【導讀】點A出發(fā)，沿A﹣B﹣C﹣O的路線勻速運動，設動點P的運動時間為t，△OAP的面積為S，當點P到達點A時，點Q也隨之停止運動．設運動時間為t，當△APQ是直角三角形時，點C，D不重合），是AB的中點，點D，E是AC，BC邊上的動點，且ADCE?，連接DE.有下列結論：。；②四邊形PDCE面積為1；③點C到DE距離的最大值為。確的個數(shù)是（）.然后點P由點B運動到點C時，△APD的面積是不變的；切線交于點B，且∠APB=60°，故此函數(shù)為二次函數(shù)，∴當x=﹣=2時，S取到最小值為：=0，若點E落在半徑OB上，則點E的坐標為▲.

　　

【正文】 ∴ MN=DM，設 OM=x，則（ x+2） 2=x2+42解得 x=3， ∴點 M（ 0，﹣ 3），直線 DM為 y=﹣ x﹣ 3， 由 解得 ， ∴ R1（﹣ 7， ）， R2（ 4，﹣ 6）， ∴直線 R1H1為 y=﹣ 2x﹣ ，此時 Q1（﹣ ， 0）， 直線 R2H2為 y=﹣ 2x+2，此時 Q2（ ）， ②當∠ DR3H3=∠ ACO時，∵ R3Q3⊥ DC， AC⊥ DC， ∴∠ R3DH3=∠ CNK， ∴ DR3∥ OC， ∴ R3（﹣ 4， 6），直線 R3Q3為 y=﹣ 2x﹣ 2， ∴ Q3（﹣ 1， 0）． 綜上所述滿足條件的點 Q的坐標為 Q1（﹣ ， 0）， Q2（ ）， Q3（﹣ 1， 0）． 10. （ 2021吉林東北師范大學附屬中學一模） （ 10分）如圖，在 RtABC? 中， 90ACB? ? ? ，2AC BC??， CD AB? 于點 D ．動點 P 從點 A 出發(fā)，沿 AC? 以 1cm/s 的速度向終點C 運動，點 P 不與 AC、 重合 ． 過點 P 作 PQ BC 交折線 AD DC? 于點 Q ， 以 PQ 為邊向PQ 右側作正方形 PQMN ．設正方形 PQMN 與 ACD? 重疊部分圖形的面積為 2(cm)S ，點 P運動的時間為 (s)t ． （ 1）當點 M 在 CD 邊上時，求的值． （ 2）用含的代 數(shù)式表示 PQ 的長． （ 3）求 S 與 之間 的函數(shù) 關系 式． 答案： 解：（ 1）如圖 ① ， 32t? ， 23t? ． （ 2） ① 當 01t?? 時， PQ t? ． ② 當 12t?? 時， 2PQ t?? ． （ 3） ① 如圖 ② ，當 20 3t?? 時， 2St? ． ② 如圖 ③ ，當 2 13 t?? 時， 27 622S t t? ? ? ?． ③ 如圖 ④ ，當 12t?? 時， 21 ( 2)2St??． 11. （ 2021廣東東莞聯(lián)考） 如圖 1，在平面直角坐標系中，已知點 A（ 0， 4 ），點 B在 x 正半軸上，且 ∠ ABO=30 度．動點 P在線段 AB上從點 A向點 B 以每秒 個單位的速度運動，設運動時間為 t秒．在 x軸上取兩點 M， N作等邊 △ PMN． （ 1）求直線 AB的解析式； （ 2）求等邊 △ PMN的邊長（用 t的代數(shù)式表示），并求出當?shù)冗?△ PMN的頂點 M運動到與原點 O重合時 t的值； （ 3）如果取 OB的中點 D，以 OD為邊在 Rt△ AOB內部作如圖 2所示的矩形 ODCE，點 C在線段 AB上．設等邊 △ PMN和矩形 ODCE重疊部分的面積為 S，請求出當 0≤t≤2 秒時 S與 t的函數(shù)關系式，并求出 S的最大值． NMQPDCBAA BCDPQMNNMQPDCBAFENMQPDCBA(N )MQPDCBA圖 ① 圖 ② 圖 ③ 圖 ④ 【考點】 二次函數(shù)綜合題． 【專題】 壓軸題；動點型；分類討論． 【分析】 （ 1）先在直角三角形 AOB中，根據(jù) ∠ ABO 的度數(shù)和 OA 的長，求出 OB 的長，即可得出 B點的坐標，然后用待定系數(shù)法即可求出直線 AB的解析式． （ 2）求等邊三角形的邊長就是求出 PM的長，可 在直角三角形 PMB中，用 t表示出 BP的長，然后根據(jù) ∠ ABO的度數(shù)，求出 PM的長． 