【正文】 2 ． 任意角的三角函數(shù)的定 義 ( 1 ) 已知 si n α ≥ 0 ， c o s α ≥ 0 ，則 α 是第一象限角． ( ) ( 2 ) 角 α 終邊上點 P 的坐標(biāo)為????????－12，32，那么 si n α ＝32， c o s α ＝－12；同理角 α 終邊上點 Q 的坐標(biāo)為 ( x0， y0) ，那么 s i n α ＝ y0， c o s α ＝ x0. ( ) ( 3 ) 若點 P 在角23π 的終邊上，且 | OP | ＝ 2 ，則點 P 的坐標(biāo)為 ( － 1 ，－ 3 ) ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 由 si n α ≥ 0 知， α 終邊在第一象限或第二象限，或 x 軸，或 y 軸的非負(fù)半軸上；由 c o s α ≥ 0 知， α 終邊在第一象限或第四象限，或 y 軸，或 x 軸的非負(fù)半軸上．故 α 終邊在第一象限，或 x 軸的非負(fù)半軸上，或 y 軸的非負(fù)半軸上． ( 2 ) 點 P????????－12，32在單位圓上，所以 s i n α ＝32， c o s α ＝－12；而 Q ( x0， y0) 不一定在單位圓上，所以 si n α ＝ y0， c o sα ＝ x0不一定成立． ( 3 ) 根據(jù)三角函數(shù)的定義， x ＝ | OP | c o s23π ＝ 2 179。長春調(diào)研 ] 已知銳角 α 的終邊上一點 P (1 ＋ si n 5 0 176。1 ＋ s i n 5 0 176。 . 故選 C. ( 2 ) 由 c o s α ≤ 0 ， si n α 0 可知，角 α 的終邊落在第二象限內(nèi)或在 y 軸的正半軸上，所以有?????3 a － 9 ≤ 0 ，a ＋ 2 0 ，即－2 a ≤ 3. [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) A ? 探究點三 扇形弧長公式與面積公式的應(yīng)用 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 3 已知扇形的周長為 4 cm ，當(dāng)它的半徑為 _ _ _ _ _ _ _ _和圓心角為 _ _ _ _ _ _ _ _ 弧度時，扇形面積最大，這個最大面積是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 分析：依據(jù)弧長公式列出半徑和圓心角關(guān)系；推理：求出扇形面積；結(jié)論：得出函數(shù)的最值． [ 答案 ] 1 cm 2 1 cm 2 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] 設(shè)扇形的圓心角為 α ，半 徑為 r ，弧長為 l ，面積為 S . 方法一：由 2 r ＋ l ＝ 2 r ＋ r |α |＝ 4 ，得 r ＝42 ＋ |α |， 則 S ＝12| α | r2＝12| α | 178。35＋????????－45＝25； 若角 α 終邊在第三象限，則 P ( － 4 ，－ 3) ， 2 si n α ＋ c o s α ＝ 2 179。 ( 2 ) √ ( 3 ) 179。 2 ． 誘導(dǎo)公式 ( 1 ) si n ( k π ＋ α ) ＝ si n α ( k ∈ Z ) ． ( ) ( 2 ) π ＋ α 和 α 終邊關(guān)于 y 軸對稱． ( ) ( 3 ) 三角函數(shù)誘導(dǎo)公式就是將角 n ∈ ( ) A.????????0 ，33 B.????????33， 1 C.????????－ 1 ，－33 D.????????－33， 0 ( 2 ) [ 2 0 1 2 ＝ t a n ( 1 8 0 176。 到 3 6 0 176。45179。 α 化簡時，要對k 進(jìn)行分類討論，是對探究點二的深化． 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 1 [ 2 0 1 2 513－35179。 t a n x ＝－si n x ， ∴ f????????－31 π3＝－ si n????????－31 π3＝ si n31 π3＝ s in????????10 π ＋π3＝ si nπ3＝32. ? 探究點三 三角形中的誘導(dǎo)公式 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 3 在 △ AB C 中，若 s i n (2 π － A ) ＝－ 2 si n ( π － B ) ，3 c o s A ＝－ 2 c o s ( π － B ) ，求 △ AB C 的三個內(nèi)角． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 思考流程 條件：在 △ ABC 中， s i n (2 π － A ) ＝－ 2si n ( π － B ) ， 3 c o s A ＝－ 2 c o s ( π － B ) ；目標(biāo)： △ AB C 的三個內(nèi)角；方法：利用誘導(dǎo)公式化簡，再結(jié)合同角三角函數(shù)關(guān)系式解方程組，討論可得結(jié)果． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 解： 由已知得?????si n A ＝ 2 si n B ， ①3 c o s A ＝ 2 c o s B . ② ①2＋ ②2得 2 c o s2A ＝ 1 ，即 c o s A ＝ 177。 3 2 176。2 π ) ＝ t a n α ， k ∈ Z ，t a n ( π ＋ α ) ＝ t a n α 化簡；結(jié)論：根據(jù)正切函數(shù)單調(diào)性得出結(jié)論． ( 2 ) 分析：根據(jù)誘導(dǎo)公式 s i n ( π － α ) ＝ si n α ， si n????????π2＋ α ＝c o s α 化簡等式 si n ( π － α ) ＝－ 2 si n????????π2＋ α ；推理：得出 s i nα ＝－ 2 c o s α ，借助 si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ；結(jié)論：得到答案． [ 答案 ] ( 1) B ( 2 ) B 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] ( 1 ) t a n 2 0 12 176。 