【導(dǎo)讀】8．如圖，在△ABC中，點(diǎn)D，E分別在AB，AC邊上，DE∥BC，形，點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），∵等腰Rt△OAB與等腰Rt△OCD是位似圖形，O為位似中心，相似比為1：2，在Rt△EDF中，∠EDF=90°，∠E=45°）如圖擺放，點(diǎn)D為AB的中點(diǎn)，DE交AC于點(diǎn)P，DF. 經(jīng)過點(diǎn)C，將△EDF繞點(diǎn)D順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)α，DE′交AC于點(diǎn)M，DF′。先根據(jù)直角三角形斜邊上的中線性質(zhì)得CD=AD=DB，則∠ACD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，由于∠EDF=90°，可利用互余得∠CPD=60°，再根據(jù)旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)得?！唷螦CD=∠A=30°，∠BCD=∠B=60°，在Rt△PCD中，∵tan∠PCD=tan30°=，13．如圖，BD、CE相交于點(diǎn)A，下列條件中，能推得DE∥BC的

　　

【正文】 M的中點(diǎn)， ∴ CN= BM=BN=NM， ∵ FN⊥ CD， ∴ CR=MR= CM， ∵∠ A=∠ H=90176。， ∴∠ ABE+∠ AEB=90176。， ∵∠ BEF=90176。， ∴∠ AEB+∠ FEH=90176。， ∴∠ ABE=∠ FEH， 在△ ABE和△ HEF中， ， ∴△ ABE≌△ HEF， ∴ AE=HF， ∵∠ H=∠ RDH=∠ DRF=90176。， ∴四邊形 DRFH是矩形， ∴ AE=HF=DR， ∴ AD﹣ AE=CD=DR，即 DE=CR， ∴ DE= CM． 10.(2020178。四川峨眉 178。二模）如圖 11（甲），在 ABC? 中， 90ACB? ? ? ， D 、 E 分別 是 BC 、 AC 邊上的點(diǎn)，且 : : 1 : 2C D DB AE EC??， AD 與 BE 相交于點(diǎn) M ，（ 1）求 AMMD 的值； （ 2）如圖 11(乙 )，在 ABC? 中， 90ACB? ? ? ，點(diǎn) D 在 BC 邊的延長(zhǎng)線上， E 在 AC 邊上，且 : 1: 2AE EC ? ， : : 1 : 2 : 3D C C B A C ? 求① AMMD ； ②若 1CD? ，求 BM 的值 . 答案： 解： (1)過 A 作 AF ∥ BC ，交 BE 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) F （如圖 11甲） , ∴ AFM DBMV : V ， ∴ AM AFMD DB? ． 又∵ AFE CBEV : V ， : 1: 2AE EC ? ， ∴ 12AF AECB EC??． 又 ∵ : 1: 2CD DB ? , ∴ 13 22AF AEECDB ??， ∴ 34AFDB? ， 即： 34AM AFMD DB??． (2) ①過 A 作 AF ∥ BC ，交 BE 的延長(zhǎng)線 于點(diǎn) F (如圖 11乙 )， ∴ AFM DBMV : V ， ∴ AM AFMD DB? ． 又∵ AFE CBEV : V ， : 1: 2AE EC ? ， ∴ 12AE AFEC BC??． ∵ : : 1 : 2 : 3D C C B A C ?， ∴ 12 23AF AFBC DB??， ∴ 13AFDB?， 即： 13AM AFMD DB??． ②在①的條件下， ∵ : : 1 : 2 : 3D C C B A C ?， 1CD? ， ∴ DC 、 CB 、 AC 分別為、 2 、 3 ． 又∵ : 1: 2AE EC ? ， ∴ 1AE? ， 2EC? ． 由 13AFDB?可得 1AF? ， ∴ AFEV 、 ECBV 為等腰直角 三角形， ∴ 22BE? 、 2EF? 、 32BF? ． 又 ∵ 13FM AMBM MD??， ∴ 34BM BF? ， ∴ 393 2 244BM ? ? ?． 11． (2020178。四川峨眉 178。二模）如圖， ABCDY 中， E 是 CD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn)， BE 與 AD 交于點(diǎn) F ， CDDE 21? ． （ 1）求證： ABFV ∽ CEBV ； （ 2）若 ABFV 的面積為 8 ，求 梯形 FBCD 的面積． 答案： （ 1）證明：在 ABCDY 中， E 是 CD 延長(zhǎng)線上一點(diǎn) ∴ AB ∥ CE ∴ ABF E? ?? 又 ∵ AC? ?? ABFV : CEBV （ 2）解：∵ AD ∥ BC ， ∴ EFD EBCV : V ． 