【正文】 結論：得出角的終邊位置． ( 2 ) 分析：寫出與角6 π7的終邊相同的角 θ 的集合；推理：找出與θ3角的終邊相同的角的集合，討論 k 的可能取值；結論：得出 [0 ， 2 π ) 內終邊與θ3角的終邊相同的角． [ 答案 ] ( 1 ) 第一、二象限及 y 軸的非負半軸上 ( 2 )2 π7，20 π21，34 π21 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 由 α 是第三象限角得 π ＋ 2 k π ＜ α ＜3 π2＋ 2 kπ ( k ∈ Z ) ，得 2 π ＋ 4 k π ＜ 2 α ＜ 3 π ＋ 4 k π ( k ∈ Z ) ， ∴ 角 2 α 的終邊在第一、二象限及 y 軸的非負半軸上． ( 2 ) 依題意得 θ ＝6 π7＋ 2 k π ( k ∈ Z ) ， ∴θ3＝2 π7＋2 k π3( k ∈ Z ) ， 由 0 ≤2 π7＋2 k π32 π ? －37≤ k 187( k ∈ Z ) ， ∴ k ＝ 0 ， 1 ， 2 ，即在 [0 ， 2 π ) 內終邊與θ3角的終邊相同的角為2 π7，20 π21，34 π21. 點評 表示某象限內的角或終邊落在某條直線上的角，需要正確寫出終邊相同的角的表達式，特別是對參數(shù)k∈ Z的限制．有時需要進行集合的交或并運算，使表達式得以化簡．求集合內的某些角，有時需要對 k∈ Z具體賦值． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸納總結 ①利用終邊相同的角的集合 S＝ {β|β＝ 2kπ＋ α， k∈ Z}判斷一個角 β所在的象限時，只需把這個角寫成 [0， 2π)范圍內的一個角 α與 2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角 α的象限． ②利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù) k賦值來求得所需角． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) ? 探究點二 三角函數(shù)的定義的應用 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 2 ( 1 ) [ 2 0 1 1 課程標準卷 ] 已知角 θ 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線 y ＝ 2 x 上 ，則 c o s 2 θ ＝( ) A ． －45 B ． －35 C. 35 D. 45 ( 2 ) [ 2 0 1 2 佛山模擬 ] 已知點 P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限，則角 α 的終邊在 ( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 (1 ) 分析：設點 P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點，則 y0＝ 2 x0， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ；推理： c o s2 θ ＝ c o s2θ － s i n2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ；結論：得出 co s 2 θ 的值． ( 2 ) 分析：點 P 在第三象限， t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0 ；推理：由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限，由 c o sα ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上；結論： α 的終邊在第二象限． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) B 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設點 P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點，則 y0＝ 2 x0. 由三角函數(shù)定義， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ，則 c o s2 θ ＝ c o s2θ －s in2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ＝1 － 221 ＋ 22＝－35. ( 2 ) ∵ 點 P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限， ∴ t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0. 由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限， 由 c o s α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上，因此角 α 的終邊在第二象限． 點評 (1)已知角 θ的終邊所在的直線方程，可先設出終邊上一點的坐標，求出此點到原點的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關問題． (2)主要利用三角函數(shù)值在各象限的符號規(guī)律，但要注意角 α是滿足兩個條件的公共解． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸 納 總結 ① 三角函數(shù)的定義中， P ( x ， y ) 是單位圓上的點才有 si n α ＝ y ， c o s α ＝ x ， t a n α ＝y(tǒng)x，但是若不是單位圓時，如圓的半徑為 r ，則 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x. ② 若已知角 α 的終邊上有異于原點的點的坐標 A ( x ，y ) ，求角 α 的三角函數(shù)值時，則應先求 | OA |＝ r ，然后再利用定義 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x求解． