【導讀】均是邊長為2的等邊三角形,點D是邊BC、EF. 的中點,直線AG、FC相交于點M.當EFG?繞點D旋轉時,線段BM長的最小值是。首先由勾股定理求出BC，由折疊的性質可得∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，得出AE=AB. ﹣BE=2cm，設DC=xcm，則DE=xcm，AD=（4﹣x）cm，由勾股定理得出方程，解方程即可．?！邔ⅰ鰾CD沿著直線BD翻折，使點C落在斜邊AB上的點E處，∴∠BED=∠C=90°，BE=BC=3cm，3．如圖，邊長為2a的等邊三角形ABC中，M是高CH. 又∵∠MBH+∠MBC=∠ABC=60°，在△MBG和△NBH中，根據(jù)垂線段最短，MG⊥CH時，MG最短，即HN最短，此時∵∠BCH=×60°=30°，CG=AB=×2a=a，，不能添加的一組條件是。ABCD的對角線BD上一點M分別作平行四邊形兩邊。的平行線EF與GH，那么圖中的?HCFM的面積S2的大小關系是（）?！嗨倪呅蜨BEM、GMFD是平行四邊形，即△ABD和△CDB的面積相等；同理△BEM和△MHB的面積相等，△GMD和△FDM的面積相等，∴△APF是等邊三角形，1．如圖，△ABC和△CDE都是等邊三角形，且∠EBD=66°，

　　

【正文】 ） (本題 11 分）如圖，在正方形 ABCD中， AB=5， P 是 BC 邊上任意一點， E 是 BC 延長 線上一點，連接 AP，作 PF⊥ AP，使 PF＝ PA，連接 CF， AF， AF交 CD邊于點 G，連接 PG． （ 1）求證：∠ GCF＝∠ FCE； （ 2）判斷線段 PG， PB與 DG之間的數(shù)量關系，并證明你的結論； （ 3）若 BP＝ 2，在直線 AB 上是否存在一點 M，使四 邊形 DMPF是平行四邊形，若存在，求出 BM的 長度，若不存在，說明理由． 第 1題 答案： （ 1）證明：過點 F作 FH⊥ BE于點 H， ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴∠ ABC＝∠ PHF＝∠ DCB＝ 90186。,AB＝ BC， ∴∠ BAP＋∠ APB＝ 90186。 ∵ AP⊥ PF, ∴∠ APB＋∠ FPH＝ 90186。 ∴∠ FPH＝∠ BAP 又∵ AP＝ PF ∴△ BAP≌△ HPF ∴ PH＝ AB， BP＝ FH ∴ PH＝ BC ∴ BP＋ PC＝ PC＋ CH ∴ CH＝ BP＝ FH 而∠ FHC＝ 90186。. ∴∠ FCH＝ CFH＝ 45186。 ∴∠ DCF＝ 90186。－ 45186。＝ 45186。 ∴∠ GCF＝∠ FCE （ 2） PG＝ PB＋ DG 證明：延長 PB至 K，使 BK=DG, ∵四邊形 ABCD是正方形 ∴ AB=AD, ∠ ABK＝ ADG=90186。 ∴△ ABK≌△ ADG ∴ AK=AG, ∠ KAB＝∠ GAD, 而∠ APF=90 186。,AP=PF ∴∠ PAF＝∠ PFA＝ 45 186。 ∴∠ BAP＋∠ KAB＝∠ KAP＝ 45 186。＝∠ PAF ∴△ KAP≌△ GAP ∴ KP=PG, ∴ KB＋ BP=DG＋ BP＝ PG AB CDEFGP AB CDEFGP H K M 即， PG＝ PB＋ DG； （ 3）存在 . 如圖，在直線 AB上取一點 M，使四邊形 DMPF是平行四邊形， 則 MD∥ PF，且 MD＝ FP， 又∵ PF=AP， ∴ MD=AP ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=AD，∠ ABP=∠ DAM ∴△ ABP≌△ DAM ∴ AM＝ BP=2， ∴ BM＝ AB－ AM=5－ 2=3. ∴當 BM=3， BM+AM=AB時，四邊形 DMPF是平行四邊形． 