高中數(shù)學(xué)北師大版選修1-1第二章從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系word拓展資料素材-資料下載頁(yè)
2024-11-19 23:15本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】從離心率看圓錐曲線間的關(guān)系。早在17世紀(jì)初，在當(dāng)時(shí)關(guān)于一個(gè)數(shù)學(xué)對(duì)象能從一個(gè)形狀連續(xù)地變到另一個(gè)形狀的新思。想的影響下，法國(guó)天文學(xué)家開普勒對(duì)圓錐曲線的性質(zhì)作了新的闡述．他發(fā)現(xiàn)了圓錐曲線的焦。點(diǎn)和離心率，并指明拋物線還有一個(gè)在無(wú)窮遠(yuǎn)處的焦點(diǎn)，直線是圓心在無(wú)窮遠(yuǎn)處的圓．從而。下面我們從離心率對(duì)圓錐曲線的形狀的影響入手，來(lái)研究圓錐曲線間的關(guān)系，為了討論。這個(gè)問題，我們首先在同一直角坐標(biāo)系中把橢圓、拋物線、雙曲線這三種曲線的方程統(tǒng)一起。1．橢圓、拋物線、雙曲線的統(tǒng)一方程。類似地，將雙曲線按向量平移得到。作雙曲線的半通徑，用表示。故雙曲線方程可寫成。從統(tǒng)一方程不難看出，當(dāng)任意取定時(shí)，設(shè)橢圓、拋物線和雙曲線上對(duì)應(yīng)點(diǎn)的縱。當(dāng)離心率由大于1無(wú)限趨近于1時(shí)，這說(shuō)明雙曲線左焦點(diǎn)沿軸負(fù)方向趨于無(wú)限遠(yuǎn)．因此可以看出，在雙曲線的情況下，當(dāng)時(shí)，雙曲線的極限情況就是拋物線．
【正文】 于 1無(wú)限趨近于 1時(shí)， ， 即 ． 這說(shuō)明雙曲線右焦點(diǎn)無(wú)限接近于拋物線的焦點(diǎn)，且雙曲線右支在第一象限內(nèi)向下移動(dòng)無(wú)限接近拋物線． 又因?yàn)? ，所以 ． 由于 由大于 1無(wú)限趨近于 1，所以 ． 這說(shuō)明雙曲線左焦點(diǎn)沿 軸負(fù)方 向趨于無(wú)限遠(yuǎn)．因此可以看出，在雙曲線的情況下，當(dāng) 時(shí)，雙曲線的極限情況就是拋物線． （ 3）在橢圓情況下，當(dāng) 時(shí)有 ， ， ， ． 故當(dāng) 時(shí)，橢圓的極限情況是以點(diǎn) 為圓心、以 為半徑的圓．這個(gè)事實(shí)也可以從統(tǒng)一方程中，令 ，得到的就是這個(gè)圓的方程： ．
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