【正文】 20講建議各 2課時，其余每講，兩個 45分鐘滾動基礎(chǔ)訓(xùn)練卷 及一個單元能力檢測卷 建議各1課時完成，大約共需 13課時． 使用建議 第 16講 任意角和弧度制 及任意角的三角函數(shù) 雙向固基礎(chǔ) 點面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化． 3．理解任意角三角函數(shù) (正弦、余弦、正切 )的定義． 考試大綱 一、角的概念的推廣 1 ． 任意角： ( 1 ) 定義：角可以看成平面內(nèi)的 _ _ _ _ _ _ _ _繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到 另一個位置所成的_ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 2 ． 與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是 S ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 3 ． 象限角：使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合， 那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個角不屬于任何一個象限． 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) —— 知 識 梳 理 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 一條射線 圖形 正角、負(fù)角和零角 { β |β ＝ α ＋ k ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ r a d ， 1 r a d ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 3 ． 扇形的弧長公式： l ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ，扇形的面積公 式： S ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 半徑 π180 π ????????180π 176。 } ． ( ) ( 4 ) 終邊與坐標(biāo)軸重合的角 α 的集合為 { α |α ＝ k 的整數(shù)倍． ( 3 ) 因為小于 90 176。 的角，故 A ∩ B ＝ { α | k 3 6 0 176。 1 8 0 176。 ， k ∈ Z . [ 答案 ] ( 1 ) 179。 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 答案 ] ( 1 ) 179。????????－12＝－1. y ＝ | OP | si n23π ＝ 2 179。 AT ＝12t a n α . ∵ S △P OA S 扇形OA P S △OA T，即12si nα 12α 12t a n α ， ∴ s i n α α t a n α . ( 2 ) 令 MP ＝ s i n α ， OM ＝ c o s α ， ∵ MP ＋ OM ＞ OP ＝ 1 ， ∴ si n α ＋ c o s α 1 . 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 考點統(tǒng)計 考頻 ) 示例 (難度 ) 0 其應(yīng)用 解答 (1) 2020年陜西 T17(B) 、面積公式及其應(yīng)用 0 ? 探究點一 角的集合的表示 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 1 ( 1 ) 如果 α 是第三象限角，那么 2 α 的終邊落在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 若角 θ 的終邊與角6 π7的終邊相同，在 [0 ， 2 π ) 內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 ( 1 ) 分析：在弧度制下表示第三象限角；推理：找出 2 α 的范圍；結(jié)論：得出角的終邊位置． ( 2 ) 分析：寫出與角6 π7的終邊相同的角 θ 的集合；推理：找出與θ3角的終邊相同的角的集合，討論 k 的可能取值；結(jié)論：得出 [0 ， 2 π ) 內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角． [ 答案 ] ( 1 ) 第一、二象限及 y 軸的非負(fù)半軸上 ( 2 )2 π7，20 π21，34 π21 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 由 α 是第三象限角得 π ＋ 2 k π ＜ α ＜3 π2＋ 2 kπ ( k ∈ Z ) ，得 2 π ＋ 4 k π ＜ 2 α ＜ 3 π ＋ 4 k π ( k ∈ Z ) ， ∴ 角 2 α 的終邊在第一、二象限及 y 軸的非負(fù)半軸上． ( 2 ) 依題意得 θ ＝6 π7＋ 2 k π ( k ∈ Z ) ， ∴θ3＝2 π7＋2 k π3( k ∈ Z ) ， 由 0 ≤2 π7＋2 k π32 π ? －37≤ k 187( k ∈ Z ) ， ∴ k ＝ 0 ， 1 ， 2 ，即在 [0 ， 2 π ) 內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角為2 π7，20 π21，34 π21. 點評 表示某象限內(nèi)的角或終邊落在某條直線上的角，需要正確寫出終邊相同的角的表達(dá)式，特別是對參數(shù)k∈ Z的限制．