【導(dǎo)讀】三角公式恒等變換化簡并求解.解函數(shù)y＝Asin＋B的性質(zhì)中的應(yīng)用；難度不大，教師在復(fù)習(xí)此單元的時候，應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識，之間的聯(lián)系，如用單位圓中三角函數(shù)線來推導(dǎo)誘導(dǎo)公式；用C(α－β)推導(dǎo)其余的和差角公式和二倍角公式；的訓(xùn)練，提高計算的準(zhǔn)確性和速度；單元能力檢測卷，第19、20講建議各2課時，其余每講，邊與x軸的非負(fù)半軸重合，那么，角的終邊在第幾象限，2．角度制和弧度制的互化：180&#176;＝________rad，_____叫做α的正弦，是小于0&#176;的角，故A∩B＝{α|k&#183;360&#176;<α<90&#176;＋k&#183;360&#176;，當(dāng)角α的終邊在坐標(biāo)軸上時，可表示為k&#183;90&#176;，k∈Z.

　　

【正文】 π6＋ α ， ∴ c o s????????5 π6－ α ＝ c o s????????π －????????π6＋ α ＝－ c o s????????π6＋ α ＝－33，即 c o s????????5 π6－ α ＝－33. [ 答案 ] ( 1 ) － 33 ( 2 ) 32 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 ( 2 ) ∵ f ( x ) ＝si n x 178。 c o s x 178。 （－ t a n x ）si n x＝－ c o s x 178。 t a n x ＝－si n x ， ∴ f????????－31 π3＝－ si n????????－31 π3＝ si n31 π3＝ s in????????10 π ＋π3＝ si nπ3＝32. ? 探究點三 三角形中的誘導(dǎo)公式 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 3 在 △ AB C 中，若 s i n (2 π － A ) ＝－ 2 si n ( π － B ) ，3 c o s A ＝－ 2 c o s ( π － B ) ，求 △ AB C 的三個內(nèi)角． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 思考流程 條件：在 △ ABC 中， s i n (2 π － A ) ＝－ 2si n ( π － B ) ， 3 c o s A ＝－ 2 c o s ( π － B ) ；目標(biāo)： △ AB C 的三個內(nèi)角；方法：利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程組，討論可得結(jié)果． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 解： 由已知得?????si n A ＝ 2 si n B ， ①3 c o s A ＝ 2 c o s B . ② ①2＋ ②2得 2 c o s2A ＝ 1 ，即 c o s A ＝ 177。22. ( 1 ) 當(dāng) c o s A ＝22時， c o s B ＝32， 又 A ， B 是三角形的內(nèi)角， ∴ A ＝π4， B ＝π6， ∴ C ＝ π － ( A ＋ B ) ＝712π . ( 2 ) 當(dāng) c o s A ＝－22時， c o s B ＝－32. 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 又 A ， B 是三角形的內(nèi)角， ∴ A ＝34π ， B ＝56π ，不合題意． 綜上知， A ＝π4， B ＝π6， C ＝712π . 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點評 本題是誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式和方程思想的綜合應(yīng)用，由于角受三角形內(nèi)角的取值范圍的限制，不要忘記討論． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常應(yīng)用，常用的變形結(jié)論有： A ＋ B ＝ π － C ； 2 A ＋ 2 B ＋ 2 C ＝ 2 π ；A2＋B2＋C2＝π2. ② 求角時， 一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 變式題 若 A ， B ， C 為 △ AB C 的三個內(nèi)角，則 下列等式中正確的有 ( ) ① si n ( B ＋ C ) ＝ si n A ； ② c o s ( B ＋ C ) ＝ c o s A ； ③ t a n ( B ＋ C ) ＝t a n A ； ④ t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n 2 A ； ⑤ c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s 2 A ； ⑥si n????????A2＋B2＝ c o sC2. A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個 [ 答案 ] C 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] s i n ( B ＋ C ) ＝ s i n ( π － A ) ＝ s i n A ， ① 正確． c o s ( B ＋C ) ＝ c o s ( π － A ) ＝－ c o s A ， ② 錯誤． t a n ( B ＋ C ) ＝ t a n ( π － A )＝－ t a n A ， ③ 錯誤． t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n (2 π － 2 A ) ＝－ t a n 2 A ，④ 錯 誤． c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s (2 π － 2 A ) ＝ c o s2 A ， ⑤ 正確． si n????????A2＋B2＝ si nπ － C2＝ c osC2， ⑥ 正確．