12 311325?. 8. (2020浙江金華東區(qū) 4月診斷檢測 （本題滿分 10分） 如圖， Rt△ ABC 中， ∠ ABC=90176。 ，以 AB 為直徑作 ⊙ O 交 AC邊于點 D，過點 D作 ⊙ O的切線交 BC于 E，連結(jié) DE交 OC于點 F， OF=CF， 連結(jié) OD、 OE． （ 1） 求證： △ ODE≌△ OBE； （ 2） 求證：四邊形 ODCE為平行四邊形； （ 3） 求 tan∠ ACO的值． ED FBAOCHED FBAOCHx ( h) y ( km ) 0 9 18 360 C D F E A O B 答案： （ 1）略（ 4分）；（ 2）略（ 4分）；（ 3）31（ 2分） 9. （ 2020 泰安一模） 如圖， BC 是 ⊙ O 的直徑， A 是 ⊙ O 上一點，過點 C 作 ⊙ O 的切線，交BA的延長線于點 D，取 CD的中點 E， AE的延長線與 BC的延長線交于點 P． （ 1）求證： AP是 ⊙ O的切 線； （ 2）若 OC=CP， AB=3 ，求 CD的長． 【考點】 切線的判定與性質(zhì)． 【分析】 （ 1）先由圓周角定理得出 ∠ BAC=90176。 ，再由斜邊上的中線性質(zhì)得出 AE= CD=CE=DE，由 CD是切線得出 CD⊥ OC，即可得出 OA⊥ AP，周長結(jié)論； （ 2）先證明 △ AOC 是等邊三角形，得出 ∠ ACO=60176。 ，再在 Rt△ BAC 和 Rt△ ACD 中，運用銳角三角函數(shù)即可得出結(jié)果． 【解答】 （ 1）證明：連結(jié) AO， AC；如圖所示： ∵ BC是 ⊙ O的直徑， ∴∠ BAC=90176。 ， ∴∠ CAD=90176。 ， ∵ E是 CD的中點， ∴ AE= CD=CE=DE， ∴∠ ECA=∠ EAC， ∵ OA=OC， ∴∠ OAC=∠ OCA， ∵ CD是 ⊙ O的切線， ∴ CD⊥ OC， ∴∠ ECA+∠ OCA=90176。 ， ∴∠ EAC+∠ OAC=90176。 ， ∴ OA⊥ AP， ∵ A是 ⊙ O上一點， ∴ AP是 ⊙ O的切線； （ 2）解：由（ 1）知 OA⊥ AP． 在 Rt△ OAP中， ∵∠ OAP=90176。 ， OC=CP=OA， 即 OP=2OA， ∴ sinP= = ； ∴∠ P=30176。 ， ∴∠ AOP=60176。 ， ∵ OC=OA， ∴△ AOC是等邊三角形， ∴∠ ACO=60176。 ， 在 Rt△ BAC中， ∵∠ BAC=90176。 ， AB=3 ， ∠ ACO=60176。 ， ∴ AC= = =3， 又 ∵ 在 Rt△ ACD中， ∠ CAD=90176。 ， ∠ ACD=90176。 ﹣ ∠ ACO=30176。 ， ∴ CD= = =2 ． 10. （ 2020棗莊 41中一模） 如圖，在平面直角坐標系 xOy中， ⊙ P的圓心 P為（﹣ 3， a），⊙ P與 y軸相切于點 C．直線 y=﹣ x被 ⊙ P截得的線段 AB長為 4 ，則過點 P的雙曲線的解析式為 y=﹣ ． 【考點】 切線的 性質(zhì)；待定系數(shù)法求反比例函數(shù)解析式；垂徑定理． 【專題】 計算題． 【分析】 作 PH⊥ x軸于 H，交直 線 y=﹣ x于 E，作 PD⊥ AB于 D，連結(jié) PC、 PA，如圖，根據(jù)切線的性質(zhì)得 PC⊥ y軸，則 PC=PA=OH=3，再根據(jù)垂徑定理，由 PD⊥ AB 得 AD=BD=AB=2 ，則可根據(jù)勾股定理計算出 PD=1，接著利用直線 y=﹣ x為第二、四象限的角平分線可判斷 △ HOB和 △ PDE都為等腰直角三角形，所以 EH=OH=3， PE= PD= ，則 P（﹣ 3， +3），然后利用待定系數(shù)法求過點 P的雙曲線的解析式． 【解答】 解：作 PH⊥ x軸于 H，交直線 y=﹣ x于 E，作 PD⊥ AB于 D，連結(jié) PC、 PA，如圖， ∵⊙ P與 y軸相切于點 C， ∴ PC⊥ y軸， 而 P（﹣ 3， a）， ∴ PC=3，即 ⊙ P的半徑為 3， ∴ PA=OH=3， ∵ PD⊥ AB， ∴ AD=BD=AB=4 =2 ， 在 Rt△ PAD中， PD= = =1， ∵ 直線 y=﹣ x為第二、四象限的角平分線， ∴∠ HOB=45176。 ， 易得 △ HOB和 △ PDE都為等腰直角三角形， ∴ EH=OH=3， PE= PD= ， ∴ PH=PE+EH= +3， ∴ P（﹣ 3， +3）， 設過點 P的雙曲線的解析式為 y=， 把 P（﹣ 3， +3）代入得 k=﹣ 3（ +3） =﹣ 3 ﹣ 9， ∴ 過點 P的雙曲線的解析式為 y=﹣ ． 故答案為 y=﹣ ． 11. （ 2020 天津北辰區(qū) 一摸） （本小題 10分） 已知四邊形 ABCD是平行四邊形，且以 AB為直徑的 ⊙ O經(jīng)過點 D. （ Ⅰ ）如圖（ 1），若 45BAD? ? ?，求證： 與 ⊙ 相切； （ Ⅱ ）如圖（ 2），若 6AD?， 10?， ⊙ O交 CD邊于點 F，交 CB邊延長線于點 E， 求 BE， DF的長； 圖 （ 2） D B C F A E O 圖 （ 1） D B C A O 第 1題 （ Ⅰ ）證明：連接 OD. ∵ ∠ A=45176。 ， ∴ ∠ BOD=90176。. ∵ 四邊形 ABCD 是平行四邊形， ∴ AB∥ CD. ∴ ∠ CDO+∠ BOD=180176。. ∴ ∠ CDO=∠ BOD=90176。 . ∴ CD與 ⊙ O相切 . …5 分 （ Ⅱ ）連接 DE， EF， BD. ∵ AB是 ⊙ O直徑 ， ∴ ∠ ADB=90176。. ∵ AD∥ BC， ∴ ∠ ADB=∠ EBD=90176。. ∴ DE是 ⊙ O直徑 . ∴ DE=AB=CD=10. ∴ BE=BC=AD=6. …7 分 在 Rt△ DEF和 Rt△ CEF中， 2 2 2EF DE DF??，2 2EF CE CF ∴ 2 2 2 2D E D F CE CF? ? ?. 設 F x?，則 10CF x??. ∴ 2 2 2 210 12 (10 )xx? ? ? ?. 解得145x?.即145DF?. 12. （ 2020天津南開區(qū)二模） 如圖，已知 AB 為 ⊙ O 的直徑，過 ⊙ O 上的點 C 的切線交AB的延長線于點 E， AD⊥ EC于點 D且交 ⊙ O于點 F，連接 BC， CF， AC． （ 1 ） 求 證 :BC=CF。 （ 2 ）若 AD=6 ， DE=8 ，求 BE 的長 。 （ 3 ）求證 :AF+2DF=AB． 考點：切線的性質(zhì)與判定 答案：見解析 試題解析：（ 1）證明：如圖，連接 OC， ∵ ED切 ⊙ O于點 C， ∴ CO⊥ ED， ∵ AD⊥ EC， ∴ CO∥ AD， ∴∠ OCA=∠ CAD， ∵∠ OCA=∠ OAC， ∴∠ OAC=∠ CAD， ∴ = ， ∴ BC=CF； （ 2）解： 圖 （ 1） D B C A O D B C F A E O 圖 （ 2） 在 Rt△ ADE中 ， ∵ AD=6， DE=8，根據(jù)勾股定理得 AE=10， ∵ CO∥ AD， ∴△ EOC∽△ EAD， ∴ = ， 設 ⊙ O的半徑為 r， ∴ OE=10﹣ r， ∴ =， ∴ r= ， ∴ BE=10﹣ 2r=； （ 3）證明：過 C作 CG⊥ AB于 G， ∵∠ OAC=∠ CAD， AD⊥ EC， ∴ CG=CD， 在 Rt△ AGC和 Rt△ ADC中， ∵ ， ∴ Rt△ AGC≌ Rt△ ADC（ HL）， ∴ AG=AD， 在 Rt△ CGB和 Rt△ CDF中， ∵ ， ∴ Rt△ CGB≌ Rt△ CDF（ HL）， ∴ GB=DF， ∵ AG+GB=AB， ∴ AD+DF=AB， AF+DF+DF=AB， ∴ AF+2DF=AB． 13. （ 2020 天津市和平區(qū) 一模） 已知， AB 為 ⊙ O 的直徑， C， D 為 ⊙ O 上兩點，過點 D的直線 EF與 ⊙ O相切，分別交 BA， BC的延長線于點 E， F， BF⊥ EF （ I）如圖 ① ，若 ∠ ABC=50176。 ，求 ∠ DBC的大?。? （ Ⅱ ）如圖 ② ，若 BC=2， AB=4，求 DE的長． 【考點】 切線的性質(zhì)． 【分析】 （ 1）如圖 1，連接 OD， BD，由 EF 與 ⊙ O 相切，得到 OD⊥ EF，由于 BF⊥ EF，得到OD∥ BF，得到 ∠ AOD=∠ B=50176。 ，由外角的性質(zhì)得到結(jié)果； （ 2）如圖 2，連接 AC， OD，根據(jù) AB為 ⊙ O的直徑，得出 ∠ ACB=90176。 ，由直角三角形的性質(zhì) 得到 ∠ CAB=30176。 ，于是 AC=AB?cos30176。=4 =2 ， AH=AO?cos30176。=2 = ，根據(jù)三角形的中位線的性質(zhì)解得結(jié)果． 【解答】 解（ 1）如圖 1，連接 OD， BD， ∵ EF與 ⊙ O