【正文】 ， ， ∴ HN=2， ∵ PM=8﹣ t， ∴ BM=16﹣ 2t， ∵ OB=12， ∴ ON=（ 8﹣ t）﹣（ 16﹣ 2t﹣ 12） =4+t， ∴ OH=ON﹣ HN=4+t﹣ 2=2+t=EG， ∴ S=（ 2+t+4+t） 2 =2 t+6 ． ∵ S隨 t的增大而增大， ∴ 當(dāng) t=1時(shí)， Smax=8 ． ② 當(dāng) 1＜ t＜ 2時(shí)，見(jiàn)圖 3． 設(shè) PM交 EC于點(diǎn) I，交 EO于點(diǎn) F， PN交 EC于點(diǎn) G，重疊部分為五邊形 OFIGN． 作 GH⊥ OB于 H， ∵ FO=4 ﹣ 2 t， ∴ EF=2 ﹣（ 4 ﹣ 2 t） =2 t﹣ 2 ， ∴ EI=2t﹣ 2． ∴ S=S 梯形 ONGE﹣ S△ FEI=2 t+6 ﹣（ 2t﹣ 2）（ 2 t﹣ 2 ） =﹣ 2 t2+6 t+4 由題意可得 MO=4﹣ 2t， OF=（ 4﹣ 2t） ， PC=4 ﹣ t， PI=4﹣ t， 再計(jì)算 S△ FMO=（ 4﹣ 2t） 2 S△ PMN= （ 8﹣ t） 2， S△ PIG= （ 4﹣ t） 2， ∴ S=S△ PMN﹣ S△ PIG﹣ S△ FMO= （ 8﹣ t） 2﹣ （ 4﹣ t） 2﹣（ 4﹣ 2t） 2 =﹣ 2 t2+6 t+4 ∵ ﹣ 2 ＜ 0， ∴ 當(dāng) 時(shí)， S有最大值， Smax= ． ③ 當(dāng) t=2時(shí)， MP=MN=6，即 N與 D重合， 設(shè) PM交 EC于點(diǎn) I， PD交 EC于點(diǎn) G，重疊部 分為等腰梯形 IMNG，見(jiàn)圖 4． S= 6 2﹣ 2 2=8 ， 綜上所述：當(dāng) 0≤t≤1 時(shí)， S=2 t+6 ； 當(dāng) 1＜ t＜ 2時(shí)， S=﹣ 2 t2+6 t+4 ； 當(dāng) t=2時(shí)， S=8 ． ∵ ， ∴ S的最大值是 ． 【點(diǎn)評(píng)】 本題考查一次函數(shù)解析式的確定、圖形的面積求法、三角形相似及二次函數(shù)的綜合應(yīng)用等知識(shí)，綜合性強(qiáng)，考查學(xué)生分類(lèi)討論，數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想方法． 。 =8﹣ t， 當(dāng)點(diǎn) M與點(diǎn) O重合時(shí)， ∵∠ BAO=60176。 ， ∴ AB=2OA=8 ， ∵ AP= t， ∴ BP=AB﹣ AP=8 t， ∵△ PMN是等邊三角形， ∴∠ MPB=90176。 ，得到 OB=12， ∴ B（ 12， 0），設(shè)直線 AB解析式為 y=kx+b， 把 A和 B坐標(biāo)代入得： ， 解得： ， 則直線 AB的解析式為： y=﹣ x+4 ． （ 2） ∵∠ AOB=90176。廣東東莞吉林東北師范大學(xué)附屬中學(xué) ∴∠ MFC=∠ MCF=45176。 ∵∠ MCO=∠ MEO=∠ EOC=90176。 ∴∠ MCF=90176。重慶巴蜀 由 DG∥ AB得∠ EDG=30176。山西大同 重慶銅梁巴川∠A=∠A ， ∴△ AQI∽△ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當(dāng) 或 或 時(shí)， △APQ 是等腰三角形． 6. （ 2021 泰安一模） 如圖，矩形 ABCD中，點(diǎn) P 是線段 AD 上一動(dòng)點(diǎn)， O 為 BD 的中點(diǎn)， PO的延長(zhǎng)線交 BC于 Q． （ 1）求證： OP=OQ； （ 2）若 AD=8厘米， AB=6厘米， P從點(diǎn) A出發(fā)，以 1厘米 /秒的速度向 D運(yùn)動(dòng)（不與 D重合）．設(shè)點(diǎn) P運(yùn)動(dòng)時(shí)間為 t秒，請(qǐng)用 t表示 PD的長(zhǎng)；并求 t為何值時(shí)，四邊形 PBQD是菱形． 【考點(diǎn)】 相似三角形的判定與性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)；勾股定理；菱形的性質(zhì)；矩形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】 證明題；壓軸題；動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】 （ 1）本題需先根據(jù)四邊形 ABCD是矩形，得出 AD∥BC ， ∠PDO=∠QBO ，再根據(jù) O為BD的中點(diǎn)得出 △POD≌△QOB ，即可證出 OP=OQ． （ 2）本題需先根據(jù)已知條件得出 ∠A 的度數(shù)，再根據(jù) AD=8厘米， AB=6厘米，得出 BD和 OD的長(zhǎng)，再根據(jù)四邊形 PBQD是菱形時(shí)，即可求出 t的值，判斷出四邊形 PBQD是菱形． 