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 2 長春調研 ] 已知銳角 α 的終邊上一點 P (1 ＋ si n 5 0 176。 ， c o s 5 0 176。 ) ，則銳角 α ＝ ( ) A ． 80 176。 B ． 70 176。 C ． 20 176。 D ． 10 176。 ( 2 ) [ 2 0 1 2 杭州模擬 ] 已知角 α 的終邊經過點 ( 3 a － 9 ， a＋ 2) ，且 c o s α ≤ 0 ， si n α 0 ，則實數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A ． ( － 2 ， 3 ] B ． ( － 2 ， 3) C ． [ － 2 ， 3 ) D ． [ － 2 ， 3] 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) t a n α ＝c o s5 0 176。1 ＋ s i n 5 0 176。＝si n 40 176。1 ＋ c o s 40 176。＝2 si n 2 0 176。 c o s2 0 176。2 c o s220 176。＝ t a n 2 0 176。 . 又 α 是銳角，所以 α ＝ 20 176。 . 故選 C. ( 2 ) 由 c o s α ≤ 0 ， si n α 0 可知，角 α 的終邊落在第二象限內或在 y 軸的正半軸上，所以有?????3 a － 9 ≤ 0 ，a ＋ 2 0 ，即－2 a ≤ 3. [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) A ? 探究點三 扇形弧長公式與面積公式的應用 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 3 已知扇形的周長為 4 cm ，當它的半徑為 _ _ _ _ _ _ _ _和圓心角為 _ _ _ _ _ _ _ _ 弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 分析：依據(jù)弧長公式列出半徑和圓心角關系；推理：求出扇形面積；結論：得出函數(shù)的最值． [ 答案 ] 1 cm 2 1 cm 2 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] 設扇形的圓心角為 α ，半 徑為 r ，弧長為 l ，面積為 S . 方法一：由 2 r ＋ l ＝ 2 r ＋ r |α |＝ 4 ，得 r ＝42 ＋ |α |， 則 S ＝12| α | r2＝12| α | 178。42（ 2 ＋ |α |）2＝84|α |＋ 4 ＋ |α |≤84 ＋ 24|α || α |＝ 1 ， 當且僅當4|α |＝ |α |，即 α ＝ 2 時等號成立，此時， r ＝42 ＋ |α |＝ 1 ，故當半徑 r ＝ 1 cm ，圓心角 α ＝ 2 弧度時，扇形 的面積最大，最大值是 1 c m2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 方法二：由 2 r ＋ l ＝ 2 r ＋ r |α |＝ 4 ，得 |α |＝4 － 2 rr， 則 S ＝12|α | r2＝12178。4 － 2 rr178。 r2＝ 2 r － r2＝－ ( r － 1)2＋ 1 ， 當 r ＝ 1 時， S 有最大值 1 ，故當半徑 r ＝ 1 cm ，圓心角 α＝ 2 弧度時，扇形的面積最大，最大值是 1 cm2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 點評 ( 1 ) 扇形的面積公式中的12rl 類似于三角形的面積公式，弧長相當于三角形的底，半徑相當于三角形的高，再根據(jù)弧長公式就有12|α | r2，可以使用這個方法記憶扇形的面積公式；求解的目標函數(shù)含有兩個變量，其基本思路是 “ 消元 ” ；法二比法一更簡捷，因此在建立函數(shù)模型時，引入的自變量不同，其函數(shù)模型也不同，于是 解析也有優(yōu)劣之分． ( 2 ) 扇形的圓心角 θ 、半徑 r 、弧長 l 、面積 S 之間有下列比例關系： θ2 π＝l2 π r＝Sπ r2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸納 總結 涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結構簡單，易記好用，在使用前，應將圓心角用弧度表示．弧長和扇形面積公式： l ＝ |α | R ， S ＝12|α | R2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 變式題 ( 1 ) 已知扇形的半徑為 1 0 cm ，圓心角為 120 176。 ，則扇形的弧長為 _ _ _ _ _ _ _ _ ，面積為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 設扇形的周長為 8 cm ，面積為 4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) 203 π cm 1 0 03 π cm 2 ( 2 ) 2 r a d 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 圓心角 α ＝2 π3，弧長 l ＝ αr ＝203π ( cm ) ，面積S ＝12α r2＝1 0 03π ( cm2) ． ( 2 ) 由已知得 S ＝12lr ＝12(8 － 2 r ) r ＝ 4 ，即 r2－ 4 r ＋ 4 ＝ 0 ，解得 r ＝ 2 ，于是 l ＝ 4 ， ∴ |α |＝lr＝ 2 r a d . 易錯究源 5