13.. （ 2021廣東一模） （ 本題滿分 10分）定義：數(shù)學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點， AB、 BC為邊的兩個對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， AB是 ⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中， ∠ PCB=90176。 ， BC=11， tan∠ PBC= ，點 A在 BP邊上，且 AB=13．用圓規(guī)在 PC上找到符 合條件的點 D，使四邊形 ABCD為對等四邊形，并求出 CD的長． 解：（ 1）如圖 1所示（畫 2個即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD，∵ AB是⊙ O的直徑，∴∠ ADB=∠ ACB=90176。 ， 在 Rt△ ADB和 Rt△ ACB中， ∴ Rt△ ADB≌ Rt△ ACB，∴ AD=BC， 又∵ AB是⊙ O的直徑，∴ AB≠CD ，∴四邊形 ABCD是對等四邊形． （ 3）如圖 3，點 D的位置如圖所示： ①若 CD=AB，此時點 D在 D1的位置， CD1=AB=13； ②若 AD=BC=11，此時點 D在 D D3的位置， AD2=AD3=BC=11， 過點 A分別作 AE⊥ BC， AF⊥ PC，垂足為 E， F， 設 BE=x，∵ tan∠ PBC= ，∴ AE= ， 在 Rt△ ABE中， AE2+BE2=AB2，即 ，解得： x1=5， x2﹣ 5（舍去）， ∴ BE=5， AE=12，∴ CE=BC﹣ BE=6， 由 四 邊 形 AECF 為 矩 形 ， 可 得 AF=CE=6 ， CF=AE=12 ，在 Rt △ AFD2 中，∴ ， ， 綜上所述， CD的長度為 1 12﹣ 或 12+ ． 13. （ 2021廣東河源一模）已知一張矩形紙片 OACB，將該紙片放置在平面直角坐標 系中，點 A（ 11， 0）， B（ 0， 6），點 P為 BC邊上的動點（點 P不與點 B， C重合），經(jīng)過點 O、P折疊該紙片，得點 B′和折痕 OP．設 BP＝ t 。 （ 1）如圖①，當∠ BOP＝ 30176。時，求點 P的坐標； （ 2）如圖②，經(jīng)過點 P 再次折疊紙片，使點 C 落在直線 PB′上，得點 C′和折痕 PQ，若AQ＝ m，試用含有 t的式子表示 m； （ 3）在（ 2）的條件下，當點 C′恰好落在邊 OA上時，求點 P的坐標。（直接寫出結果即可） 解：（ 1）根據(jù)題 意，有∠ OBP = 90176。， OB = 6， 在 Rt△ OBP中， 由∠BOP = 30176。， BP =t，得OP＝ 2t. ∵ OP 2 ＝ OB 2+BP 2，即（ 2t） 2 ＝ 62+t 2，解得 t1＝ 23， t2＝－ 23（舍去）． ∴點 P的坐標 為（ 23 ， 6）． （ 2）∵△ OB′ P，△ QC′ P分別是由△ OBP，△ QCP折疊得到的， ∴△ OB′ P ≌ △ OBP，△ QC′ P ≌ △ QCP. ∴∠ OPB′ ＝∠ OPB，∠ QPC′ ＝∠ QPC. ∵∠OPB ′ +∠OPB +∠QPC ′ +∠QPC ＝ 180176。 ， ∴∠OPB +∠QPC ＝ 90176。. ∵∠ BOP +∠ OPB＝ 90176。，∴∠ BOP＝∠ CPQ. 又∵∠ OBP＝∠ C = 90176。，∴△ OBP∽△ PCQ.∴CQBPPCOB?. 由題意知， BP＝ t， AQ＝ m， BC＝ 11， AC＝ 6，則 PC＝ 11－ t， CQ＝ 6－ m． ① ② ∴ ．mtt ??? 6116∴ 661161 2 ??? ttm（ 0＜ t＜ 11） . （ 3）點 P的坐標為（ 11 133? ， 6）或（ 11+133 ， 6） .