【正文】 CQ時，連接 PQ 交邊 AC于點 D，則 DE的長為（ ） A． B． C． D．不能確定 【考點】 全等三角形的判定與性質(zhì)；平行線的性質(zhì)；等腰三角形的性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)；等邊三角形的判定與性質(zhì)． 【專題】 證明題． 【分析】 過 P作 PF∥BC 交 AC于 F，得出等邊三角形 APF，推出 AP=PF=QC，根據(jù)等腰 三角形性質(zhì)求出 EF=AE，證 △PFD≌△QCD ，推出 FD=CD，推出 DE=AC即可． 【解答】 解：過 P作 PF∥BC 交 AC 于 F， ∵PF∥BC ， △ABC 是等邊三角形， ∴∠PFD=∠QCD ， ∠APF=∠B=60176。 CG= AB= 2a=a， ∴ MG= CG= a= ， ∴ HN= ， 故選： D． 【點評】本題考查了旋轉(zhuǎn)的性質(zhì)，等邊三角形的性質(zhì)，全等三角形的判定與性質(zhì)，垂線段最短的性質(zhì)，作輔助線構造出全等三角形是解題的關鍵，也是本題的難點． 4. （ 2021 新疆烏魯木齊九十八中 BE=BC=3cm，得出 AE=AB﹣ BE=2cm，設 DC=xcm，則 DE=xcm， AD=（ 4﹣ x） cm，由勾股定理得出方程，解方程即可． 【解答】解：∵∠ C=90176。 又∵∠ MBH+∠ MBC=∠ ABC=60176。廣東東莞一模）如圖，△ ABC和△ CDE都是等邊三角形，且∠ EBD=66176。 ∴∠ CBD=∠ ABE+（ 66176。 =126176。一模）已知：∠ D=∠ E， AD=AE，∠ 1=∠ 2．求 證： BD=CE． 【分析】先證出∠ BAD=∠ CAE，再由 ASA證明△ ABD≌△ ACE，得出對應邊相等即可． 【解答】證明：∵∠ 1=∠ 2， ∴∠ BAD=∠ CAE， 在△ ABD與△ ACE中， ， ∴△ ABD≌△ ACE（ ASA）， ∴ BD=CE 3.(2021． ∴∠ DGF=∠ EGA=70176。． E、F分別是 BC、 CD上的點．且∠ EAF＝ 60176?！唷?B＝∠ ADG， 在△ ABE和△ ADG中， ，∴△ ABE≌△ ADG（ SAS）， ∴ AE＝ AG，∠ BAE＝∠ DAG， ∵∠ EAF＝∠ BAD， ∴∠ GAF＝∠ DAG＋∠ DAF＝∠ BAE＋∠ DAF＝∠ BAD－∠ EAF＝∠ EAF，∴∠ EAF＝∠ GAF， 在△ AEF和△ GAF中， ，∴△ AEF≌△ GAF（ SAS），∴ EF＝ FG， ∵ FG＝ DG＋ DF＝ BE＋ DF，∴ EF＝ BE＋ DF； 實際應用：如圖，連接 EF，延長 AE、 BF 相交于點 C， ∵∠ AOB＝ 30176。）＋（ 70176。 =∠ DEF， ∴ CQ=CE=t， ∴ AQ=8﹣ t， t的取值范圍是： 0≤ t≤ 5； （ 2）過點 P作 PG⊥ x軸于 G，可求得 AB=10， SinB=， PB=10﹣ 2t， EB=6﹣ t， ∴ PG=PBSinB=（ 10﹣ 2t） ∴ y=S △ ABC ﹣ S △ PBE ﹣ S △QCE= = ∴當 （在 0≤ t≤ 5內(nèi)）， y有最大值， y 最大值 = （ cm2） （ 3）若 AP=AQ，則有 2t=8﹣ t解得： （ s） 若 AP=PQ，如圖①：過點 P作 PH⊥ AC，則 AH=QH= ， PH∥ BC ∴△ APH∽△ ABC， ∴ ， 即 ， 解得： （ s） 若 AQ=PQ，如圖②：過點 Q作 QI⊥ AB，則 AI=PI=AP=t ∵∠ AIQ=∠ ACB=90176。 ． 應用：將圖 ① 的 △ABC 分別改為正方形 ABCD和正五邊形 ABCDE，如圖 ② 、 ③ ，在邊 AB、 BC的延長線上截取 BM=CN，連結(jié) MC、 DN，延長 MC交 DN于點 P，則圖 ② 中 ∠CPN= 90 176。 ， 故答案為 120． 應用：將等邊三角形換成正方形， 解：四邊形 ABCD是正方形， ∴BC=DC ， ∠ABC=∠BCD=90176。 ﹣（ ∠ CND+∠ PCN） =180176。 ﹣（ ∠BCM+∠BMC ） =180176。 ，即可得到 ∠AEB+∠FEG=90176。 ﹣ ∠FCG=180176。 ， ∠AEB+∠CEF=90176。 ∴∠ DCF＝ 90186。廣東（直接寫出結(jié)果即可） 解：（ 1）根據(jù)題 意，有∠ OBP = 90176。∴△ OBP∽△ PCQ.∴CQBPPCOB?. 由題意知， BP＝ t， AQ＝ m， BC＝ 11， AC＝ 6，則 PC＝ 11－ t， CQ＝ 6－ m． ① ② ∴ ．mtt ??? 6116∴ 661161 2 ??? ttm（ 0＜ t＜ 11） . （ 3）點 P的坐標為（ 11 133? ， 6）或（ 11+133 ， 6） . 。 （ 1）如圖①，當∠ BOP＝ 30176。 ∴∠ BAP＋∠ KAB＝∠ KAP＝ 45 186。 ∴∠ FPH＝∠ BAP 又∵ AP＝ PF ∴△ BAP≌△ HPF ∴ PH＝ AB， BP＝ FH ∴ PH＝ BC ∴ BP＋ PC＝ PC＋ CH ∴ CH＝ BP＝ FH 而∠ FHC＝ 90186。 ， ∴∠ECF=135176。 ， ∴∠AME=135176。一模） 數(shù)學活動：擦出智慧的火花﹣﹣﹣由特殊到一般的數(shù)學思想． 數(shù)學課上，李老師出示了問題：如圖 1，四邊形 ABCD是正方形，點 E是邊 BC上的點，過點E作 EF⊥AE ，過點 F作 FG⊥BC 交 BC的延長線于點 G．． （ 1）求證： ∠BAE=∠FEG ． （ 2）同學們很快做出了解答，之后李老師將題目修改成：如圖 2， 四邊形 ABCD是正方形，點 E是邊 BC的中點． ∠AEF=90176。 ﹣（ ∠CND+∠PCN ） =180176。 ． 在 △DCN 和 △CBM 中， ∴△DCN≌△CBM ． ∴∠BMC=∠CND ， ∠BCM=∠CDN ， ∵∠ABC=∠BMC+∠BCM=108176。+60176。 吉林長春朝陽區(qū) ∠ DEF=45176。∴∠ EAF＝∠ AOB， 又∵ OA＝ OB，∠ OAC＋∠ OBC＝（ 90176。試求此時兩艦艇之間的距離？ 答案： 解：問題背景： EF＝ BE＋ DF； 探索延伸： EF＝ BE＋ DF仍然成立． 證明如下：如圖，延長 FD到 G，使 DG＝ BE，連接 AG， ∵∠ B＋∠ ADC＝ 180176。． （ 3）延長 AE，交 DC的延長線于點 M． ∵四邊形 ABCD是平行四邊形， ∴ AB∥ CD． ∴∠ BAF=∠ AFD，∠ M=∠ BAE． ∵點 E是 BC邊上的中點， ∴ BE=CE． 在△ ABE和△ MCE中， ， ∴△ ABE≌△ MCE（ AAS）． ∴ AE=ME． ∵ AF⊥ CD， ∴ EF=AE=EM= AM． ∴∠ M=∠ EFC． ∴∠ AEF=∠ BAE+∠ EFC=2∠ EFC． （ 2021齊河三模）如圖 1：在四邊形 ABCD中， AB＝ AD，∠ BAD＝ 120176。在 Rt△ DGF中，利用直角三角形兩銳角互余可求得∠ CDE=20176。一模）如圖，點 C， D在線段 BF上， A