【正文】 △ QC′ P分別是由△ OBP，△ QCP折疊得到的， ∴△ OB′ P ≌ △ OBP，△ QC′ P ≌ △ QCP. ∴∠ OPB′ ＝∠ OPB，∠ QPC′ ＝∠ QPC. ∵∠OPB ′ +∠OPB +∠QPC ′ +∠QPC ＝ 180176。. ∵∠ BOP +∠ OPB＝ 90176。廣東河源 ∴△ ABK≌△ ADG ∴ AK=AG, ∠ KAB＝∠ GAD, 而∠ APF=90 186。,AB＝ BC， ∴∠ BAP＋∠ APB＝ 90186。 ， ∴∠AME=135176。 ， 又 ∵ 直角 △ABE 中， ∠BAE+∠AEB=90176。 ，全等三角形的性質(zhì)和判定，三角形的內(nèi)角和定理，對(duì)頂角相等，解題的關(guān)鍵是充分利用三角形的外角等于與它不相鄰的兩內(nèi)角之和（或者三角形的內(nèi)角和）． 11． （ 2021=72176。 ， ∴∠CPN=90 ， 將等邊三角形換成正五邊形， 五邊形 ABCDE是正五邊形， ∴BC=D C=108176。 ． ∴∠ACN=∠CBM=60176。云南省∠ DEF=45176。）＝ 140176。的 B 處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動(dòng)指令后，艦艇甲向正東方向以 60海里 /小時(shí)的速度前進(jìn)，艦艇乙沿北偏東 50176。﹣ 70176。一模）如 圖， ?ABCD 中，點(diǎn) E是 BC 邊上的一點(diǎn)，且 DE=BC，過(guò)點(diǎn) A作 AF⊥ CD于點(diǎn) F，交 DE于點(diǎn) G，連結(jié) AE、 EF． （ 1）若 AE平分∠ BAF，求證： BE=GE； （ 2）若∠ B=70176。一模）如圖， AB=AC，要使△ ABE≌△ ACD，應(yīng)添加的條件是 ∠ B=∠ C或 AE=AD （添加一個(gè)條件即可）． 【考點(diǎn)】全等三角形的判定． 【專(zhuān)題】開(kāi)放型． 【分析】要使△ ABE≌△ ACD，已知 AB=AC，∠ A=∠ A，則可以添加一個(gè)邊從而利用 SAS 來(lái)判定其全等，或添加一個(gè)角從而利用 AAS來(lái)判定其全等． 【解答】解：添加∠ B=∠ C或 AE=AD后可分別根據(jù) ASA、 SAS判定△ ABE≌△ ACD． 故答案為：∠ B=∠ C或 AE=AD． 【點(diǎn)評(píng)】本題考查三角形全等的判定方法；判定兩個(gè)三角形全等的一般方法有： SSS、 SAS、ASA、 AAS、 HL．添加時(shí)注意： AAA、 SSA 不能判定兩個(gè)三角形全等，不能添加，根據(jù)已知結(jié)合圖形及判定方 法選擇條件是正確解答本題的關(guān)鍵． 三、解答題 1． (2021 =∠ BAC﹣ 6176。 =∠ ABE，得出∠ ABE=∠ CAE﹣ 6176。 ， ∠AFP=∠ACB=60176。上海市閘北區(qū)一模 )如圖，邊長(zhǎng)為 2a的等邊三角形 ABC中， M是高 CH所在直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，連接 MB，將線段 BM繞點(diǎn) B逆時(shí)針旋轉(zhuǎn) 60176。 AB=5cm， AC=4cm，點(diǎn) D在 AC上，將△BCD沿著 BD所在直線翻折，使點(diǎn) C落在斜邊 AB上的點(diǎn) E處，則 DC的長(zhǎng)為（ ） A． cm B． cm C． 2cm D． cm 【考點(diǎn)】翻折變換（折疊問(wèn)題）． 【分析】首先由勾股定理求出 BC，由折疊的性質(zhì)可得∠ BED=∠ C=90176。 ∴∠ MBH+∠ HBN=60176。一模） 如 圖，在 ABC? 和 DEC? 中，已知 DEAB? ，還需添加兩個(gè)條件才能使 DECABC ??? ，不能添加的一組條件是 A． ECBC? ， EB ??? B． ECBC? ， DCAC? C． DCBC? ， DA ??? D． EB ??? ， DA ??? 