【正文】 y， 在 Rt△ODP 中， OD2+DP2=OP2， 即： 82+y2=（ 2y） 2， 解得： y= ， ∵∠OPA=∠B =90176。 ； （ 3）作 MQ∥AN ，交 PB于點 Q，如圖 2， ∵AP=AB ， MQ∥AN ， ∴∠APB=∠ABP=∠MQP ． ∴M P=MQ， ∵BN=PM ， ∴BN=QM ． ∵M(jìn)P=MQ ， ME⊥PQ ， ∴EQ= PQ． ∵M(jìn)Q∥AN ， ∴∠QMF=∠BNF ， 在 △MFQ 和 △NFB 中， ， ∴△MFQ≌△NFB （ AAS）． ∴QF= QB， ∴EF=EQ+QF= PQ+ QB= PB， 由（ Ⅰ ）中的結(jié)論可得： PC=4， BC=8， ∠C=90176。 天津五區(qū)縣 178。 ∴∠1+∠3=90176。 ∴∠1=∠2 在 △DEA 與 △GAF 中， ∴△DEA∽△GAF （ AA） ∴ ， ∵FG=CB=6 ∴ = ∴DA=3 ∴A 點的坐標(biāo)為（ 3， 6）． （ Ⅲ ）如圖 3，﹣ 1≤k≤ ﹣． ∵ 矩形沿直線 y=kx+n折疊，點 F在邊 OB上， ① 當(dāng) E點和 D點重合時， k的值為﹣ 1， ② 當(dāng) F點和 B點重合時， k的值為﹣； ∴ ﹣ 1≤k≤ ﹣． 【點評】 本題主要考查一次函數(shù)的 性質(zhì)，矩形的性質(zhì)，折疊的性質(zhì)，相似三角形的判定和性質(zhì)，正確的作出輔助線是解題的關(guān)鍵． 20. （ 2021178。 一模 ） 如圖，二 次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象交 x軸于 A（﹣ 1， 0）、B（ 3， 0）兩點，交 y軸于點 C，連接 BC，動點 P以每秒 1個單位長度的速度從 A向 B運(yùn)動，動點 Q以每秒 個單位長度的速度從 B向 C運(yùn)動， P、 Q同時出發(fā)，連接 PQ，當(dāng)點 Q到達(dá) C點時， P、 Q同時停止運(yùn)動，設(shè)運(yùn)動時間為 t秒． （ 1）求二次函數(shù)的解析式； （ 2）如圖 1，當(dāng) △BPQ 為直角三角形時，求 t的值； （ 3）如圖 2，當(dāng) t＜ 2時，延長 QP 交 y 軸于 點 M，在拋物線上是否存在一點 N，使得 PQ 的中點恰為 MN的中點？若存在，求出點 N的坐標(biāo)與 t的值；若不存在，請說明理由． 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 壓軸題． 【分析】 （ 1）根據(jù)二次函數(shù) y=x2+bx+c 的圖象經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）、 B（ 3， 0）兩點，應(yīng)用待定系數(shù)法，求 出二次函數(shù)的解析式即可． （ 2）首先根據(jù)待定系數(shù)法，求出 BC所在的直線 的解析式，再分別求出點 P、點 Q的坐標(biāo)各是多少；然后分兩種情況： ① 當(dāng) ∠QPB=90176。 時；根據(jù)等腰直角三角形的性質(zhì)，求出 t的值各是多少即可． （ 3）首先延長 MQ交拋物線于點 N， H是 PQ的 中點，再用待定系數(shù)法，求出 PQ所在的直線的解析式，然后根據(jù) PQ的中點恰為 MN 的中點，判斷出是否存在滿足題意的點 N即可． 【解答】 解：（ 1） ∵ 二次函數(shù) y=x2+bx+c的圖象經(jīng)過 A（﹣ 1， 0）、 B（ 3， 0）兩點， ∴ ， 解得 ． ∴ 二次函數(shù)的解析式是： y=x2﹣ 2x﹣ 3． （ 2） ∵y=x 2﹣ 2x﹣ 3， ∴ 點 C的坐標(biāo)是（ 0，﹣ 3）， ∴BC= =3 ， 設(shè) BC所在的直線的解析式是： y=mx+n， 則 ， 解得 ． ∴BC 所在的直線的解析式是： y=x﹣ 3， ∵ 經(jīng)過 t秒， AP=t， BQ= t， ∴ 點 P的坐標(biāo)是（ t﹣ 1， 0）， 設(shè)點 Q的坐標(biāo)是（ x， x﹣ 3）， ∵OB=OC=3 ， ∴∠OBC=∠OCB=45176。sin45176。 =t，則 Q點縱坐標(biāo)為﹣ t， ∴x=3 ﹣ t， ∴ 點 Q的坐標(biāo)是（ 3﹣ t，﹣ t）， ① 如圖 1， ， 當(dāng) ∠QPB=90176。 時， ∵∠PBQ=45176。