【正文】 角的三角函數(shù) 歸 納 總結(jié) ① 三角函數(shù)的定義中， P ( x ， y ) 是單位圓上的點(diǎn)才有 si n α ＝ y ， c o s α ＝ x ， t a n α ＝y(tǒng)x，但是若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為 r ，則 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x. ② 若已知角 α 的終邊上有異于原點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo) A ( x ，y ) ，求角 α 的三角函數(shù)值時(shí)，則應(yīng)先求 | OA |＝ r ，然后再利用定義 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x求解． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 2 . 又 α 是銳角，所以 α ＝ 20 176。 α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式． 考試大綱 一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1 ． 平方關(guān)系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其等價(jià)形式為：si n2α ＝ 1 － co s2α ， co s2α ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 2 ． 商數(shù)關(guān)系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其等價(jià)形式為： s i nα ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， co s α ＝si n αt a n α. 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 —— 知 識(shí) 梳 理 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) si n 2 α ＋ co s 2 α ＝ 1 1 － s i n 2 α t a n α ＝ sin αco s α t a n α co s α 二 、 六組誘導(dǎo)公式 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α (k∈ Z) π＋ α － α π－ α － α ＋ α 正弦 sinα ______ ______ sinα ______ ______ 余弦 cosα ______ cosα ______ ______ ______ 正切 tanα tanα ______ ______ 口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變， 符號(hào)看象限 － sinα － sinα co sα － co sα sinα－ tan α co sα－ co sα － sinα － tan α —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 1 ． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 ( 1 ) si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， t a n α ＝s in αc o s α中角α ∈ R .( ) ( 2 ) 知道 s i n α ， c o s α ， t a n α 中任意一個(gè)值，根據(jù)同角 三角函數(shù)關(guān)系式便可以求出另外兩個(gè)． ( ) ( 3 ) 已知 si n θ ＝m － 3m ＋ 5， c o s θ ＝4 － 2 mm ＋ 5，其中θ ∈????????π2， π ，則 m － 5 或 m ≥ 3 . ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) 179。深圳調(diào)研 ] t a n 2 0 1 2 176。 1 . ∴ 選 B. ( 2 ) ∵ si n ( π － α ) ＝－ 2 si n????????π2＋ α ，∴?????si n α ＝－ 2 c o s α ，si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， ∴ ( si n α c o s α )2＝425. 又 si n α c o s α ＜ 0 ， ∴ s i n α c o s α ＝－25. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點(diǎn)評(píng) 熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題成敗的關(guān)鍵．觀(guān)察已知角與所求角之間的關(guān)系，合理選用誘導(dǎo)公式，將不同名的化為同名，將不同角的化為同角． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是 “ 函數(shù)名稱(chēng) ” 與 “ 正負(fù)號(hào) ” 的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，都可以通過(guò)誘導(dǎo)公式 化為銳角三角函數(shù)的求值問(wèn)題． ② 將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的流程：任意角的三角函數(shù) → 任意正角的三角函數(shù) → 0 176。 ( s i n 2 － c o s2 ) D ． si n 2 ＋ c o s2 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) A (2 ) A [ 解析 ] ( 1 ) ∵ s i n θ ＋ c o s θ ＝15， ∴ 2 s i n θ c o s θ ＝－2425， θ ∈????????