【正文】 在A、C（包含C）的任意位置相遇，設，OD=，由于從出發(fā)到相遇，輪船與小艇所需要的時間分別為和，所以，解得，從而值，且最小值為，于是當取得最小值，且最小值為。此時，在中，故可設計航行方案如下：航行方向為北偏東，航行速度為30海里/小時，小艇能以最短時間與輪船相遇。98.【2010 ?江蘇卷】某興趣小組測量電視塔AE的高度H(單位：m），如示意圖，垂直放置的標桿BC的高度h=4m，仰角∠ABE=，∠ADE=。(1) 該小組已經(jīng)測得一組、的值，tan=，tan=，請據(jù)此算出H的值；(2) 該小組分析若干測得的數(shù)據(jù)后，認為適當調(diào)整標桿到電視塔的距離d（單位：m），使與之差較大，可以提高測量精確度。若電視塔的實際高度為125m，試問d為多少時，最大？解：本題主要考查解三角形的知識、兩角差的正切及不等式的應用。（1），同理：。 AD—AB=DB，故得，解得：。因此，算出的電視塔的高度H是124m。（2）由題設知，得，（當且僅當時，取等號）故當時，最大。因為，則，所以當時，最大。故所求的是m。99.【2010 ?江蘇卷】已知△ABC的三邊長都是有理數(shù)。（1） 求證cosA是有理數(shù)；（2）求證：對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。【解析】本題主要考查余弦定理、數(shù)學歸納法等基礎知識，考查推理論證的能力與分析問題、解決問題的能力。解法一：（1）設三邊長分別為，∵是有理數(shù)，是有理數(shù)，分母為正有理數(shù)，又有理數(shù)集對于除法的具有封閉性，∴必為有理數(shù)，∴cosA是有理數(shù)。（2）①當時，顯然cosA是有理數(shù)；當時，∵，因為cosA是有理數(shù)， ∴也是有理數(shù)；②假設當時，結(jié)論成立，即coskA、均是有理數(shù)。當時，，解得：∵cosA，均是有理數(shù)，∴是有理數(shù)，∴是有理數(shù)。即當時，結(jié)論成立。綜上所述，對于任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。解法二：（1）由AB、BC、AC為有理數(shù)及余弦定理知是有理數(shù)。（2）用數(shù)學歸納法證明cosnA和都是有理數(shù)。①當時，由（1）知是有理數(shù)，從而有也是有理數(shù)。②假設當時，和都是有理數(shù)。當時，由，及①和歸納假設，知和都是有理數(shù)。即當時，結(jié)論成立。綜合①、②可知，對任意正整數(shù)n，cosnA是有理數(shù)。100．【2010崇文區(qū)二?！? 如圖，在平面直角坐標系中，以軸為始邊作兩個銳角，它們的終邊分別與單位圓交于兩點．已知的橫坐標分別為．（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）由已知得：．∵為銳角，∴．∴ ． ∴．（Ⅱ）∵，∴． 為銳角，∴，∴． 101．【2010北京朝陽一?！吭谥?，角所對的邊分別為，且．⑴求的值；⑵若，求的面積． 解：⑴因為，所以，由已知得．所以⑵由⑴知． 所以且．由正弦定理得．又因為，所以．所以102．【2010石家莊市教學質(zhì)量檢測（二）】在三角形ABC中，, （I）求sinC的值； （II）若AB邊的長為11，求邊BC的長．解：Ⅰ）由已知 , 同理， 則 ． （Ⅱ）因為中， , 所以． 所以BC=20． 103.【2010北京西城一?！恳阎獮殇J角，且．⑴求的值；⑵求的值．解：⑴，所以，所以．⑵．因為，所以，又，所以，又為銳角，所以，所以．104．【2010湖南師大附中第二次月考試卷】在中，已知.(Ⅰ) 求的值；(Ⅱ) 若，求的面積.解：（Ⅰ）因為sin（，由已知，.故. (Ⅱ)因為，B為三角形的內(nèi)角，.，因為c＝10，由正弦定理，得. 故. 105．【2010重慶八中第一次月考】已知是第二象限角 ，（1）求的值；（2）求的值．解：因為是第二象限角所以 ，從而 ⑵106．【2010天津十二區(qū)縣聯(lián)考二】已知（I）求的值；（II）求解：（I），由解得（II）解：由 ，107．【2010綿陽南山中學熱身考試】已知． （Ⅰ）求的值； （Ⅱ）求的值．解：（Ⅰ）由得， 即，又， 所以為所求． （Ⅱ）= ===．108．【2010蘭州五月模擬】在△ABC中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且（I）求的值；（II）若的大小。解：（Ⅰ） ； （Ⅱ）∵在中 ∴ ，∴由得，而，且＜，解得：∵ ∴ ，∴109.【2010寧波市二?！恳阎瘮?shù)的圖像與軸的交點為，它在軸右側(cè)的第一個最高點和第一個最低點的坐標分別為和．（1）求的解析式及的值； （2）若銳角滿足，求的值．解：（1）由題意可得：，即 ， ，由，. ，所以， ，又是最小的正數(shù)，； （2）， ，。110.【2010茂名市二模】已知函數(shù)的最大值為2。 （1）求的值及的最小正周期； （2）求在區(qū)間上的單調(diào)遞增區(qū)間。解：（1） 當=1時， 取得最大值，又的最大值為2， ，即 的最小正周期為 （2）由（1）得 得，的單調(diào)增區(qū)間為和。111．【2010山東省泰安市一?！恳阎瘮?shù)（Ⅰ）求的值；（Ⅱ）當時，求的最大值和最小值。解：f （I）（II），由，即的最小值是1，最大值是 112．【2010北京宣武一模】已知函數(shù)⑴求函數(shù)的最小正周期及圖象的對稱軸方程；⑵設函數(shù)，求的值域．解：⑴，∴最小正周期．由，得函數(shù)圖象的對稱軸方程為 ⑵ 當時，取得最小值；當時，取得最大值2，所以的值域為． 113．【2010石家莊市二?！恳阎校瑑?nèi)角的對邊的邊長為，且 （I）求角的大??； （II）若求的最小值．解：（Ⅰ）由正弦定理可得：，即，因為 ,所以, ， ． （Ⅱ）由（Ⅰ）可知 ，,（6分）,，則當 ,即時，y的最小值為．（10分）114．【2010甘肅省部分普通高中二?！吭凇鰽BC中，A、B、C的對邊分別為a、b、c，且 成等差數(shù)列. （1）求B的值； （2）求的范圍．解：（1），∴，∴，∴； （2），∴，∴。yxAOQP115．【2010天門中學五月模擬】如圖，設A是單位圓和x軸正半軸的交點，P，Q是單位圓上兩點，是坐標原點，且，. （Ⅰ）若點Q的坐標是，求的值； （Ⅱ）設函數(shù)，求的值域．解：（Ⅰ）由已知可得. 所以. （Ⅱ）.因為，則，所以.，故的值域是. 116．【2010佛山市第二次二質(zhì)檢】已知函數(shù)的一系列對應值如下表： （Ⅰ）求的解析式； （Ⅱ）若在中，，求的面積．解：（Ⅰ）由題中表格給出的信息可知，函數(shù)的周期為， 所以． 注意到，也即，由，所以所以函數(shù)的解析式為（或者） （Ⅱ）∵，∴或 ，當時,在中，由正弦定理得，∴， ∵，∴，∴，∴，∴． 時, （注：本題中第一問由于取點的不同而導致求周期和方法眾多，只要言之有理并能正確求出即給分）．