【正文】 30176。一模） （ 本題滿分 10分）定義：數(shù)學活動課上，樂老師給出如下定義：有一組對邊相等而另一組對邊不相等的凸四邊形叫做對等四邊形． 理解：（ 1）如圖 1，已知 A、 B、 C在格點（小正方形的頂點）上，請在方格圖中畫出以格點為頂點， AB、 BC為邊的兩個對等四邊形 ABCD； （ 2）如圖 2，在圓內(nèi)接四邊形 ABCD中， AB是 ⊙ O的直徑， AC=BD．求證：四邊形 ABCD是對等四邊形； （ 3）如圖 3，在 Rt△ PBC中， ∠ PCB=90176。－ 45186。 ∴∠BAE=∠CEF ∴ 在 △AME 和 △ECF 中， ， ∴△AME≌△ECF （ ASA）， ∴AE=EF ． 【點評】 本題考查了正方形的性質(zhì)和全等三角形的判定與性質(zhì)，要注意題目之間的聯(lián)系，正確作出輔助線構(gòu)造全等的三角形是本題的關(guān)鍵． 12. （ 2021 ﹣ 45176。 ，在直角 △ABE 中，利用三角形內(nèi)角和定理得到 ∠BAE+∠AEB=90176。 ﹣ 108176。 ﹣（ ∠CND+∠BCM ） =180176。 ． ∴∠MBC=∠DCN=120176。 ；圖③ 中 ∠CPN= 72 176。∠ A=∠ A， ∴△ AQI∽△ ABC ∴ 即 ， 解得： （ s） 綜上所述，當 或 或 時，△ APQ是等腰三角形． 8． (2021＋ 50176。＋ 90176。．探究圖中線段 BE、 EF、 FD之間的數(shù)量關(guān)系． 小王同學探究此問題的方法是，延長 FD到點 G，使 DG＝ BE．連結(jié) AG，先證明△ ABE≌△ ADG，再證明△ AEF≌△ AGF，可得出結(jié)論，他的結(jié)論應是 EF＝ BE＋ DF ； 探索延伸： 如圖 2，若在四邊形 ABCD 中， AB＝ AD，∠ B＋∠ D＝ 180176。． ∵ AF⊥ CD， ∴∠ GFD=90176。重慶銅梁巴川； 故答案為： 126176。﹣ 60176。則∠ AEB的大小 = 126176。聯(lián)考） 如圖，過 ?ABCD的對角線 BD上一點 M分別作 平行四邊形兩邊的平行線 EF與 GH，那么圖中的 ?AEMG的面積 S1與 ?HCFM的面積 S2的大小關(guān)系是（ ） A． S1＞ S2 B． S1＜ S2 C． S1=S2 D． 2S1=S2 【考點】 平行四邊形的性質(zhì)；全等三角形的判定與性質(zhì)． 【分析】 根據(jù)平行四邊形的性質(zhì)和判定得出平行四邊形 GBEP、 GPFD，證 △ ABD≌△ CDB，得出 △ ABD和 △ CDB的面積相等；同理得出 △ BEM和 △ MHB 的面積相等， △ GMD和 △ FDM 的面積相等，相減即可求出答案． 【解答】 解： ∵ 四邊形 ABCD是平行四邊形， EF∥ BC， HG∥ AB， ∴ AD=BC， AB=CD， AB∥ GH∥ CD， AD∥ EF∥ BC， ∴ 四邊形 HBEM、 GMFD是平行四邊形， C D A B （ 第 5題圖 ） 在 △ ABD和 △ CDB中； ∵ ， ∴△ ABD≌△ CDB（ SSS）， 即 △ ABD和 △ CDB的面積相等； 同理 △ BEM和 △ MHB的面積相等， △ GMD和 △ FDM的面積相等， 故四邊形 AEMG和四邊形 HCFM的面積相等，即 S1=S2． 故選： C． 【點評】 本題考查了平行四邊形的性質(zhì)和判定，全等三角形的性質(zhì)和判定的應用，解此題的關(guān)鍵是求出 △ ABD和 △ CDB 的面積相等， △ BEP和 △ PGB 的面積相等， △ HPD和 △ FDP 的面積相等，注意：如果兩三角形全等，那么這兩個三角形的面積相等 7. （ 2021 ∴∠ HBN=∠ GBM， ∵ CH是等邊△ ABC的對稱軸， ∴ HB= AB， ∴ HB=BG， 又∵ MB旋轉(zhuǎn)到 BN， ∴ BM=BN， 在△ MBG和△ NBH中， ， ∴△ MBG≌△ NBH（ SAS）， ∴ MG=NH， 根據(jù)垂線段最短， MG⊥ CH時， MG最短，即 HN最短， 此時∵∠ BCH= 60176。 