π2，3 π4， ∴2 si n θ c o s θsi n2θ ＋ c o s2θ＝－2425， ∴2 t a n θt a n2θ ＋ 1＝－2425， ∴ 1 2 t a n2θ ＋ 25 t a n θ ＋ 12 ＝ 0 ， 根據(jù)角的范圍得到 t a n θ ＝－43. ( 2 ) 1 － 2 si n ( π ＋ 2) c o s ( π ＋ 2) ＝ s i n22 ＋ c o s22 － 2 s i n 2 c o s 2 ＝( si n 2 － c o s 2 )2， ∵π22 2 π3， ∴ si n 2 － c o s 2 0 . 故選 A. 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 備選理由 例 1 對(duì)于 si n α co s α ， si n α ＋ co s α ， s i n α －co s α ，借助同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可知一求二，是對(duì)探究點(diǎn)一和二的補(bǔ)充；例 2 對(duì)題中的角含有 k π 177。22. ( 1 ) 當(dāng) c o s A ＝22時(shí)， c o s B ＝32， 又 A ， B 是三角形的內(nèi)角， ∴ A ＝π4， B ＝π6， ∴ C ＝ π － ( A ＋ B ) ＝712π . ( 2 ) 當(dāng) c o s A ＝－22時(shí)， c o s B ＝－32. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 又 A ， B 是三角形的內(nèi)角， ∴ A ＝34π ， B ＝56π ，不合題意． 綜上知， A ＝π4， B ＝π6， C ＝712π . 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點(diǎn)評(píng) 本題是誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式和方程思想的綜合應(yīng)用，由于角受三角形內(nèi)角的取值范圍的限制，不要忘記討論． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常應(yīng)用，常用的變形結(jié)論有： A ＋ B ＝ π － C ； 2 A ＋ 2 B ＋ 2 C ＝ 2 π ；A2＋B2＋C2＝π2. ② 求角時(shí)， 一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 變式題 若 A ， B ， C 為 △ AB C 的三個(gè)內(nèi)角，則 下列等式中正確的有 ( ) ① si n ( B ＋ C ) ＝ si n A ； ② c o s ( B ＋ C ) ＝ c o s A ； ③ t a n ( B ＋ C ) ＝t a n A ； ④ t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n 2 A ； ⑤ c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s 2 A ； ⑥si n????????A2＋B2＝ c o sC2. A ． 1 個(gè) B ． 2 個(gè) C ． 3 個(gè) D ． 4 個(gè) [ 答案 ] C 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] s i n ( B ＋ C ) ＝ s i n ( π － A ) ＝ s i n A ， ① 正確． c o s ( B ＋C ) ＝ c o s ( π － A ) ＝－ c o s A ， ② 錯(cuò)誤． t a n ( B ＋ C ) ＝ t a n ( π － A )＝－ t a n A ， ③ 錯(cuò)誤． t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n (2 π － 2 A ) ＝－ t a n 2 A ，④ 錯(cuò) 誤． c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s (2 π － 2 A ) ＝ c o s2 A ， ⑤ 正確． si n????????A2＋B2＝ si nπ － C2＝ c osC2， ⑥ 正確．故選 C. 易錯(cuò)究源 6 因忽視角的范圍致誤 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 已知 s i n (2 α － β ) ＝35， si n β ＝－1213，且 α ∈????????π2， π ，β ∈????????－π2， 0 ，求 s in α 的值． 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 錯(cuò)解 由 si n (2 α － β ) ＝35，得 c o s (2 α － β ) ＝ 177。 ＝ t a n ( 1 8 0 0 176。 c o s θsi n2θ ＋ c o s2θ＝t a n θ1 ＋ t a n2θ＝－34，解得 t an θ ＝－ 3 或 t a n θ ＝－33. 由于 θ ∈ (0 ， π ) ， 0 s i n θ ＋c o s θ ＝12( 3 － 1 ) 1 ， ∴ θ ∈????????π2， π ， | si n θ | | c o s θ | ， ∴ | t a nθ | 1 ，即 θ ∈????????π2，34π ， ∴ t an θ － 1 ， ∴ t a n θ ＝－33舍去．故t a n θ ＝－ 3 . 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 ( 5 )1 ＋ 2 si n α c o s αsi n2α － c o s2α＝si n2α ＋ 2 s i n α c o s α ＋ c o s2αsi n2α － c o s2α＝si n α ＋ c o s αsi n α － c o s α＝t a n α ＋ 1t a n α － 1＝－13. 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) 179。 ，則扇形的弧長(zhǎng)為 _ _ _ _ _ _ _ _ ，面積為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 設(shè)扇形的周長(zhǎng)為 8 cm ，面積為 4 cm2，則扇形的圓心角的弧度數(shù)是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) 203 π cm 1 0 03 π cm 2 ( 2 ) 2 r a d 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 圓心