【正文】 N 中， ∠CDN+∠CND=90176。 ． 在 △DCN 和 △CBM 中， ∴△DCN≌△CBM ． ∴∠BMC=∠CND ， ∠BCM=∠CDN ， ∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108176。 ﹣（ ∠BCM+∠BMC ） =180176。 ﹣（ ∠CND+∠PCN ） =180176。=72176。一模） 數(shù)學(xué)活動：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學(xué)思想． 數(shù)學(xué)課上，李老師出示了問題：如圖 1，四邊形 ABCD是正方形，點 E是邊 BC上的點，過點E作 EF⊥AE ，過點 F作 FG⊥BC 交 BC的延長線于點 G．． （ 1）求證： ∠BAE=∠FEG ． （ 2）同學(xué)們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖 2， 四邊形 ABCD是正方形，點 E是邊 BC的中點． ∠AEF=90176。 ，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得； （ 2）作 AB的中點 M，連接 ME，根據(jù) ASA即可證明 △AME≌△ECF ，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得； （ 3）在 AB上取一點 M，使 AM=EC，連接 ME，同（ 2）根據(jù) ASA即可證明 △AME≌△ECF ，然后根據(jù)全等三角形的對應(yīng)邊相等即可證得． 【解答】 解：（ 1） ∵∠AEF=90 176。 ， ∴∠AME=135176。=135176。 ， ∴∠ECF=135176。湖北襄陽 ∴∠ FPH＝∠ BAP 又∵ AP＝ PF ∴△ BAP≌△ HPF ∴ PH＝ AB， BP＝ FH ∴ PH＝ BC ∴ BP＋ PC＝ PC＋ CH ∴ CH＝ BP＝ FH 而∠ FHC＝ 90186。＝ 45186。 ∴∠ BAP＋∠ KAB＝∠ KAP＝ 45 186。 ， BC=11， tan∠ PBC= ，點 A在 BP邊上，且 AB=13．用圓規(guī)在 PC上找到符 合條件的點 D，使四邊形 ABCD為對等四邊形，并求出 CD的長． 解：（ 1）如圖 1所示（畫 2個即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD，∵ AB是⊙ O的直徑，∴∠ ADB=∠ ACB=90176。 （ 1）如圖①，當(dāng)∠ BOP＝ 30176。 BP =t，得OP＝ 2t. ∵ OP 2 ＝ OB 2+BP 2，即（ 2t） 2 ＝ 62+t 2，解得 t1＝ 23， t2＝－ 23（舍去）． ∴點 P的坐標(biāo) 為（ 23 ， 6）． （ 2）∵△ OB′ P，△ QC′ P分別是由△ OBP，△ QCP折疊得到的， ∴△ OB′ P ≌ △ OBP，△ QC′ P ≌ △ QCP. ∴∠ OPB′ ＝∠ OPB，∠ QPC′ ＝∠ QPC. ∵∠OPB ′ +∠OPB +∠QPC ′ +∠QPC ＝ 180176?！唷?OBP∽△ PCQ.∴CQBPPCOB?. 由題意知， BP＝ t， AQ＝ m， BC＝ 11， AC＝ 6，則 PC＝ 11－ t， CQ＝ 6－ m． ① ② ∴ ．mtt ??? 6116∴ 661161 2 ??? ttm（ 0＜ t＜ 11） . （ 3）點 P的坐標(biāo)為（ 11 133? ， 6）或（ 11+133 ， 6） . 。. ∵∠ BOP +∠ OPB＝ 90176。（直接寫出結(jié)果即可） 解：（ 1）根據(jù)題 意，有∠ OBP = 90176。廣東河源廣東 ∴△ ABK≌△ ADG ∴ AK=AG, ∠ KAB＝∠ GAD, 而∠ APF=90 186。 ∴∠ DCF＝ 90186。,AB＝ BC， ∴∠ BAP＋∠ APB＝ 90186。 ， ∠AEB+∠CEF=90176。 ， ∴∠AME=135176。 ﹣ ∠FCG=180176。 ， 又 ∵ 直角 △ABE 中， ∠BAE+∠AEB=90176。 ，即可得到 ∠AEB+∠FEG=90176。 ，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對頂角相等，解題的關(guān)鍵是充分利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和（或者三角形的內(nèi)角和）． 11． （ 2021 ﹣（ ∠BCM+∠BMC ） =180176。=72176。 ﹣（ ∠ CND+∠ PCN） =180176。 ， ∴∠CPN=90 ， 將等邊三角形換成正五邊形， 五邊形 ABCDE是正五邊形， ∴BC=D C=108176。 ， 故答案為 120． 應(yīng)用：將等邊三角形換成正方形， 解：四邊形 ABCD是正方形， ∴BC=DC ， ∠ABC=∠BCD=90176。 ． ∴∠ACN=∠CBM=60176。 ． 應(yīng)用：將圖 ① 的 △ABC 分別改為正方形 ABCD和正五邊形 ABCDE，如圖 ② 、 ③ ，在邊 AB、 BC的延長線上截取 BM=CN，連結(jié) MC、 DN，延長 MC交 DN于點 P，則圖 ② 中 ∠CPN= 90 176。云南省 =∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t的取值范圍是： 0≤ t≤ 5； （ 2）過點 P作 PG⊥ x軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S △ ABC ﹣ S △ PBE ﹣ S △QCE= = ∴當(dāng) （在 0≤ t≤ 5內(nèi)）， y有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖①：過點 P作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖②：過點 Q作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176?！?DEF=45176。）＋（ 70176。）＝ 140176?！唷?B＝∠ ADG， 在△ ABE和△ ADG中， ，∴△ ABE≌△ ADG（ SAS）， ∴ AE＝ AG，∠ BAE＝∠ DAG， ∵∠ EAF＝∠ BAD， ∴∠ GAF＝∠ DAG＋∠ DAF＝∠ BAE＋∠ DAF＝∠ BAD－∠ EAF＝∠ EAF，∴∠ EAF＝∠ GAF， 在△ AEF和△ GAF中， ，∴△ AEF≌△ GAF（ SAS），∴ EF＝ FG， ∵ FG＝ DG＋ DF＝ BE＋ DF，∴ EF＝ BE＋ DF； 實際應(yīng)用：如圖，連接 EF，延長 AE、 BF 相交于點 C， ∵∠ AOB＝ 30176。的 B 處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以 60海里 /小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東 50176。． E、F分別是 BC、 CD上的點．且∠ EAF＝ 60176。﹣ 70176。． ∴∠ DGF=∠ EGA=70176。一模）如 圖， ?ABCD 中，點 E是 BC 邊上的一點，且 DE=BC，過點 A作 AF⊥ CD于點 F，交 DE于點 G，連結(jié) AE、 EF． （ 1）若 AE平分∠ BAF，求證： BE=GE； （ 2）若∠ B=70176。一模）已知：∠ D=∠ E， AD=AE，∠ 1=∠ 2．求 證： BD=CE． 【分析】先證出∠ BAD=∠ CAE，再由 ASA證明△ ABD≌△ ACE，得出對應(yīng)邊相