【正文】 ___ cosα ______ ______ ______ 正切 tanα tanα ______ ______ 口訣 函數(shù)名不變，符號(hào)看象限 函數(shù)名改變， 符號(hào)看象限 － sinα － sinα co sα － co sα sinα－ tan α co sα－ co sα － sinα － tan α —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 1 ． 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 ( 1 ) si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， t a n α ＝s in αc o s α中角α ∈ R .( ) ( 2 ) 知道 s i n α ， c o s α ， t a n α 中任意一個(gè)值，根據(jù)同角 三角函數(shù)關(guān)系式便可以求出另外兩個(gè)． ( ) ( 3 ) 已知 si n θ ＝m － 3m ＋ 5， c o s θ ＝4 － 2 mm ＋ 5，其中θ ∈????????π2， π ，則 m － 5 或 m ≥ 3 . ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) 179。 co s θ ， 2 co s θ ) 位于第三象限，試判斷角 θ 的終邊所在的象限； ( 2 ) 若 θ 是第二象限角，則si n （ co s θ ）co s （ si n 2 θ ）的符號(hào)是什么？ 返回目錄 教師備用題 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 解： ( 1 ) 因?yàn)辄c(diǎn) P 在第三象限， ∴ s i n θ 178。35＋45＝ 2 ； 若角 α 終邊在第二象限，則 P ( － 4 ， 3) ， 2 si n α ＋ c o s α ＝ 2 179。4 － 2 rr178。 . 又 α 是銳角，所以 α ＝ 20 176。＝2 si n 2 0 176。杭州模擬 ] 已知角 α 的終邊經(jīng)過點(diǎn) ( 3 a － 9 ， a＋ 2) ，且 c o s α ≤ 0 ， si n α 0 ，則實(shí)數(shù) a 的取值范圍是 ( ) A ． ( － 2 ， 3 ] B ． ( － 2 ， 3) C ． [ － 2 ， 3 ) D ． [ － 2 ， 3] 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) t a n α ＝c o s5 0 176。 B ． 70 176。佛山模擬 ] 已知點(diǎn) P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限，則角 α 的終邊在 ( ) A ． 第一象限 B ．第二象限 C ． 第三象限 D ．第四象限 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 思考流程 (1 ) 分析：設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點(diǎn)，則 y0＝ 2 x0， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ；推理： c o s2 θ ＝ c o s2θ － s i n2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ；結(jié)論：得出 co s 2 θ 的值． ( 2 ) 分析：點(diǎn) P 在第三象限， t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0 ；推理：由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限，由 c o sα ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上；結(jié)論： α 的終邊在第二象限． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) B 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)點(diǎn) P ( x0， y0)( x0≠ 0 ) 是 θ 終邊上一點(diǎn)，則 y0＝ 2 x0. 由三角函數(shù)定義， t a n θ ＝y(tǒng)0x0＝ 2 ，則 c o s2 θ ＝ c o s2θ －s in2θ ＝c o s2θ － s i n2θc o s2θ ＋ s i n2θ＝1 － t a n2θ1 ＋ t a n2θ＝1 － 221 ＋ 22＝－35. ( 2 ) ∵ 點(diǎn) P ( t a n α ， c o s α ) 在第三象限， ∴ t a n α ＜ 0 ，且 c o s α ＜ 0. 由 t a n α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第四象限， 由 c o s α ＜ 0 ，知 α 的終邊在第二或第三象限，或 x 軸的非正半軸上，因此角 α 的終邊在第二象限． 點(diǎn)評(píng) (1)已知角 θ的終邊所在的直線方程，可先設(shè)出終邊上一點(diǎn)的坐標(biāo)，求出此點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，然后用三角函數(shù)的定義來求相關(guān)問題． (2)主要利用三角函數(shù)值在各象限的符號(hào)規(guī)律，但要注意角 α是滿足兩個(gè)條件的公共解． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 歸 納 總結(jié) ① 三角函數(shù)的定義中， P ( x ， y ) 是單位圓上的點(diǎn)才有 si n α ＝ y ， c o s α ＝ x ， t a n α ＝y(tǒng)x，但是若不是單位圓時(shí)，如圓的半徑為 r ，則 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x. ② 若已知角 α 的終邊上有異于原點(diǎn)的點(diǎn)的坐標(biāo) A ( x ，y ) ，求角 α 的三角函數(shù)值時(shí)，則應(yīng)先求 | OA |＝ r ，然后再利用定義 s i n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t a n α ＝y(tǒng)x求解． