三角函數(shù)及解三角形練習(xí)題-資料下載頁
2025-03-24 05:42本頁面
【正文】 Ⅰ）tan===．等式成立．（Ⅱ）由A+C=180176。，得C=180176。﹣A，D=180176。﹣B，由（Ⅰ）可知：tan+tan+tan+tan==，連結(jié)BD，在△ABD中，有BD2=AB2+AD2﹣2AB?ADcosA，AB=6，BC=3，CD=4，AD=5，在△BCD中，有BD2=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC，所以AB2+AD2﹣2AB?ADcosA=BC2+CD2﹣2BC?CDcosC，則：cosA===．于是sinA==，連結(jié)AC，同理可得：cosB===，于是sinB==．所以tan+tan+tan+tan===．【點(diǎn)評(píng)】本題考查二倍角公式、誘導(dǎo)公式、余弦定理．簡單的三角恒等變換，考查函數(shù)與方程的思想，轉(zhuǎn)化與化歸思想的應(yīng)用． 14．（2015?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin2x﹣cos2x．（Ⅰ）求f（x）的最小周期和最小值；（Ⅱ）將函數(shù)f（x）的圖象上每一點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長到原來的兩倍，縱坐標(biāo)不變，得到函數(shù)g（x）的圖象．當(dāng)x∈時(shí)，求g（x）的值域．【分析】（Ⅰ）由三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用化簡函數(shù)解析式可得f（x）=sin（2x﹣）﹣，從而可求最小周期和最小值；（Ⅱ）由函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換可得g（x）=sin（x﹣）﹣，由x∈[，π]時(shí)，可得x﹣的范圍，即可求得g（x）的值域．【解答】解：（Ⅰ）∵f（x）=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣（1+cos2x）=sin（2x﹣）﹣，∴f（x）的最小周期T==π，最小值為：﹣1﹣=﹣．（Ⅱ）由條件可知：g（x）=sin（x﹣）﹣當(dāng)x∈[，π]時(shí)，有x﹣∈[，]，從而sin（x﹣）的值域?yàn)閇，1]，那么sin（x﹣）﹣的值域?yàn)椋篬，]，故g（x）在區(qū)間[，π]上的值域是[，]．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查了三角函數(shù)中的恒等變換應(yīng)用，函數(shù)y=Asin（ωx+φ）的圖象變換，屬于基本知識(shí)的考查． 15．（2015?重慶）已知函數(shù)f（x）=sin（﹣x）sinx﹣cos2x．（I）求f（x）的最小正周期和最大值；（II）討論f（x）在[，]上的單調(diào)性．【分析】（Ⅰ）由條件利用三角恒等變換化簡函數(shù)的解析式，再利用正弦函數(shù)的周期性和最值求得f（x）的最小正周期和最大值．（Ⅱ）根據(jù)2x﹣∈[0，π]，利用正弦函數(shù)的單調(diào)性，分類討論求得f（x）在上的單調(diào)性．【解答】解：（Ⅰ）函數(shù)f（x）=sin（﹣x）sinx﹣x=cosxsinx﹣（1+cos2x）=sin2x﹣cos2x﹣=sin（2x﹣）﹣，故函數(shù)的周期為=π，最大值為1﹣．（Ⅱ）當(dāng)x∈ 時(shí)，2x﹣∈[0，π]，故當(dāng)0≤2x﹣≤時(shí)，即x∈[，]時(shí)，f（x）為增函數(shù)；當(dāng)≤2x﹣≤π時(shí)，即x∈[，]時(shí)，f（x）為減函數(shù)．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查三角恒等變換，正弦函數(shù)的周期性和最值，正弦函數(shù)的單調(diào)性，屬于中檔題． 16．（2014?四川）已知函數(shù)f（x）=sin（3x+）．（1）求f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間；（2）若α是第二象限角，f（）=cos（α+）cos2α，求cosα﹣sinα的值．【分析】（1）令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈z，求得x的范圍，可得函數(shù)的增區(qū)間．（2）由函數(shù)的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，可得sin（α+）=cos（α+）cos2α，化簡可得 （cosα﹣sinα）2=．再由α是第二象限角，cosα﹣sinα＜0，從而求得cosα﹣sinα 的值．【解答】解：（1）∵函數(shù)f（x）=sin（3x+），令 2kπ﹣≤3x+≤2kπ+，k∈Z，求得 ﹣≤x≤+，故函數(shù)的增區(qū)間為[﹣，+]，k∈Z．（2）由函數(shù)的解析式可得 f（）=sin（α+），又f（）=cos（α+）cos2α，∴sin（α+）=cos（α+）cos2α，即sin（α+）=cos（α+）（cos2α﹣sin2α），∴sinαcos+cosαsin=（cosαcos﹣sinαsin）（cosα﹣sinα）（cosα+sinα）即 （sinα+cosα）=?（cosα﹣sinα）2（cosα+sinα），又∵α是第二象限角，∴cosα﹣sinα＜0，當(dāng)sinα+cosα=0時(shí)，tanα=﹣1，sinα=，cosα=﹣，此時(shí)cosα﹣sinα=﹣．當(dāng)sinα+cosα≠0時(shí)，此時(shí)cosα﹣sinα=﹣．綜上所述：cosα﹣sinα=﹣或﹣．【點(diǎn)評(píng)】本題主要考查正弦函數(shù)的單調(diào)性，三角函數(shù)的恒等變換，體現(xiàn)了分類討論的數(shù)學(xué)思想，屬于中檔題． 第20頁（共20頁）
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