答案： C 6. （ 2021天津市和平區(qū) CD=CE， ∴∠ BCD=∠ ACE， 在△ BCD和△ ACE中， ， ∴△ BCD≌△ ACE（ SAS）， ∴∠ CBD=∠ CAE， ∵∠ EBD=66176。﹣ 54176。重慶巴南 ； （ 3）延長(zhǎng) AE，交 DC 的延長(zhǎng)線于點(diǎn) M，易證得△ ABE≌△ MCE，又由 AF⊥ CD，可得 EF 是 Rt△ AFM的斜邊上的中線，繼而證得結(jié)論． 【解答】解：（ 1）∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AD∥ BC， AD=BC． ∴∠ DAE=∠ AEB． ∵ DE=BC， ∴ AD=DE． ∴∠ DAE=∠ AED． ∴∠ AEB=∠ AED． ∵ AE平分∠ BAF， ∴∠ BAE=∠ GAE． 在△ ABE和△ AGE中， ， ∴△ ABE≌△ AGE（ ASA）． ∴ BE=GE． （ 2）由（ 1）可知：△ ABE≌△ AGE， ∴∠ B=∠ EGA=70176?！?B＝∠ ADC＝ 90176?！?ADC＋∠ ADG＝ 180176。－ 30176。 ∴∠ CQE=45176。一模） 探究：如圖 ① ， △AB C 是等邊三角形，在邊 AB、 BC的延長(zhǎng)線上截取 BM=CN，連結(jié) MC、 AN，延長(zhǎng) MC 交 AN于點(diǎn) P． （ 1）求證： △ACN≌△CBM ； （ 2） ∠CPN= 120 176。=120176。 ∴∠CPN=180176。 ﹣（ ∠CND+∠BCM ） =180176。 ，且 EF交正方形外角 ∠DCG 的平分線于點(diǎn) F，求證： AE=EF． 經(jīng)過(guò)思考，小明展示了一種正確的解題思路：取 AB 的中點(diǎn) M，連接 ME，則 AM=EC，易證△AME≌△ECF ，所以 AE=EF．請(qǐng)借助圖 1完成小明的證明； 在（ 2）的基礎(chǔ)上，同學(xué)們作了進(jìn)一步的研究： （ 3）小聰提出：如圖 2，如果把 “ 點(diǎn) E是邊 BC的中點(diǎn) ” 改為 “ 點(diǎn) E是邊 BC上（除 B， C外）的任意一點(diǎn) ” ，其它條件不變，那么結(jié)論 “AE=EF” 仍然成立，你認(rèn)為小聰?shù)挠^點(diǎn)正確嗎？如果正確，寫(xiě)出證明過(guò)程；如 果不正確，請(qǐng)說(shuō)明理由． 【考點(diǎn)】 四邊形綜合題． 【分析】 （ 1）根據(jù) ∠AEF=90176。 ， 又 ∵∠ECF=180176。 ∴∠AME=∠ECF ∵∠AEB+∠BAE=90176。. ∴∠ FCH＝ CFH＝ 45186。＝∠ PAF ∴△ KAP≌△ GAP ∴ KP=PG, ∴ KB＋ BP=DG＋ BP＝ PG AB CDEFGP AB CDEFGP H K M 即， PG＝ PB＋ DG； （ 3）存在 . 如圖，在直線 AB上取一點(diǎn) M，使四邊形 DMPF是平行四邊形， 則 MD∥ PF，且 MD＝ FP， 又∵ PF=AP， ∴ MD=AP ∵四邊形 ABCD是正方形， ∴ AB=AD，∠ ABP=∠ DAM ∴△ ABP≌△ DAM ∴ AM＝ BP=2， ∴ BM＝ AB－ AM=5－ 2=3. ∴當(dāng) BM=3， BM+AM=AB時(shí)，四邊形 DMPF是平行四邊形． 13.. （ 2021時(shí)，求點(diǎn) P的坐標(biāo)； （ 2）如圖②，經(jīng)過(guò)點(diǎn) P 再次折疊紙片，使點(diǎn) C 落在直線 PB′上，得點(diǎn) C′和折痕 PQ，若AQ＝ m，試用含有 t的式子表示 m； （ 3）在（ 2）的條件下，當(dāng)點(diǎn) C′恰好落在邊 OA上時(shí)，求點(diǎn) P的