【解答】 （ 1）證明： ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴AD∥BC ， ∴∠PD O=∠QBO ， 又 ∵O 為 BD的中點(diǎn)， ∴OB=OD ， 在 △POD 與 △QOB 中， ∵ ∴△POD≌△QOB （ ASA）， ∴OP=OQ ； （ 2）解： PD=8﹣ t， ∵ 四邊形 PBQD是菱形， ∴PD=BP=8 ﹣ t， ∵ 四邊形 ABCD是矩形， ∴∠A=90176。 ， ∴∠CQE=45176。 ， AC=8cm， BC=6cm， EF=10cm．如圖（ 2）， △DEF 從圖（ 1）的位置出發(fā)，以 1cm/s的速度沿 CB 向 △ABC 勻速移動(dòng)，在 △DEF移動(dòng)的同時(shí)，點(diǎn) P從 △ABC 的頂點(diǎn) A出發(fā)，以 2cm/s的速度沿 AB 向點(diǎn) B勻速移動(dòng)；當(dāng)點(diǎn) P移動(dòng)到點(diǎn) B時(shí)，點(diǎn) P停止移動(dòng)， △DEF 也隨之停止移動(dòng)． DE與 AC交于點(diǎn) Q，連接 PQ，設(shè)移動(dòng)時(shí)間為 t（ s）． （ 1）用含 t的代數(shù)式表示線段 AP 和 AQ的長(zhǎng)，并寫(xiě)出 t的取值范圍； （ 2）連接 PE，設(shè)四邊形 APEQ的面積為 y（ cm2），試探究 y的最大值； （ 3）當(dāng) t為何值時(shí)， △APQ 是等腰三角形． 【考點(diǎn)】 相似 三角形的判定與性質(zhì)；二次函數(shù)的最值；等腰三角形的性質(zhì)． 【專(zhuān)題】 動(dòng)點(diǎn)型． 【分析】 （ 1）根據(jù)題意以及直角三角形性質(zhì)表達(dá)出 CQ、 AQ，從而得出結(jié)論， （ 2）作 PG⊥x 軸，將四邊形的面積表示為 S△ABC ﹣ S△BPE ﹣ S△QCE 即可求解， （ 3）根據(jù)題意以及三角形相似對(duì)邊比例性質(zhì)即可得出結(jié)論． 【解答】 （ 1）解： AP=2t ∵∠EDF=90176。 (3)當(dāng) 04t?? 時(shí)， 21328S O M O N t??. 當(dāng) 4 t? ?? 時(shí)，如圖① , 23 38S t t?? ? . (4)有最大值 . 如圖② ,當(dāng) 04t?? 時(shí)，當(dāng) t =4時(shí)， S 可取到最大值 =6. 當(dāng) 48t?? 時(shí)，拋物線 23 38S t t?? ? 的開(kāi)口向下， 圖② 所以 6S? ，綜上， 4t? 時(shí)， S 有最大值為 6. 5. （ 2021青島一模） 把 Rt△ABC 和 Rt△DEF 按如圖（ 1）擺放（點(diǎn) C與 E重合），點(diǎn) B、 C（ E）、 F在同一條直線上．已知： ∠ACB=∠EDF=90176。 (4)探求 (3)中得到的函數(shù) S 有沒(méi)有最大值 ? 若有，求出最大值 : 若沒(méi)有，請(qǐng)說(shuō)明理由 . (第 4題 ) 解 : (1)A (4,0) ,C (0,3)。 (2)當(dāng) t = s或 s時(shí)， 12MN AC?。若點(diǎn) D在線段 BC上運(yùn)動(dòng)，試探究：當(dāng)銳角 ∠ ACB 等于度時(shí)，線段 CE和 BD之間的位置關(guān)系仍然成立（點(diǎn) C、 E重合除外）。 ，當(dāng)點(diǎn) D在線段 BC的延長(zhǎng)線上時(shí)，如圖 2， 請(qǐng)判斷 ① 中的結(jié)論是否仍然成立，如成立，請(qǐng)證明你的結(jié)論。 得到 AE，連接 EC. 問(wèn)題發(fā)現(xiàn)： (1)如果 AB=AC， ∠ BAC=90176。河大附中河北石家莊 ， 在 x軸下方作 ∠ABF=∠ABC=4 5176。 河南三門(mén)峽 當(dāng) PM⊥ AB時(shí)， PM最短， 因?yàn)橹本€ y= x﹣ 3與 x軸、 y軸分別交于點(diǎn) A， B， 可得點(diǎn) A的坐標(biāo)為（ 4， 0），點(diǎn) B的坐標(biāo)為（ 0，﹣ 3）， xyBOAPQ（第 3題） 圖（ 2） B A C 圖（ 1） P Q A B C B 圖（ 2） A C P Q F E 在 Rt△ AOB中， AO=4， BO=3， AB= =5， ∵∠ BMP=∠ AOB=90176。重慶銅梁巴川 天津北辰區(qū) 紹興市浣紗初中等六校浙江金華東區(qū) ， ∴ AO=2， OP=x，則 AP=2﹣ x， ∴ tan60176。聯(lián)考） 如圖， A點(diǎn)在半徑為 2的 ⊙ O上，過(guò)線段 OA上的一點(diǎn) P作直