【正文】 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 第 18講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第 19講 函數(shù) y＝ Asin(ω x＋ φ )的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 第 20講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 第 21講 簡單的三角恒等變換 第 22講 正弦定理和余弦定理 第 23講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 第三單元 三角函數(shù)、解三角形 返回目錄 單元網(wǎng)絡(luò) 返回目錄 核心導(dǎo)語 一、三角函數(shù)圖象 1．變換 —— 考查圖象變換． 2．性質(zhì) —— 三角函數(shù)的性質(zhì)． 二、三角恒等變換 1．公式 —— 對公式的正用、逆用、變形運用． 2．應(yīng)用 —— 解決化簡、求值、證明問題． 3．解三角形 應(yīng)用 —— 利用正弦、余弦定理進(jìn)行邊、角互化，結(jié)合三角公式恒等變換化簡并求解 . 返回目錄 1．編寫意圖 在編寫中注意到的問題： (1)突出考查對基礎(chǔ)知識、基本方法的講解和訓(xùn)練，控制難度； (2)突出強調(diào)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、換元思想在求解函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B的性質(zhì)中的應(yīng)用； (3)適當(dāng)加入三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用問題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力． 使用建議 返回目錄 2．教學(xué)指導(dǎo) (1)該單元內(nèi)容在每年的高考中都會重點考查，但考查難度不大，教師在復(fù)習(xí)此單元的時候，應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識，不必一味追求難題、偏題和怪題，要幫助學(xué)生理清知識點之間的聯(lián)系，如用單位圓中三角函數(shù)線來推導(dǎo)誘導(dǎo)公式；用 C(α－ β)推導(dǎo)其余的和差角公式和二倍角公式； (2)由于本單元內(nèi)容難度不大，在教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考的習(xí)慣，同時注重對學(xué)生計算能力的訓(xùn)練，提高計算的準(zhǔn)確性和速度； (3)本單元蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想等，在教學(xué)中要充分引導(dǎo)學(xué)生善于運用這些思想方法解題． 使用建議 返回目錄 3．課時安排 本單元包括 8講 ﹑ 兩個 45分鐘滾動基礎(chǔ)訓(xùn)練卷及一個單元能力檢測卷，第 1 20講建議各 2課時，其余每講，兩個 45分鐘滾動基礎(chǔ)訓(xùn)練卷 及一個單元能力檢測卷 建議各1課時完成，大約共需 13課時． 使用建議 第 16講 任意角和弧度制 及任意角的三角函數(shù) 雙向固基礎(chǔ) 點面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化． 3．理解任意角三角函數(shù) (正弦、余弦、正切 )的定義． 考試大綱 一、角的概念的推廣 1 ． 任意角： ( 1 ) 定義：角可以看成平面內(nèi)的 _ _ _ _ _ _ _ _繞著端點從一個位置旋轉(zhuǎn)到 另一個位置所成的_ _ _ _ _ _ _ _ ； ( 2 ) 分類：角按旋轉(zhuǎn)方向分為_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 2 ． 與角 α 終邊相同的角，連同角 α 在內(nèi)，構(gòu)成的角的集合是 S ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 3 ． 象限角：使角的頂點與坐標(biāo)原點重合，角的始邊與 x 軸的非負(fù)半軸重合， 那么，角的終邊在第幾象限，就說這個角是第幾象限角；如果角的終邊在坐標(biāo)軸上，那么這個角不屬于任何一個象限． 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) —— 知 識 梳 理 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 一條射線 圖形 正角、負(fù)角和零角 { β |β ＝ α ＋ k 3 6 0 176。 ， k ∈ Z } 二、弧度與角度的互化 1 ． 定義：把長度等于 _ _ _ _ _ _ _ _ 長的弧所對的圓心角叫做 1 弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零． 2 ． 角度制和弧度制的互化： 1 8 0 176。 ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ r a d ， 1 176。 ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ r a d ， 1 r a d ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 3 ． 扇形的弧長公式： l ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ，扇形的面積公 式： S ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 半徑 π180 π ????????180π 176。 |α |r 12lr 12|α |r2 三 ． 