有時需要進(jìn)行集合的交或并運算，使表達(dá)式得以化簡．求集合內(nèi)的某些角，有時需要對 k∈ Z具體賦值． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸納總結(jié) ①利用終邊相同的角的集合 S＝ {β|β＝ 2kπ＋ α， k∈ Z}判斷一個角 β所在的象限時，只需把這個角寫成 [0， 2π)范圍內(nèi)的一個角 α與 2π的整數(shù)倍的和，然后判斷角 α的象限． ②利用終邊相同的角的集合可以求適合某些條件的角，方法是先寫出與這個角的終邊相同的所有角的集合，然后通過對集合中的參數(shù) k賦值來求得所需角． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) ? 探究點二 三角函數(shù)的定義的應(yīng)用 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 2 ( 1 ) [ 2 0 1 1 ， c o s 5 0 176。 D ． 10 176。＝si n 40 176。2 c o s220 176。42（ 2 ＋ |α |）2＝84|α |＋ 4 ＋ |α |≤84 ＋ 24|α | ，則扇形的弧長為 _ _ _ _ _ _ _ _ ，面積為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 設(shè)扇形的周長為 8 cm ，面積為 4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) 203 π cm 1 0 03 π cm 2 ( 2 ) 2 r a d 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 圓心角 α ＝2 π3，弧長 l ＝ αr ＝203π ( cm ) ，面積S ＝12α r2＝1 0 03π ( cm2) ． ( 2 ) 由已知得 S ＝12lr ＝12(8 － 2 r ) r ＝ 4 ，即 r2－ 4 r ＋ 4 ＝ 0 ，解得 r ＝ 2 ，于是 l ＝ 4 ， ∴ |α |＝lr＝ 2 r a d . 易錯究源 5 三角函數(shù)定義使用中的錯誤 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 [ 2 0 1 1 ????????－35＋????????－45＝－ 2 ； 若角 α 終邊在第四象 限，則 P (4 ，－ 3) ， 2 si n α ＋ co s α ＝ 2 179。 c o s θ 0 ，所以－ 1 ≤ s i n 2 θ 0 ， 即 si n 2 θ 也是第四象限角，因此 c o s ( si n 2 θ ) 0 . 故si n （ c o s θ ）c o s （ si n 2 θ ）0 . 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 雙向固基礎(chǔ) 點面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1． 理解同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式： sin2x＋ cos2x＝ 1，＝ tanx. 2． 能利用單位圓中的三角函數(shù)線推導(dǎo)出 177。 ( 4 ) 179。 c o s θsi n2θ ＋ c o s2θ＝t a n θ1 ＋ t a n2θ＝－34，解得 t an θ ＝－ 3 或 t a n θ ＝－33. 由于 θ ∈ (0 ， π ) ， 0 s i n θ ＋c o s θ ＝12( 3 － 1 ) 1 ， ∴ θ ∈????????π2， π ， | si n θ | | c o s θ | ， ∴ | t a nθ | 1 ，即 θ ∈????????π2，34π ， ∴ t an θ － 1 ， ∴ t a n θ ＝－33舍去．故t a n θ ＝－ 3 . 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 ( 5 )1 ＋ 2 si n α c o s αsi n2α － c o s2α＝si n2α ＋ 2 s i n α c o s α ＋ c o s2αsi n2α － c o s2α＝si n α ＋ c o s αsi n α － c o s α＝t a n α ＋ 1t a n α － 1＝－13. 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) 179。????????π2177。銀川月考 ] 若 s i n θ ＋ c o s θ ＝ 2 ，則t a n????????θ ＋π3的值是 ( ) A ． 2 － 3 B ． － 2 － 3 C ． 2 ＋ 3 D ． － 2 ＋ 3 ( 2 ) 已知si n α ＋ 3 c o s α3 c o s α － si n α＝ 5 ，則 si n2α － s i n α c o s α 的值是 ( ) A.25 B ． －25 C ． － 2 D ． 2 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] ( 1 ) 由?????si n θ ＋ c o s θ ＝ 2 ，si n2θ ＋ c o s2θ ＝ 1 ，解得 si n θ ＝ c o sθ ＝22，所以 t a n θ ＝si n θc o s θ＝ 1. 所以 t a n????????θ ＋π3＝t a n θ ＋ t a nπ31 － t a n θ t a nπ3＝1 ＋ 31 － 1 179。太原模擬 ] 已知 s in ( π － α ) ＝－ 2 si n????????π2＋ α ，則si n α c o s α 等于 ( ) A.25 B ． －25 C.25或－25 D