北師大版高考數(shù)學(xué)一輪總復(fù)習(xí)45兩角和與差的三角函數(shù)-資料下載頁(yè)
2024-11-18 18:06本頁(yè)面
【導(dǎo)讀】的正弦、余弦和正切公式進(jìn)行簡(jiǎn)單的恒等變形.通過(guò)對(duì)近三年高考試題的分析可以看出，對(duì)本部分內(nèi)容的考查，查．難度為中低檔題.：cos2α＝__________＝__________＝__________；其形式為：升冪公式1＋cos2α＝______，[答案]1.sinαcosβ±cosαsinβcosαcosβ?
【正文】 (1) 得 f ( x ) ＝ sin(2 x －π6) ＋12. 因?yàn)?0 ≤ x ≤2π3，所以－π6≤ 2 x －π6≤7π6， 所以－12≤ sin(2 x －π6) ≤ 1. 因?yàn)?0 ≤ sin(2 x －π6) ＋12≤32， 所以 f ( x ) 在區(qū)間 [0 ，23π] 上的取值范圍為 [0 ，32] ． [ 方法總結(jié) ] 利用 a sin x ＋ b c os x ＝ a2＋ b2sin( x ＋ φ )( 其中tan φ ＝ba) 把形如 y ＝ a sin x ＋ b c os x ＋ k 的函數(shù)化為一個(gè)角的一種函數(shù)的一次式，可以求三角函數(shù)的周期、單調(diào)區(qū)間、值域和最值、對(duì)稱軸等．這種變換在歷年高考中使用頻率是相當(dāng)高的，幾乎年年用到、考查到，應(yīng)特別加以關(guān)注． 函數(shù) y ＝ sin(π2＋ x ) c os (π6－ x ) 的最大值為 ________ ． [ 答案 ] 2 ＋ 34 [ 解析 ] 本題考查三角函數(shù)誘導(dǎo)公式、兩角差的余弦公式、兩角和的正弦公式以及三角函數(shù)的最值． ∵ y ＝ sin(π2＋ x ) c os (π6－ x ) ＝ c os x (32c os x ＋12sin x ) ＝32c os2x ＋12s in x c os x ＝321 ＋ c os2 x2＋14sin2 x ＝14( 3 c os2 x ＋ sin 2 x ＋ 3 ) ＝12sin(2 x ＋π3) ＋34， 故最大值為2 ＋ 34. 易 錯(cuò) 警 示 忽視分析角的范圍 若 α 、 β 是銳角，且 sin α － sin β ＝－12， c os α －c os β ＝12，求 tan ( α － β ) ． [ 錯(cuò)解 ] ∵ sin α － sin β ＝－12， c os α － c os β ＝12， 兩邊平方相加得： 2 － 2c os α c os β － 2sin α sin β ＝12， 即 2 － 2c os( α － β ) ＝12， ∴ c os( α － β ) ＝34， ∵ α 、 β 是銳角， ∴ －π2 α － β π2， ∴ sin( α － β ) ＝ 177。74， 故 tan( α － β ) ＝sin ? α － β ?c os ? α － β ?＝ 177。73. [ 錯(cuò)因分析 ] 本題錯(cuò)誤在于 α － β 的范圍分析得不對(duì)，由于 α 、 β 是銳角，所以－π2 α － β π2，但還應(yīng)注意 sin α － sin β ＝－120 ， ∴ sin α sin β ， α β . 從而－π2 α － β 0 ，故由 c os( α － β ) 的值只能得到 sin( α －β ) 0 的值． [ 正確解答 ] ∵ sin α － si n β ＝－12， c os α － c os β ＝12， 兩式平方相加得： 2 － 2c os α c os β － 2sin α sin β ＝12， 即 2 － 2c os( α － β ) ＝12， ∴ c os( α － β ) ＝34. ∵ α ， β 是銳角，且 sin α － sin β ＝－120 ， ∴ 0 α β π2， ∴ －π2 α － β 0. ∴ sin( α － β ) ＝－ 1 － co s2? α － β ? ＝－74， ∴ tan ( α － β ) ＝sin ? α － β ?c os ? α － β ?＝－73. [ 誤區(qū)警示 ] 在對(duì)三角函數(shù)式進(jìn)行恒等變換的過(guò)程中，要深刻理解 “ 恒等 ” 的含義，不能改變自變量的取值范圍，所以要注意隱含條件的挖掘，另外要注意和、差、倍角的相對(duì)性，還要注意 “ 1” 的靈活應(yīng)用 . 名 師 點(diǎn) 睛 一個(gè)公式 輔助角公式 a sin α ＋ b c os α ＝ a2＋ b2sin( α ＋ φ ) ，其中 ????????? c os φ ＝aa2＋ b2sin φ ＝ba2＋ b2tan φ ＝ba. φ 的終邊所在的象限由 a ， b 的符號(hào)來(lái)確定，角 φ 稱為輔助角． 兩個(gè)技巧 ( 1) 拆角、拼角技巧： 2 α ＝ ( α ＋ β ) ＋ ( α － β ) ； α ＝ ( α ＋ β ) － β ；β ＝α ＋ β2－α － β2；α － β2＝ ( α ＋β2) － (α2＋ β ) ． ( 2) 化簡(jiǎn)技巧： “ 切 ” 化 “ 弦 ” 、 “ 1” 的代換等． 三個(gè)變化 ( 1) 變角：目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角，其手法通常是 “ 配湊 ” ． ( 2) 變名：通過(guò)變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的，其手法通常有 “ 切化弦 ” 、 “ 升冪與降冪 ” 等． ( 3) 變式：根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形，使其貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo)，其手法通常有： “ 常值代換 ” 、 “ 逆用變用公式 ” 、 “ 通分約分 ” 、 “ 分解與組合 ” 、 “ 配方與平方 ” 等．
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