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 2 MP ＝12si n α . ，扇形 O AP 的面積＝12l 178。 ( 3 ) 179。 ( 3 ) 179。 ， k ∈ Z . ∴當(dāng)角 α 的終邊在坐標(biāo)軸上時(shí)，可表示為 k 1 8 0 176。 α 9 0 176。 ～ 89 176。 ＋ 90 176。 的角 } ， B ＝ { 第一象限角 } ，則 A ∩ B ＝ { α |0 176。 ， k ∈ Z } 二、弧度與角度的互化 1 ． 定義：把長(zhǎng)度等于 _ _ _ _ _ _ _ _ 長(zhǎng)的弧所對(duì)的圓心角叫做 1 弧度的角，正角的弧度數(shù)是正數(shù)，負(fù)角的弧度數(shù)是負(fù)數(shù)，零角的弧度數(shù)是零． 2 ． 角度制和弧度制的互化： 1 8 0 176。3 6 0 176。 |α |r 12lr 12|α |r2 三 ． 任意角的三角函數(shù) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 定義 設(shè) α是一個(gè)任意角，它的終邊與單位圓交于點(diǎn) P(x， y)，那么 _____叫做 α的正弦，記作 sinα ______叫做 α的余弦，記作cosα ______叫做 α的正切，記作tanα 各象限符號(hào) Ⅰ ________ ________ ________ Ⅱ ________ ________ ________ Ⅲ ________ ________ ________ Ⅳ ________ ________ ________ 口訣 Ⅰ 全正， Ⅱ 正弦， Ⅲ 正切， Ⅳ 余弦 y yx x 正 正 正 正 負(fù) 負(fù) 負(fù) 正 負(fù) 負(fù) 負(fù) 正 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 三角函數(shù) 正弦 余弦 正切 三角函 數(shù)線 有向線段 ______為正弦線 有向線段 ______為余弦線 有向線段 ______為正切線 MP OM AT —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 1 ． 角的有關(guān)概念 ( 1 ) 將表的分針撥快 10 分鐘，則分針轉(zhuǎn)過的角度是π3. ( ) ( 2 ) 相等的角終邊一定相同，終邊相同的角也一定相等． ( ) ( 3 ) 已知 A ＝ { 小于 90 176。 1 8 0176。 的角，可能是 0 176。 3 6 0 176。 ，k ∈ Z 且 k ≤ 0} ． ( 4 ) 當(dāng)角 α 的終邊在 x 軸上時(shí)，可表示為 k ＋ 90 176。 ( 2 ) 179。 ( 2 ) 179。32＝ 3 ， ∴ P 點(diǎn)的坐標(biāo)為 ( － 1 ， 3 ) ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 3 ． 三角函數(shù)線的應(yīng)用 ( 1 ) α ∈????????0 ，π2，則 t an α ＞ α ＞ s i n α . ( ) ( 2 ) α 為第一象限角，則 si n α ＋ co s α 1 . ( ) [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) √ 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) 設(shè)角 α 與單位圓交于 P ，則 MP ＝ si n α ， AT ＝ t a nα ，如圖所示， PA 的長(zhǎng) l ＝ α . 連接 AP ， △ PO A 的面積＝12OA 178。課程標(biāo)準(zhǔn)卷 ] 已知角 θ 的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線 y ＝ 2 x 上 ，則 c o s 2 θ ＝( ) A ． －45 B ． －35 C. 35 D. 45 ( 2 ) [ 2 0 1 2 ) ，則銳角 α ＝ ( ) A ． 80 176。 ( 2 ) [ 2 0 1 2 1 ＋ c o s 40 176。＝ t a n 2 0 176。| α |＝ 1 ， 當(dāng)且僅當(dāng)4|α |＝ |α |，即 α ＝ 2 時(shí)等號(hào)成立，此時(shí)， r ＝42 ＋ |α |＝ 1 ，故當(dāng)半徑 r ＝ 1 cm ，圓心角 α ＝ 2 弧度時(shí)，扇形 的面積最大，最大值是 1 c m2. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 方法二：由 2 r ＋ l ＝ 2 r ＋ r |α |＝ 4 ，得 |α |＝4 － 2 rr， 則 S ＝12|α | r2＝12178。江西卷 ] 已知角 θ 的頂點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，始邊為 x 軸的正半軸，若 P (4 ， y ) 是角 θ 終邊上一點(diǎn)，且 s i nθ ＝－2 55，則 y ＝ __ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 錯(cuò)解 因 P (4 ， y ) 是角 θ 終邊上一點(diǎn)，且 si n θ ＝－2 55 ，∴ si n θ ＝ y ＝－2 55 . [ 錯(cuò)因 ] 題中 P 點(diǎn)不在單位圓上，不能直接用定義表示sin θ . 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 正解 ] 若角 α 終邊上任意一點(diǎn) P ( x ， y ) ， | OP |＝ r ，則si n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t an α ＝y(tǒng)x. P (4 ， y ) 是角 θ 終邊上一點(diǎn)，由三角函數(shù)的定義知 s i n θ ＝y(tǒng)16 ＋ y2，又 si n θ ＝－2 55， ∴y16 ＋ y2＝－2 55，解得 y ＝－ 8. 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 自我檢評(píng) ( 1) 角 α 終邊過點(diǎn) P