AB=5cm， AC=4cm， ∴ BC= =3cm， ∵將△ BCD沿著直線 BD翻折，使點 C落在斜邊 AB 上的點 E處， ∴△ BED≌△ BCD， ∴∠ BED=∠ C=90176。 BE=BC=3cm， ∴ AE=AB﹣ BE=2cm， 設(shè) DC=xcm，則 DE=xcm， AD=（ 4﹣ x） cm， 由勾股定理得： AE2+DE2=AD2， 即 22+x2=（ 4﹣ x） 2， 解得： x=． 故選： B． 3． (2021 =30176。廣東深圳 ． 【考點】全等三角形的判定與性質(zhì)；等邊三角形的性質(zhì)． 【分析】由等邊三角形的性質(zhì)得出 BC=AC，∠ ABC=∠ ACB=∠ BAC=∠ DCE=60176。） ∴∠ ABE=∠ CAE﹣ 6176。． 【點評】本題考查了等邊三角形的性質(zhì)、全等三角形的判定與性質(zhì)；熟練掌握等邊三角形的性質(zhì)，證明三角形全等得出對應角相等是解決問題的關(guān)鍵． 2． （ 2021一模）如圖，點 C， E， F， B在同一直線上，點 A， D在 BC異側(cè)，AB∥ CD， AE=DF，∠ A=∠ D．求證： AB=CD． 【分 析】根據(jù)平行線的性質(zhì)得出∠ B=∠ C，再根據(jù) AAS證出△ ABE≌△ DCF，從而得出 AB=CD． 【解答】 解：∵ AB∥ CD， ∴∠ B=∠ C， 在△ ABE和△ DCF中， ， ∴△ ABE≌△ DCF， ∴ AB=CD． 4． (2021． ∴∠ GDF+∠ DGF=90176。． E、 F 分別是 BC、 CD 上的點，且∠ EAF＝ 12∠ BAD，上述結(jié)論是否仍然成立，并說明理由； 實際應用： 如圖 3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（ O處）北偏西 30176。＋（ 90176。）＝ 180176。浙江杭州蕭山區(qū) ． 拓展：若將圖 ① 的 △ABC 改為正 n邊形，其它條件不變，則 ∠CPN= 176。 ． 在 △DCN 和 △CBM 中， ∴△DCN≌△CBM ． ∴∠CDN=∠BCM ， ∵∠BCM=∠PCN ∴∠CDN=∠PCN 在 Rt△DCN 中， ∠CDN+∠CND=90176。 ﹣（ ∠BCM+∠BMC ） =180176。=72176。 ，然后根據(jù)同角的余角相等，即可證得； （ 2）作 AB的中點 M，連接 ME，根據(jù) ASA即可證明 △AME≌△ECF ，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得； （ 3）在 AB上取一點 M，使 AM=EC，連接 ME，同（ 2）根據(jù) ASA即可證明 △AME≌△ECF ，然后根據(jù)全等三角形的對應邊相等即可證得． 【解答】 解：（ 1） ∵∠AEF=90 176。=135176。湖北襄陽＝ 45186。 ， BC=11， tan∠ PBC= ，點 A在 BP邊上，且 AB=13．用圓規(guī)在 PC上找到符 合條件的點 D，使四邊形 ABCD為對等四邊形，并求出 CD的長． 解：（ 1）如圖 1所示（畫 2個即可）． （ 2）如圖 2，連接 AC， BD，∵ AB是⊙ O的直徑，∴∠ ADB=∠ ACB=90176。 BP =t，得OP＝ 2t. ∵ OP 2 ＝ OB 2+BP 2，即（ 2t） 2 ＝ 62+t 2，解得 t1＝ 23， t2＝－ 23（舍去）． ∴點 P的坐標 為（ 23 ， 6）． （ 2）∵△ OB′ P，