2 ﹣ 0=2，﹣ = ， ∴ 點 N的坐標(biāo)是（ 2， ）， 又 ∵ 點 N在拋物線上， ∴ =22﹣ 2179。山西大同 178。（ 5） + 433? = 33? 把 D（ 5， 33 ）代入拋物線得 k=839 ∴ y= 23 2 3 8 39 9 9xx?? （ 2） C（ 0， k） OA=2， OB=4， OC=k ∴ AC= 2 4k ? ， BC= 2 16k ? 由題意兩個三角形相似只有兩種情況 當(dāng)△ PAB∽△ ABC時， PA ABAB BC? ∴ PA= 2ABBC = 2236 1616kk ?? 過 P做 PH⊥ x軸于 H， △ PAH∽△ CBO 2 36 36A H P H P AB O C O C B k? ? ? ?，214416AH k? ?,PH=23616kk ? P(214416k ?2，23616kk ?)代入 y= ( 2)( 4)8k xx? k2 =2， ∵ k0，∴ k= 2 當(dāng)△ APB∽△ ABC相似時，同理可求 k=455 （ 3）過 D作 DG⊥ y軸于 G，作 AQ⊥ DG于 Q,過 F作 FQ⊥ DG于 Q’ 設(shè)直線 BD交 y軸于 E，則 E（ 0， 433 ），∠ EBO=30176。 DF=2FQ’ ∴ t=AF+2FD=AF+22 ’FQ?=AF+ FQ’ ∵ AF+ FQ’ ? AQ 即當(dāng) F為 AQ與 BD的交點時，點 M的運(yùn)動時間最少 ∵ DG⊥ y軸， AQ⊥ DG ∴ xF=xA=2 當(dāng) xF =2時， yF=23 ∴ F（ 2， 23 ） 22. (2021178。二模）如圖 12，拋物線 2 2y ax bx? ? ? 交 x 軸于 A ( 1,0)? ， (4,0)B兩點，交 y 軸于點 C ，與過點 C 且 平行于 x 軸的直線交于另一點 D ，點 P 是拋物線上一動點． （ 1）求拋物線解析式及點 D 坐標(biāo)； （ 2）點 E 在 x 軸上，若以 A ， E ， D ， P 為頂點的四邊形是平行四邊形，求此時點 P 的坐標(biāo)； （ 3）過點 P 作直線 CD 的垂線，垂足為 Q ，若將 CPQV 沿 CP 翻折，點 Q 的對應(yīng)點為 Q? ．是否存在點 P ， 使 Q? 恰好落在 x 軸上？若存在，求出此時點 p 的 坐標(biāo)；若不存在，說明理由． 解：（ 1）∵拋物線 2 2y ax bx? ? ? 經(jīng)過 A ( 10)?， ， B (40)， 兩點， ∴ 2016 4 2 0abab? ? ??? ? ? ??，解得： 12a?? ， 32b? ， ∴拋物線解析式為： 213 222y x x? ? ? ?； ) 當(dāng) 2y? 時， 213 2222xx? ? ? ?，解得： 1 3x? ， 2 0x? （舍）， 即：點 D 坐標(biāo)為 (3 )， 2 ． （ 2）∵ A ， E 兩點都在 x 軸上， x y A B C D O 圖 12 圖 1 ∴ AE 有兩種可能： ①當(dāng) AE 為一邊時， AE ∥ PD ，此時點 P 與點 C 重合（如圖 1）， ∴ 1(0,2)P ， ②當(dāng) AE 為對角線時， P 點、 D 點到直線 AE （即 x 軸）的距離相等， ∴ P 點的縱坐標(biāo)為 2? （如圖 2）， 把 2y?? 代入拋物線的解析式，得： 213 2222xx? ? ? ? ?， 解得：1 3 412x ??，2 3 412x ??， ∴ P 點的坐標(biāo)為 3+ 41( 2)2 ?， ， 3 41( 2)2? ?， ， 綜上所述： 1(0,2)P ； 2P 3+ 41( 2)2 ?， ； 3P 3 41( 2)2? ?， ． （ 3）存在滿足條件的點 P ，顯然點 P 在直線 CD 下方，設(shè)直線 PQ 交 x 軸于 F ， 點 P 的坐標(biāo)為（ a ， 213222aa? ? ? ）， ①當(dāng) P 點在 y 軸右側(cè)時（如圖 3）， pCQ x a??， 2132 ( 2 )22cpP Q y y a a? ? ? ? ? ? ?? 21322aa? ， 又∵ C Q O FQ P??? ?? ?18 0 18 0 90C Q P PQ C?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 90C Q O O C Q??? ? ? ? ? ∴ FQ P OCQ??? ? ? , 又 90C O Q Q FP??? ? ? ? ?