任意角的三角函數(shù) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè) α是一個任意角，它的終邊與單位圓交于點 P(x， y)，那么 _____叫做 α的正弦，記作 sinα ______叫做 α的余弦，記作cosα ______叫做 α的正切，記作tanα 各象限符號 Ⅰ ________ ________ ________ Ⅱ ________ ________ ________ Ⅲ ________ ________ ________ Ⅳ ________ ________ ________ 口訣 Ⅰ 全正， Ⅱ 正弦， Ⅲ 正切， Ⅳ 余弦 y yx x 正 正 正 正 負(fù) 負(fù) 負(fù) 正 負(fù) 負(fù) 負(fù) 正 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 三角函 數(shù)線 有向線段 ______為正弦線 有向線段 ______為余弦線 有向線段 ______為正切線 MP OM AT —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1 ． 角的有關(guān)概念 ( 1 ) 將表的分針撥快 10 分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是π3. ( ) ( 2 ) 相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等． ( ) ( 3 ) 已知 A ＝ { 小于 90 176。 的角 } ， B ＝ { 第一象限角 } ，則 A ∩ B ＝ { α |0 176。 α 9 0 176。 } ． ( ) ( 4 ) 終邊與坐標(biāo)軸重合的角 α 的集合為 { α |α ＝ k 1 8 0176。 ＋ 90 176。 ， k ∈ Z } ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 將表的分針撥快 10 分鐘，是順時針轉(zhuǎn)， ∴分針轉(zhuǎn)過的角度是－π3. ( 2 ) 終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相 差 3 6 0 176。 的整數(shù)倍． ( 3 ) 因為小于 90 176。 的角，可能是 0 176。 ～ 89 176。 的角，也可能是小于 0 176。 的角，故 A ∩ B ＝ { α | k 3 6 0 176。 α 9 0 176。 ＋ k 3 6 0 176。 ，k ∈ Z 且 k ≤ 0} ． ( 4 ) 當(dāng)角 α 的終邊在 x 軸上時，可表示為 k 1 8 0 176。 ， k ∈ Z .當(dāng)角 α 的終邊在 y 軸上時，可表示為 k 1 8 0 176。 ＋ 90 176。 ， k ∈ Z . ∴當(dāng)角 α 的終邊在坐標(biāo)軸上時，可表示為 k 9 0 176。 ， k ∈ Z . [ 答案 ] ( 1 ) 179。 ( 2 ) 179。 ( 3 ) 179。 ( 4 ) 179。 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 答案 ] ( 1 ) 179。 ( 2 ) 179。 ( 3 ) 179。 2 ． 任意角的三角函數(shù)的定 義 ( 1 ) 已知 si n α ≥ 0 ， c o s α ≥ 0 ，則 α 是第一象限角． ( ) ( 2 ) 角 α 終邊上點 P 的坐標(biāo)為????????－12，32，那么 si n α ＝32， c o s α ＝－12；同理角 α 終邊上點 Q 的坐標(biāo)為 ( x0， y0) ，那么 s i n α ＝ y0， c o s α ＝ x0. ( ) ( 3 ) 若點 P 在角23π 的終邊上，且 | OP | ＝ 2 ，則點 P 的坐標(biāo)為 ( － 1 ，－ 3 ) ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 由 si n α ≥ 0 知， α 終邊在第一象限或第二象限，或 x 軸，或 y 軸的非負(fù)半軸上；由 c o s α ≥ 0 知， α 終邊在第一象限或第四象限，或 y 軸，或 x 軸的非負(fù)半軸上．故 α 終邊在第一象限，或 x 軸的非負(fù)半軸上，或 y 軸的非負(fù)半軸上． ( 2 ) 點 P????????－12，32在單位圓上，所以 s i n α ＝32， c o s α ＝－12；而 Q ( x0， y0) 不一定在單位圓上，所以 si n α ＝ y0， c o sα ＝ x0不一定成立． ( 3 ) 根據(jù)三角函數(shù)的定義， x ＝ | OP | c o s23π ＝ 2 179。????????－12＝－1. y ＝ | OP | si n23π ＝ 2 179。32＝ 3 ， ∴ P 點的坐標(biāo)為 ( － 1 ， 3 ) ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 3 ． 三角函數(shù)線的應(yīng)用 ( 1 ) α ∈????????0 ，π2，則 t an α ＞ α ＞ s i n α . ( ) ( 2 ) α 為第一象限角，則 si n α ＋ co s α 1 . ( ) [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) √ 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)角 α 與單位圓交于 P ，則 MP ＝ si n α ， AT ＝ t a nα ，如圖所示， PA 的長 l ＝ α . 連接 AP ， △ PO A 的面積＝12OA 178。 MP ＝12si n α . ，扇形 O AP 的面積＝12l 178。 OA ＝12α ， △ O A T的面積＝12OA 178。 AT ＝12t a n α . ∵ S △P OA S 扇形OA P S △OA T，即12si nα 12α 12t a n α ， ∴ s i n α α t a n α . ( 2 ) 令 MP ＝ s i n α ， OM ＝ c o s α ， ∵ MP ＋ OM ＞ OP ＝ 1 ， ∴ si n α ＋ c o s α 1 . 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 考點統(tǒng)計 考頻 ) 示例 (難度 ) 0 其應(yīng)用 解答 (1) 2020年陜西 T17(B) 、面積公式及其應(yīng)用 0 ? 探究點一 角的集合的表示 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 1 ( 1 ) 如果 α 是第三象限角，那么 2 α 的終邊落在_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 若角 θ 的終邊與角6 π7的終邊相同，在 [0 ， 2 π ) 內(nèi)終邊與θ3角的終邊相同的角為 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 ( 1 ) 分析：在弧度制下表示第三象限角；推理：找出 2 α 的范圍；