2 si n α c o s α ，可以知一求二． ③ 注意公式逆用及變形應(yīng)用： 1 ＝ s i n2α ＋ c o s2α ， si n2α＝ 1 － c o s2α ， c o s2α ＝ 1 － s i n2α ， s i n α ＝ t a n α c o s α . 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 3 c o s θ ＝si n θ 178。 c o s θ 0 且 2 c o sθ 0 ， 因此必有 si n θ 0 ， c o s θ 0 ，故 θ 的終邊在第二象限． ( 2 ) 因為 θ 是第二象限角，所以 c o s θ 0 ，且－ 1 c o s θ 0 ， 即 c o s θ 是第四象限角，因此 si n ( c o s θ ) 0 . 又 si n 2 θ ＝ 2 si n θ 178。 r2＝ 2 r － r2＝－ ( r － 1)2＋ 1 ， 當(dāng) r ＝ 1 時， S 有最大值 1 ，故當(dāng)半徑 r ＝ 1 cm ，圓心角 α＝ 2 弧度時，扇形的面積最大，最大值是 1 cm2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 點評 ( 1 ) 扇形的面積公式中的12rl 類似于三角形的面積公式，弧長相當(dāng)于三角形的底，半徑相當(dāng)于三角形的高，再根據(jù)弧長公式就有12|α | r2，可以使用這個方法記憶扇形的面積公式；求解的目標(biāo)函數(shù)含有兩個變量，其基本思路是 “ 消元 ” ；法二比法一更簡捷，因此在建立函數(shù)模型時，引入的自變量不同，其函數(shù)模型也不同，于是 解析也有優(yōu)劣之分． ( 2 ) 扇形的圓心角 θ 、半徑 r 、弧長 l 、面積 S 之間有下列比例關(guān)系： θ2 π＝l2 π r＝Sπ r2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸納 總結(jié) 涉及弧長和扇形面積的計算時，可用的公式有角度表示和弧度表示兩種，其中弧度表示的公式結(jié)構(gòu)簡單，易記好用，在使用前，應(yīng)將圓心角用弧度表示．弧長和扇形面積公式： l ＝ |α | R ， S ＝12|α | R2. 返回目錄 點面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 變式題 ( 1 ) 已知扇形的半徑為 1 0 cm ，圓心角為 120 176。 c o s2 0 176。 C ． 20 176。 OA ＝12α ， △ O A T的面積＝12OA 178。 ( 4 ) 179。 ， k ∈ Z .當(dāng)角 α 的終邊在 y 軸上時，可表示為 k 的角，也可能是小于 0 176。 α 9 0 176。第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 第 18講 三角函數(shù)的圖象與性質(zhì) 第 19講 函數(shù) y＝ Asin(ω x＋ φ )的圖象與性質(zhì)及三角函數(shù)模型的簡單應(yīng)用 第 20講 兩角和與差的正弦、余弦和正切公式 第 21講 簡單的三角恒等變換 第 22講 正弦定理和余弦定理 第 23講 正弦定理和余弦定理的應(yīng)用 第三單元 三角函數(shù)、解三角形 返回目錄 單元網(wǎng)絡(luò) 返回目錄 核心導(dǎo)語 一、三角函數(shù)圖象 1．變換 —— 考查圖象變換． 2．性質(zhì) —— 三角函數(shù)的性質(zhì)． 二、三角恒等變換 1．公式 —— 對公式的正用、逆用、變形運用． 2．應(yīng)用 —— 解決化簡、求值、證明問題． 3．解三角形 應(yīng)用 —— 利用正弦、余弦定理進(jìn)行邊、角互化，結(jié)合三角公式恒等變換化簡并求解 . 返回目錄 1．編寫意圖 在編寫中注意到的問題： (1)突出考查對基礎(chǔ)知識、基本方法的講解和訓(xùn)練，控制難度； (2)突出強調(diào)轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、換元思想在求解函數(shù) y＝ Asin(ωx＋ φ)＋ B的性質(zhì)中的應(yīng)用； (3)適當(dāng)加入三角函數(shù)在實際生活中的應(yīng)用問題，提高學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決實際問題的能力． 使用建議 返回目錄 2．教學(xué)指導(dǎo) (1)該單元內(nèi)容在每年的高考中都會重點考查，但考查難度不大，教師在復(fù)習(xí)此單元的時候，應(yīng)該注重基礎(chǔ)知識，不必一味追求難題、偏題和怪題，要幫助學(xué)生理清知識點之間的聯(lián)系，如用單位圓中三角函數(shù)線來推導(dǎo)誘導(dǎo)公式；用 C(α－ β)推導(dǎo)其余的和差角公式和二倍角公式； (2)由于本單元內(nèi)容難度不大，在教學(xué)中要充分發(fā)揮學(xué)生自主學(xué)習(xí)、獨立思考的習(xí)慣，同時注重對學(xué)生計算能力的訓(xùn)練，提高計算的準(zhǔn)確性和速度； (3)本單元蘊含了豐富的數(shù)學(xué)思想方法，如轉(zhuǎn)化思想和數(shù)形結(jié)合思想等，在教學(xué)中要充分引導(dǎo)學(xué)生善于運用這些思想方法解題． 使用建議 返回目錄 3．課時安排 本單元包括 8講 ﹑ 兩個 45分鐘滾動基礎(chǔ)訓(xùn)練卷及一個單元能力檢測卷，第 1 20講建議各 2課時，其余每講，兩個 45分鐘滾動基礎(chǔ)訓(xùn)練卷 及一個單元能力檢測卷 建議各1課時完成，大約共需 13課時． 使用建議 第 16講 任意角和弧度制 及任意角的三角函數(shù) 雙向固基礎(chǔ) 點面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．了解任意角的概念． 2．了解弧度制的概念，能進(jìn)行弧度與角度的互化．