， ∴ COQ Q FP??V : V ， ∴ 39。39。aaa QF?? ，∴ 39。 2 3 1 3CO O Q? ? ? ?， 即 13a? ，∴點 p 的坐標(biāo)為（ 13 ， 9 132?? ）， ②當(dāng) p 點在 y 軸左側(cè)時（如圖 4），此時 0a? ， 213 2022aa? ? ? ?， CQ ＝ Px ＝ a? ， PQ ＝ 2 －（ 213222aa? ? ? ）＝ 21322aa? ， 又∵ 90C Q O FQ P C Q P PQ C? ? ?? ? ? ? ? ? ? ? ?， 90C Q O O C Q??? ? ? ? ?， ∴ FQ P OCQ??? ? ? ，又 90C O Q Q FP??? ? ? ? ? ∴ COQ Q FP??V : V ，∴ 39。39。aaa QF?? ? ，∴ 39。 2 3 1 3CO O Q? ? ? ?， 此時 13a?? ，點 P 的坐標(biāo)為（ 13? ， 9 132?? ）． 綜上所述，滿足條件的點 P 有兩個，其坐標(biāo)分別為： （ 13 ， 9 132?? ），（ 13? ， 9 132?? ）． 23. (2021178。一模）如圖，拋物線 y=﹣ x2+bx+c 與 x 軸交于點 A（﹣ 1， 0）， B（ 5， 0）兩點，直線 y=﹣ x+3 與 y 軸交于點 C，與 x 軸交于點 D．點 P 是 x 軸上方的拋物線上一動點，過點 P作 PF⊥ x軸于點 F，交直線 CD于點 E．設(shè)點 P的橫坐標(biāo)為 m． （ 1）求拋物線的解析式； （ 2）若 PE=5EF，求 m的值； （ 3）若點 E′是點 E關(guān) 于直線 PC的對稱點，是否存在點 P，使點 E′落在 y軸上？若存在，請直接寫出相應(yīng)的點 P的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由． 圖 4 【分析】 （ 1）利用待定系數(shù)法求出拋物線的解析式； （ 2）用含 m的代數(shù)式分別表示出 PE、 EF，然后列方程求解； （ 3）解題關(guān)鍵是識別出當(dāng)四邊形 PECE′是菱形，然后根據(jù) PE=CE的條件，列出方程求解；當(dāng)四邊形 PECE′是菱形不存在時， P點 y軸上，即可得到點 P坐標(biāo)． 【解答】 方法一： 解：（ 1）將點 A、 B坐標(biāo)代入拋物線解析式，得： ，解得 ， ∴拋物線的解析式為： y=﹣ x2+4x+5． （ 2）∵點 P的橫坐標(biāo)為 m， ∴ P（ m，﹣ m2+4m+5）， E（ m，﹣ m+3）， F（ m， 0）． ∴ PE=|yP﹣ yE|=|（﹣ m2+4m+5）﹣（﹣ m+3） |=|﹣ m2+ m+2|， EF=|yE﹣ yF|=|（﹣ m+3）﹣ 0|=|﹣ m+3|． 由題意， PE=5EF，即： |﹣ m2+ m+2|=5|﹣ m+3|=| m+15| ①若﹣ m2+ m+2= m+15，整理得： 2m2﹣ 17m+26=0， 解得： m=2或 m= ； ②若﹣ m2+ m+2=﹣（ m+15），整理得： m2﹣ m﹣ 17=0， 解得： m= 或 m= ． 由題意， m的取值范圍為：﹣ 1＜ m＜ 5，故 m= 、 m= 這兩個解均舍去． ∴ m=2或 m= ． （ 3）假設(shè)存在． 作出示意圖如下： ∵點 E、 E′關(guān)于直線 PC對稱， ∴∠ 1=∠ 2， CE=CE′， PE=PE′． ∵ PE平行于 y軸，∴∠ 1=∠ 3， ∴∠ 2=∠ 3，∴ PE=CE， ∴ PE=CE=PE′ =CE′，即四邊形 PECE′是菱形． 當(dāng)四邊形 PECE′是菱形存在時， 由直線 CD解析式 y=﹣ x+3，可得 OD=4， OC=3，由勾股定理得 CD=5． 過點 E作 EM∥ x軸，交 y軸于點 M，易得△ CEM∽△ CDO， ∴ ，即 ，解得 CE= |m|， ∴ PE=CE= |m|，又由（ 2）可知： PE=|﹣ m2+ m+2| ∴ |﹣ m2+ m+2|= |m|． ①若﹣ m2+ m+2= m，整理得： 2m2﹣ 7m﹣ 4=0，解得 m=4或 m=﹣ ； ②若﹣ m2+ m+2=﹣ m，整理得： m2﹣ 6m﹣ 2=0，解得 m1=3+ ， m2=3﹣ ． 由題意， m的取值范圍為：﹣ 1＜ m＜ 5，故 m=3+ 這個解舍去． 當(dāng)四邊形 PECE′是菱形這一條件不存在時， 此時 P點 橫坐標(biāo)為 0， E， C，