故選 C. 易錯究源 6 因忽視角的范圍致誤 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 已知 s i n (2 α － β ) ＝35， si n β ＝－1213，且 α ∈????????π2， π ，β ∈????????－π2， 0 ，求 s in α 的值． 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 錯解 由 si n (2 α － β ) ＝35，得 c o s (2 α － β ) ＝ 177。45，由 si nβ ＝－1213知， c o s β ＝513， ∴ c o s 2 α ＝ c o s [ ( 2 α － β ) ＋ β ] ＝ c o s (2 α － β ) c o s β － si n (2 α－ β ) si n β ＝ 177。45179。513－35179。????????－1213＝5665或1 665， 又 c o s2 α ＝ 1 － 2 si n2α ， ∴ si n2α ＝91 3 0或491 3 0. 又 α ∈????????π2， π ， ∴ si n α ＝3 1 3 01 3 0或 si n α ＝7 1 3 01 3 0. 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 錯因 ] 忽略了角 2 α － β 有范圍限制，事實上， 2 α － β的范圍可確定， c os (2 α － β ) 的值唯一，從而最后結(jié)果唯一． 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 正解 ] ∵π2 α π ， ∴ π 2 α 2 π . 又－π2 β 0 ， ∴ 0 － β π2， ∴ π 2 α － β 5 π2. 而 s i n (2 α － β ) ＝350 ， ∴ 2 π 2 α － β 5 π2， c o s (2 α － β )＝45.又－π2 β 0 且 s i n β ＝－1213， ∴ c o s β ＝513， ∴ c o s 2 α ＝ c o s [ ( 2 α － β ) ＋ β ] ＝ c o s (2 α － β ) c o s β － si n (2 α－ β ) s i n β ＝45179。513－35179。????????－1213＝5665. 又 c o s2 α ＝ 1 － 2 si n2α ， ∴ si n2α ＝91 3 0. 又 α ∈????????π2， π ， ∴ si n α ＝3 1 3 01 3 0. 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 自我檢評 ( 1 ) [ 2 0 1 2 昆明模擬 ] 已知 si n θ ＋ c o s θ ＝15， θ ∈ (0 ， π ) ，則 t a n θ 的值為 ( ) A ． －43 B ． －34 C.43或－43 D ． －43或－34 ( 2 ) 化簡 1 － 2 si n （ π ＋ 2 ） c o s （ π ＋ 2 ） 等于 ( ) A ． si n 2 － c o s2 B ． c o s 2 － s i n 2 C ．177。 ( s i n 2 － c o s2 ) D ． si n 2 ＋ c o s2 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) A (2 ) A [ 解析 ] ( 1 ) ∵ s i n θ ＋ c o s θ ＝15， ∴ 2 s i n θ c o s θ ＝－2425， θ ∈????????π2，3 π4， ∴2 si n θ c o s θsi n2θ ＋ c o s2θ＝－2425， ∴2 t a n θt a n2θ ＋ 1＝－2425， ∴ 1 2 t a n2θ ＋ 25 t a n θ ＋ 12 ＝ 0 ， 根據(jù)角的范圍得到 t a n θ ＝－43. ( 2 ) 1 － 2 si n ( π ＋ 2) c o s ( π ＋ 2) ＝ s i n22 ＋ c o s22 － 2 s i n 2 c o s 2 ＝( si n 2 － c o s 2 )2， ∵π22 2 π3， ∴ si n 2 － c o s 2 0 . 故選 A. 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 備選理由 例 1 對于 si n α co s α ， si n α ＋ co s α ， s i n α －co s α ，借助同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可知一求二，是對探究點一和二的補充；例 2 對題中的角含有 k π 177。 α 化簡時，要對k 進(jìn)行分類討論，是對探究點二的深化． 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 1 [ 2 0 1 2 天津河?xùn)|區(qū)模擬 ] 已知 α 是三角形的內(nèi)角，且 s i n α ＋ c o s α ＝15. ( 1 ) 求 t a n α 的值； ( 2 ) 把1c o s2α － s i n2α用 t a n α 表示出來，并求其值． 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 解： ( 1 ) 方法一：聯(lián)立方程組 ?????si n α ＋ c o s α ＝15， ①si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， ② 由 ① 得 c o s α ＝15－ si n α ，將其代入 ② ， 整理得 25 si n2α － 5 si n α － 12 ＝ 0 . ∵ α 是三角形內(nèi)角， ∴ s i n α 0 ， ∴?????si