三角函數(shù)及解三角形練習題-wenkub
2023-04-08 05:42:26 本頁面
【正文】 的解析式，再利用正弦函數(shù)的單調(diào)性求得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（Ⅰ）由題意可知，即，即，解得．（Ⅱ）由（Ⅰ）可得==，函數(shù)y=sinx的遞增區(qū)間為，k∈Z．由，k∈Z，得，k∈Z，所以，f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為，k∈Z．【點評】本題主要考查函數(shù)的零點的定義，三角恒等變換、正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題． 4．（2017?衡陽三模）已知函數(shù)f（x）=sin（2x+）+sin2x．（1）求函數(shù)f（x）的最小正周期；（2）若函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+），求函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域．【分析】（1）利用兩角和的正弦函數(shù)公式及二倍角公式化簡函數(shù)f（x），再由周期公式計算得答案；（2）由已知條件求出g（x）=sin（2x+）+，當x∈[﹣，]時，則2x+∈，由正弦函數(shù)的值域進一步求出函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域．【解答】解：（1）f（x）=sin（2x+）+sin2x==sin2x+cos2x+sin2x=sin2x+=sin2x+1﹣=sin2x+，∴f（x）的最小正周期T=；（2）∵函數(shù)g（x）對任意x∈R，有g(shù)（x）=f（x+），∴g（x）=sin2（x+）+=sin（2x+）+，當x∈[﹣，]時，則2x+∈，則≤sin（2x+）≤1，即≤g（x），解得≤g（x）≤1．綜上所述，函數(shù)g（x）在[﹣，]上的值域為：[，1]．【點評】本題考查了三角函數(shù)的周期性及其求法，考查了函數(shù)值域的求法，是中檔題． 5．（2016?北京）已知函數(shù)f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx（ω＞0）的最小正周期為π．（1）求ω的值；（2）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【分析】（1）利用倍角公式結(jié)合兩角和的正弦化積，再由周期公式列式求得ω的值；（2）直接由相位在正弦函數(shù)的增區(qū)間內(nèi)求解x的取值范圍得f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．【解答】解：（1）f（x）=2sinωxcosωx+cos2ωx=sin2ωx+cos2ωx==．由T=，得ω=1；（2）由（1）得，f（x）=．再由，得．∴f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間為[]（k∈Z）．【點評】本題考查y=Asin（ωx+φ）型函數(shù)的圖象和性質(zhì)，考查了兩角和的正弦，屬中檔題． 6．（2014?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，﹣≤φ＜）的圖象關(guān)于直線x=對稱，且圖象上相鄰兩個最高點的距離為π．（Ⅰ）求ω和φ的值；（Ⅱ）若f（）=（＜α＜），求cos（α+）的值．【分析】（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π 求得ω=2．再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對稱，結(jié)合﹣≤φ＜可得 φ 的值．（Ⅱ）由條件求得sin（α﹣）=．再根據(jù)α﹣的范圍求得cos（α﹣）的值，再根據(jù)cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]，利用兩角和的正弦公式計算求得結(jié)果．【解答】解：（Ⅰ）由題意可得函數(shù)f（x）的最小正周期為π，∴=π，∴ω=2．再根據(jù)圖象關(guān)于直線x=對稱，可得 2+φ=kπ+，k∈z．結(jié)合﹣≤φ＜可得 φ=﹣．（Ⅱ）∵f（）=（＜α＜），∴sin（α﹣）=，∴sin（α﹣）=．再根據(jù) 0＜α﹣＜，∴cos（α﹣）==，∴cos（α+）=sinα=sin[（α﹣）+]=sin（α﹣）cos+cos（α﹣）sin=+=．【點評】本題主要考查由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的部分圖象求函數(shù)的解析式，兩角和差的三角公式、的應(yīng)用，屬于中檔題． 7．（2017?江蘇）已知向量=（cosx，sinx），=（3，﹣），x∈[0，π]．（1）若∥，求x的值；（2）記f（x）=，求f（x）的最大值和最小值以及對應(yīng)的x的值．【分析】（1）根據(jù)向量的平行即可得到tanx=﹣，問題得以解決，（2）根據(jù)向量的數(shù)量積和兩角和余弦公式和余弦函數(shù)的性質(zhì)即可求出【解答】解：（1）∵=（cosx，sinx），=（3，﹣），∥，∴﹣cosx=3sinx，∴tanx=﹣，∵x∈[0，π]，∴x=，（2）f（x）==3cosx﹣sinx=2（cosx﹣sinx）=2cos（x+），∵x∈[0，π]，∴x+∈[，]，∴﹣1≤cos（x+）≤，當x=0時，f（x）有最大值，最大值3，當x=時，f（x）有最小值，最小值﹣2．【點評】本題考查了向量的平行和向量的數(shù)量積以及三角函數(shù)的化簡和三角函數(shù)的性質(zhì)，屬于基礎(chǔ)題 8．（2017?錦州一模）已知函數(shù)的部分圖象如圖所示．（1）求函數(shù)f（x）的解析式；（2）在△ABC中，
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