當 M、 O重合時，可在直角三角形 AOP中，根據(jù) OA的長求出 AP的長，然后根據(jù) P點的速度即可求出 t的值． （ 3）本題要分情況進行討論： ① 當 N在 D點左側且 E在 PM右側或在 PM上時，即當 0≤t≤1 時，重合部分是直角梯形 EGNO． ② 當 N在 D點左側且 E在 PM左側時，即當 1＜ t＜ 2時，此時重復部分為五邊形，（如圖 3）其面積可用 △ PMN的面積﹣ △ PIG的面積﹣ △ OMF的面積來求得．（也可用梯形 ONGE的面積﹣三角形 FEI的面積來求）． ③ 當 N、 D重合時，即 t=2時，此時 M、 O也重合，此時重合部分為等腰梯形． 根據(jù)上述三種情況，可以得出三種不同的關于重合部分面積與 t的函數(shù)關系式，進而可根據(jù)函數(shù)的性質和各自的自變量的取值范圍求出對應的 S的最大值． 【解答】 解：（ 1）由 OA=4 ， ∠ ABO=30176。 ，得到 OB=12， ∴ B（ 12， 0），設直線 AB解析式為 y=kx+b， 把 A和 B坐標代入得： ， 解得： ， 則直線 AB的解析式為： y=﹣ x+4 ． （ 2） ∵∠ AOB=90176。 ， ∠ ABO=30176。 ， ∴ AB=2OA=8 ， ∵ AP= t， ∴ BP=AB﹣ AP=8 t， ∵△ PMN是等邊三角形， ∴∠ MPB=90176。 ， ∵ tan∠ PBM= ， ∴ PM=（ 8 ﹣ t） =8﹣ t． 如圖 1，過 P分別作 PQ⊥ y軸于 Q， PS⊥ x軸于 S， 可求得 AQ=AP= t， PS=QO=4 ﹣ t， ∴ PM=（ 4 ﹣ ） 247。 =8﹣ t， 當點 M與點 O重合時， ∵∠ BAO=60176。 ， ∴ AO=2AP． ∴ 4 =2 t， ∴ t=2． （ 3） ① 當 0≤t≤1 時，見圖 2． 設 PN交 EC于點 G，重疊部分為直角梯形 EONG，作 GH⊥ OB于 H． ∵∠ GNH=60176。 ， ， ∴ HN=2， ∵ PM=8﹣ t， ∴ BM=16﹣ 2t， ∵ OB=12， ∴ ON=（ 8﹣ t）﹣（ 16﹣ 2t﹣ 12） =4+t， ∴ OH=ON﹣ HN=4+t﹣ 2=2+t=EG， ∴ S=（ 2+t+4+t） 2 =2 t+6 ． ∵ S隨 t的增大而增大， ∴ 當 t=1時， Smax=8 ． ② 當 1＜ t＜ 2時，見圖 3． 設 PM交 EC于點 I，交 EO于點 F， PN交 EC于點 G，重疊部分為五邊形 OFIGN． 作 GH⊥ OB于 H， ∵ FO=4 ﹣ 2 t， ∴ EF=2 ﹣（ 4 ﹣ 2 t） =2 t﹣ 2 ， ∴ EI=2t﹣ 2． ∴ S=S 梯形 ONGE﹣ S△ FEI=2 t+6 ﹣（ 2t﹣ 2）（ 2 t﹣ 2 ） =﹣ 2 t2+6 t+4 由題意可得 MO=4﹣ 2t， OF=（ 4﹣ 2t） ， PC=4 ﹣ t， PI=4﹣ t， 再計算 S△ FMO=（ 4﹣ 2t） 2 S△ PMN= （ 8﹣ t） 2， S△ PIG= （ 4﹣ t） 2， ∴ S=S△ PMN﹣ S△ PIG﹣ S△ FMO= （ 8﹣ t） 2﹣ （ 4﹣ t） 2﹣（ 4﹣ 2t） 2 =﹣ 2 t2+6 t+4 ∵ ﹣ 2 ＜ 0， ∴ 當 時， S有最大值， Smax= ． ③ 當 t=2時， MP=MN=6，即 N與 D重合， 設 PM交 EC于點 I， PD交 EC于點 G，重疊部 分為等腰梯形 IMNG，見圖 4． S= 6 2﹣ 2 2=8 ， 綜上所述：當 0≤t≤1 時， S=2 t+6 ； 當 1＜ t＜ 2時， S=﹣ 2 t2+6 t+4 ； 當 t=2時， S=8 ． ∵ ， ∴ S的最大值是 ． 【點評】 本題考查一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數(shù)的綜合應用等知識，綜合性強，考查學生分類討論，數(shù)形結合的數(shù)學思想方法．