【正文】 ?????3 π4， π ， 可得 2 α ∈??????3 π2， 2 π ， 所以cos 2 α ＝ 1 － sin22 α ＝725， 所以 sin2α ＝1 － cos 2 α2＝925． 又 sin α ＞ 0 ， 所以 sin α ＝35． [ 答案 ] ( 1 ) A ( 2 ) A 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 第 6講 三角恒等變換與解三角形 ( 2) 因?yàn)閟 i n Bs i n A＝ 2c o s ( A ＋ B ) ＝－ 2c o s C ＞ 0 ， 所以角 C為鈍角 ， 所以角 A ， B 為銳角 ， ta n A ＞ 0 ． 又由s i n Bs i n A ＝ 2c o s ( A＋ B ) ， 可得 s i n B ＝ 2 s i n A c o s ( A ＋ B ) ， 即 s i n ( A ＋ C ) ＝－ 2s i n A c os C ， 所以 3 s i n A c o s C ＋ c o s A s i n C ＝ 0 ， 則 3ta n A ＋ ta n C ＝ 0 ， 所以 ta n C ＝－ 3ta n A ． 故 ta n B ＝ － ta n ( A ＋ C ) ＝－ta n A ＋ ta n C1 － ta n A ta n C＝2ta n A1 ＋ 3ta n2A≤2ta n A2 3 ta n A＝33， 當(dāng)且僅當(dāng) ta n A＝33時(shí)等號(hào)成立 ． 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 ? 考 點(diǎn) 二 正、余弦定理 在解三角形中的應(yīng)用 正弦定理 —— 解三角形、進(jìn)行三角形邊角關(guān)系的互化 余弦定理 —— 解三角形、進(jìn)行三角形邊角關(guān)系的互化 題型：選擇、填空、解答 分 值： 5 － 12 分 難度：中等 熱點(diǎn)：解三角形，與三角函數(shù)、不等式等結(jié)合的最值問(wèn)題 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 例 2 已知 △ ABC 的內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 a ，b ， c ，且c － bc － a＝s i n As i n C ＋ s i n B，則 B ＝ ( ) A.π6 B.π4 C.π3 D.3π4 [ 答案 ] C [ 解析 ] 由正弦定理可得c － bc － a＝sin Asin C ＋ sin B＝ac ＋ b? a2＋ c2－ b2＝ ac ? cos B ＝a2＋ c2－ b22 ac＝12. 又因?yàn)?0 ＜ B ＜ π ， 所以 B ＝π3. ? 考 向一 求 解三角形中的 邊與角 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 [ 小結(jié) ] 利用正、余弦定理解三角形的關(guān)鍵是根據(jù)已知條件和 定理得出求解目標(biāo)所需要的方程 ( 組 ) ，通過(guò)解方程( 組 ) 得出求解目標(biāo)． 正弦定理揭示了三角形三邊和其對(duì)角正弦值的比例關(guān)系，余弦定理揭示了三角形的三邊和其中一個(gè)內(nèi)角的余弦值的關(guān)系． 變式題 在 △ ABC 中，內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 a ，b ， c ． 若點(diǎn) ( a ， b ) 在直線 x (s in A ＋ s in B ) ＋ y sin B ＝ c sin C 上，則角 C 的值為 ( ) A. π6 B. 5π6 C.π3 D.2π3 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 [ 答案 ] D [ 解析 ] 將點(diǎn) ( a ， b ) 代入直線方程得 a (s in A ＋ sin B ) ＋ b sin B ＝ c sin C ， 根據(jù)正弦定理得 a ( a ＋ b ) ＋ b2＝ c2， 即 a2＋b2－ c2＝－ ab ， 所以 cos C ＝a2＋ b2－ c22 ab＝－12． 又因?yàn)?0 ＜ C＜ π ， 所以 C ＝2 π3． 例 ３ 已知 △ ABC 三個(gè)內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別是 a ，b ， c ，面積為 S ，且 a cos C ＋ 3 c sin A － b － c ＝ 0 ． (1) 求角 A 的值； (2) 若 a ＝ 3 ，求33S ＋ 3 cos B cos C 取最大值時(shí) S 的值． ? 考 向 二 求 解三角形 的面積 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 解 ： (1) 由正弦定理 ， 得 sin A cos C ＋ 3 sin A sin C － sin B － sin C ＝ 0 ， ∴ sin A cos C ＋ 3 sin A sin C － sin( A ＋ C ) － sin C ＝ 0 ， ∴ sin A cos C ＋ 3 sin A sin C － sin A co s C － cos A s in C－ sin C ＝ 0 ， ∴ 3 sin A sin C － cos A sin C － sin C ＝ 0 ． 