又 ∵ ABFV : CEBV ， ∴ E F D A B F C E BV : :． 又 ∵ CDDE 21? ， AB CD? ， ∴ : : 1 : 2 : 3E D A B E C ?， ∴ : : 1 : 4 : 9E F D A B F E B CS S S ?V V V． 又∵ ABFV 的面積為 8 ， ∴ 4EFDS ?V ， B A C D E F ∴ 18CEBS ?V ， 所以梯形 FBCD 的面積為 CEBS ?V EFDSV =18 4? =14． 12． (2020178。上海普陀區(qū)178。一模 )已知：如圖，有一塊面積等于 1200cm2的三角形紙片 ABC，已知底邊與底邊 BC上的高的和為 100cm（底邊 BC大于底邊上的高），要把它加工成一個(gè)正方形紙片，使正方形的一邊 EF在邊 BC上，頂點(diǎn) D、 G分別在邊 AB、 AC上，求加工成的正方形鐵片 DEFG的 邊長(zhǎng)． 【考點(diǎn)】 相似三角形的應(yīng)用． 【分析】 作 AM⊥BC 于 M，交 DG 于 N，設(shè) BC=acm， BC 邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm，根據(jù)題意得出方程組求出 BC和 AM，再由平行線得出 △ADG∽△ABC ，由相似三角形對(duì)應(yīng)高的比等于相似比得出比例式，即可得出結(jié)果． 【解答】 解：作 AM⊥BC 于 M，交 DG 于 N，如圖所示： 設(shè) BC=acm， BC邊上的高為 hcm， DG=DE=xcm， 根據(jù)題意得： ， 解得： ，或 （不合題意，舍去）， ∴BC=60cm ， AM=h=40cm， ∵DG∥BC ， ∴△ADG∽△A BC， ∴ ，即 ， 解得： x=24， 即加工成的正方形鐵片 DEFG的邊長(zhǎng)為 24cm． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了方程組的解法、相似三角形的運(yùn)用；熟練掌握方程組的解法，證明三角形相似得出比例式是解決問題的關(guān)鍵． 13． (2020178。上海普陀區(qū)178。一模 )已知，如圖，在四邊形 ABCD 中， ∠ADB=∠ACB ，延長(zhǎng) AD、BC相交于點(diǎn) E．求證： （ 1） △ACE∽△BDE ； （ 2） BE?DC=AB?DE． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)鄰補(bǔ)角的定義得到 ∠BDE=∠ACE ，即可 得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，由于 ∠E=∠E ，得到 △ECD∽△EAB ，由相似三角形的性質(zhì)得到 ，等量代換得到 ，即可得到結(jié)論． 【解答】 證明：（ 1） ∵∠ADB=∠ACB ， ∴∠BDE=∠ACE ， ∴△ACE∽△BDE ； （ 2） ∵△ACE∽△BDE ， ∴ ， ∵∠E=∠E ， ∴△ECD∽△EAB ， ∴ ， ∴ ， ∴BE?DC=AB?DE ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)，鄰補(bǔ)角的定義，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 14． (2020178。 上海閔行區(qū) 178。 二模 )如 圖，已知在矩形 ABCD中，過對(duì)角線 AC的中點(diǎn) O作 AC的垂線，分別交射線 AD和 CB于點(diǎn) E、 F，交邊 DC于點(diǎn) G，交邊 AB于點(diǎn) H．聯(lián)結(jié) AF， CE． （ 1）求證：四邊形 AFCE是菱形； （ 2）如果 OF=2GO，求證： GO2=DG?GC． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；菱形的判定；矩形的性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 （ 1）根據(jù)矩形的性質(zhì)得到 AD∥BC ，由平行線的性質(zhì)得到 ∠EAC=∠ACF ，推出△EOA≌△FOC ，根據(jù)全等三角形的性質(zhì)得到 AE=CF， OE=OF，推出四邊形 AFCE是平行四邊形，根據(jù)菱形的判定 定理即可得到結(jié)論； （ 2）根據(jù)相似三角形的性質(zhì)得到 ，等量代換求得結(jié)論； 【解答】 證明：（ 1） ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴AD∥BC ， ∴∠EAC=∠ACF ， 在 △EOA 和 △FOC 中， ， ∴△EOA≌△FOC ， ∴AE=CF ， OE=OF， ∴ 四邊形 AFCE是平行四邊形， ∵AC⊥EF ， ∴ 四邊形 AFCE是菱形； （ 2） ∵∠EDG=∠COG=90176。 ， ∠EGD=∠CGO ， ∴△EGD∽△CGO ， ∴ ， ∵OF=2GO ， ∴EG=GO ， ∴GO 2=DG?GC． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查了全等三角形的判定和性質(zhì) ，相似三角形的判定和性質(zhì)，菱形的判定，矩形的性質(zhì)，熟練掌握相似三角形的性質(zhì)是解題的關(guān)鍵． 15． (2020178。上海浦東178。模擬 )（本題滿分 12分，第 (1)、（ 2）小題各 6分） 如圖，已知：四邊形 ABCD是平行四邊形， 點(diǎn) E在邊 BA的延長(zhǎng)線上， CE交 AD于點(diǎn) F，∠ ECA = ∠ D． （ 1）求證： ?EAC∽ ECB； （ 2）若 DF = AF，求 AC︰ BC的值． （ 1）證明：因?yàn)?，四邊?ABCD是平行四邊形， 所以，∠ B = ∠ D， 因?yàn)椤?ECA = ∠ D，所以∠ ECA = ∠ B， 因?yàn)椤?E = ∠ E， 所以△ ECA∽△ ECB (2)解：因?yàn)?，四邊?ABCD是平行四邊形， 所以， CD∥ AB，即： CD∥ AE 所以CD DFAE AF? 因?yàn)?DF=AF，所以， CD=AE， 因?yàn)樗倪呅?ABCD是平行四邊形，所以， AB=CD，所以 AE=AB， 所以， BE=2AE， 因?yàn)椤?ECA∽△ EBC 所以CE ACCE BE BC?? 所以2212E AE BE BE? ? ?，即：22CEBE? 所以22ACBC?． 16． (2020178。上海浦東178。模擬 )如圖， Rt△ ABC中， 90ACB??， 6BC?，點(diǎn) D為斜邊AB的中點(diǎn)，點(diǎn) E為邊 AC上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)．聯(lián)結(jié) DE，過點(diǎn) E作 DE的垂線與邊 BC交于點(diǎn) F，以,DEEF為鄰邊作矩形 D G． （ 1）如圖 1，當(dāng) 8AC?，點(diǎn) G在邊 AB上時(shí)，求 DE和 EF的長(zhǎng)； （ 2）如圖 2，若12DEEF?，設(shè) ACx?， 矩形 D G的面積為 y，求 y關(guān)于 x的函數(shù)解析式； （ 3）若23DEEF，且點(diǎn) G恰好落在 Rt△ ABC的邊上，求 AC的長(zhǎng)． 如圖， ∵1 52AD AB?? ∴解： (1) 3 1544D E FG? ? ? ?． GFEDCBA第 16題 圖 2 A BCDE FG第 16題 圖 1 3 3 15 454 4 4 16BG FG? ? ? ? ∴45 355 16 16DG ? ? ?． 即15 35,4 16D E EF??． （ 2）過點(diǎn) D作 H AC?于點(diǎn) H， 從而 3DH?． 易得△ DHE∽△ ECF， 由12DEEF?， 可得 26EC DH， 1 62EH x??． 所以22 2 23 ( 6) 6 4524xxD E x? ? ? ? ? ?． ∴222 12 902xy D E EF D E x? ? ? ? ? ?． (3) 由題意，點(diǎn) G可以在邊 BC或者 AB上． ①如左圖 若點(diǎn) 在邊 上， 從而由 3DE?， 可 知92EF?， 于是 29AC EF??； ②如右圖， 若點(diǎn) G在邊 AB上． 記 AD DB a， 矩形邊長(zhǎng)2 , 3D E b EF b， 由△ ADE∽△ FGB， 可得AD FGD GB?， 即223abb a b?， 化簡(jiǎn)可得223 4 0a ab b? ? ?， 因式分解 后有 : 4ab?， 即 2AD DE?． 而由△ ADE∽△ ACB， 所以 2AC BC?， 從而 12AC?． 綜上知， AC的值為 9或 12. 17.（ 2020178。江蘇省南京市鐘愛中學(xué)178。九年級(jí)下學(xué)期期初考試） （ 10分） △ABC ， ∠A 、 ∠B 、∠C 的對(duì)邊分別是 a、 b、 c，一條直線 DE與邊 AC相交于點(diǎn) D，與邊 AB相交于點(diǎn) E． （ 1）如圖 ① ，若 DE 將 △ABC 分成周長(zhǎng)相等的兩部分，則 AD+AE 等于多少；（用 a、 b、 c表示） （ 2）如圖 ② ，若 AC=3， AB=5， BC=4． DE將 △ABC 分成周長(zhǎng)、面積相等的兩部分，求 AD； （ 3）如圖 ③ ，若 DE將 △ABC 分成周長(zhǎng)、面積相 等的兩部分，且 DE∥BC ，則 a、 b、 c滿足什么關(guān)系？ 答案： （ 10分） 解：（ 1） ∵DE 將 △ABC 分成周長(zhǎng)相等的兩部分， 36xHGFED BAC ∴AD+AE=CD+BC+BE= （ AB+AC+BC） = （