又 ∵ sin C ≠0 ， ∴ 3 sin A － co s A ＝ 1 ， 即 2s in??????A －π6＝ 1 ， ∴ sin??????A －π6＝12． ∵ －π6＜ A －π6＜5 π6， ∴ A －π6＝π6， ∴ A ＝π3． 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 (2) 由正弦定理 ， 得bsin B＝csin C＝asin A＝332＝ 2 ， ∴ b ＝ 2sin B ， c ＝ 2sin C ． 由 (1) 知 C ＝2 π3－ B ， ∴33S ＋ 3 cos B cos C ＝3312bc sin A ＋ 3 cos B cos C ＝3312 2sin B 2sin C 32＋ 3 cos B cos C ＝ sin B sin C ＋ 3 cos B cos C ＝ sin B sin??????2 π3－ B ＋ 3 cos B co s??????2 π3－ B 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 ＝34sin 2 B ＋12s in2B －32cos2B ＋34sin 2 B ＝34sin 2 B ＋1212(1 － cos 2 B ) －3212(1 ＋ cos 2 B ) ＋34sin 2 B ＝3 ＋ 14( 3 sin 2 B － cos 2 B ) ＋1 － 34 ＝3 ＋ 12sin??????2 B －π6＋1 － 34． ∵ 0 ＜ B ＜2 π3， ∴ －π6＜ 2 B －π6＜7 π6， ∴ 當(dāng) 2 B －π6＝π2，即 B ＝π3時(shí)，原式取得最大值， 此時(shí) △ ABC 為等邊三角形， ∴ S ＝12( 3 )2 s in π3＝3232＝3 34． 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 [ 小結(jié) ] 正弦定理、余弦定理的功能是實(shí)現(xiàn)三角形邊角關(guān)系的相互轉(zhuǎn)換，解題時(shí)要根據(jù)具體情況選擇 轉(zhuǎn)換的方向，在動(dòng)態(tài)問(wèn)題中一般是把邊轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，把研究目標(biāo)轉(zhuǎn)化為角的三角函數(shù)，通過(guò)研究三角函數(shù)的性質(zhì)得出原問(wèn)題的性質(zhì)． 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 變式題 在 △ ABC 中，內(nèi)角 A ， B ， C 的對(duì)邊分別為 a ，b ， c ，滿足 b (s in B － 2 sin C ) ＝ ( a ＋ c )( s in A － sin C ) ，且AB→ BC→≥0 ． (1) 求角 A 的值； (2) 若 a ＝ 2 ，求 b － 2 c 的取值范圍． 解 ： ( 1) 由 b ( s in B － 2 s i n C ) ＝ ( a ＋ c ) ( s i n A － s i n C ) ， 可得 b ( b － 2 c ) ＝ ( a ＋ c )( a － c ) ， 即 b2－ 2 bc ＝ a2－ c2， 即 b2＋c2－ a2＝ 2 bc ， 于是 c o s A ＝b2＋ c2－ a22 bc＝22． 又 A ∈ (0 ， π) ， ∴ A ＝π4． 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 (2) ∵ AB→ BC→≥ 0 ， ∴ B 為鈍角或直角， ∴ A ＋ C ≤π2． 又 A ＝π4， ∴ 0 ＜ C ≤π4． 由正弦定理可知，bsin B＝csin C＝asin A＝222＝ 2 ， ∴ b － 2 c ＝ 2sin B － 2 2 sin C ＝ 2sin??????3π4－ C － 2 2 sin C＝ 2cos??????C ＋π4． 又 0 ＜ C ≤π4， ∴π4＜ C ＋π4≤π2 , ∴ 2cos??????C ＋π4∈ [0, 2 ) ． 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 例 ４ 已知向量 m ＝ (2 s i n x ， 1) ， n ＝ ( 3 c o s x ， 2 c o s2x ) ，函數(shù) f ( x ) ＝ m n － t . ( 1) 若方程 f ( x ) ＝ 0 在 x ∈????????0 ，π2上有解，求 t 的取值范圍； ( 2) 在 △ A B C 中， a ， b ， c 分別是內(nèi)角 A ， B ， C 所對(duì)的邊，當(dāng) ( 1) 中的 t 取最大值且 f ( A ) ＝－ 1 ， b ＋ c ＝ 2 時(shí)，求a 的最小值． ? 考 向 三 與 解三角形 有關(guān)的范圍問(wèn)題 考點(diǎn)考向探究 返回目錄 三角恒等變換與解三角形 解： ( 1) ∵ m ＝ (2 s i n x ， 1) ， n ＝ ( 3 c os x ， 2 c o s2 x ) ， ∴ f ( x ) ＝ m n － t ＝ (2 s i n x ， 1) ( 3 c os x ， 2 c o s2x ) － t ＝ 2 3 s i n x c o s x ＋ 2 c o s2x － t ＝ 3 s i n????????2 x ＋π6＋ 1 － t . 由 f ( x ) ＝ 0 ，得 2 s i n????????2 x ＋π6＋ 1 ＝ t . ∴ 當(dāng) x ∈????????0 ，π2時(shí)， 2 x ＋π6∈????????π6，7 π6， ∴ 2s i n????????2 x ＋π