【正文】 .設(shè)函數(shù) f ( x ) ＝ ( x2－ 2) ? ( x － 1) ， x ∈ R . 若函數(shù)y ＝ f ( x ) － c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點，則實數(shù) c 的取值范圍是 ( ) A ． ( － 1 ， 1] ∪ (2 ，＋ ∞) B ． ( － 2 ，－ 1] ∪ (1 ， 2] C ． ( － ∞ ，－ 2) ∪ (1 ， 2 ] D ． [ － 2 ，－ 1] 返回目錄 多元提能力 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 分析 ] 這是新定義的函數(shù)問題，利用分類討論將函數(shù)化為分段函數(shù)，再作出函數(shù)圖象，數(shù)形結(jié)合，得出結(jié)論． [ 解析 ] B 由 x2－ 2 － ( x － 1 ) ≤ 1 得－ 1≤ x ≤2 ， 所以， 當(dāng) x － 1 或 x 2 時，有 x2－ 2 － ( x － 1 ) 1 . 于是 f ( x ) ＝????? x 2 － 2 ，－ 1≤ x ≤2 ，x － 1 ， x － 1 或 x 2 ， 作出 f ( x ) 的圖象如圖 2 － 4 － 2 ， 返回目錄 多元提能力 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 因為函數(shù) y ＝ f ( x ) － c 的圖象與 x 軸恰有兩個公共點，所以函數(shù) y ＝ f ( x ) 與 y ＝ c 的圖象有兩個交點，由圖象可得－2 c ≤ － 1 或 1 c ≤ 2 . 故選 B. 返回目錄 多元提能力 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 自我檢評 ( 1 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝?????2 ， x ∈ [ － 1 ， 1] ，x ， x ? [ － 1 ， 1] ，若f ( f ( x )) ＝ 2 ，則 x 的取值范圍是 ( ) A ． ? B ． [ － 1 ， 1] C ． ( － ∞ ，－ 1) ∪ (1 ，＋ ∞ ) D ． {2 } ∪ [ － 1 ， 1] ( 2 ) 已知函數(shù) f ( x ) ＝?????x （ x ＋ 4 ）， x ≥0 ，x （ x － 4 ）， x 0 ，則 f ( a ＋ 1) 的最小值為 ( ) A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 返回目錄 多元提能力 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) A [ 解析 ] ( 1 ) 若 x ∈ [ － 1 ， 1] ，則有 f ( x ) ＝ 2 ? [ － 1 ， 1] ， ∴ f ( 2 )＝ 2 ； 若 x ? [ － 1 ， 1] ，則 f ( x ) ＝ x ? [ － 1 ， 1] ， ∴ f ( f ( x )) ＝ x ，此時若 f ( f ( x )) ＝ 2 ，則有 x ＝ 2. 所以 x 的取值范圍是 { 2 } ∪ [ － 1 ， 1] ，故 選 D . 返回目錄 多元提能力 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 ( 2 ) a ＋ 1 ≥ 0 ，即 a ≥ － 1 時， f ( a ＋ 1) ＝ ( a ＋ 1 ) ( a ＋ 5) ＝ a2＋6 a ＋ 5 ； a ＋ 1 0 ，即 a － 1 時， f ( a ＋ 1) ＝ ( a ＋ 1 ) ( a － 3) ＝ a2－ 2 a－ 3. 所以 f ( a ＋ 1) ＝?????a2＋ 6 a ＋ 5 ， a ≥ － 1 ，a2－ 2 a － 3 ， a － 1. 當(dāng) a ≥ － 1 時， f ( a ＋ 1) ＝ a2＋ 6 a ＋ 5 為增函數(shù)， f ( a ＋ 1) ≥ ( －1)2＋ 6 179。1x － 1＋ 1 ＝ 3 ，當(dāng)且僅當(dāng) x － 1 ＝1x － 1，即 x ＝ 4 時， 等號成立，所以函數(shù) y ＝ x ＋1x － 1( x 1 )的值域是 [3 ，＋ ∞ ) ． ? 探究點三 簡單的分段函數(shù)及其應(yīng)用 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 4 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( 2 ) √ [ 解析 ] ( 1 ) f ( x ＋ 1) ＝ 2( x ＋ 1)2＋ ( x ＋ 1) － 1 ＝ 2 x2＋ 5 x ＋ 2. ( 2 ) 令 t ＝ x － 1 ≥ － 1 ，則 x ＝ ( t ＋ 1) 2 ≥ 0 ，所以 f ( t ) ＝ ( t＋ 1)2，即 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)2( x ≥ － 1) ． 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 考點統(tǒng)計 題型 (考頻 ) 題型示例 (難度 ) 數(shù)值的求解 0 、值域的求法 選擇 (2) 2020年江西 T3(A)， 2020年江西 T3(A) 及其應(yīng)用 選擇 (2) 填空 (1) 2020年陜西 T11(A)， 2020年福建 T9(B)， 2020年江西 T3(A) 0 ? 探究點一 函數(shù)的概念與函數(shù)值的求解 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 1 ( 1 ) 給出四個命題： ① 函數(shù)是其定義域到值域的映射； ② f ( x ) ＝ x － 3 ＋ 2 － x 是函數(shù)； ③ 函數(shù) y ＝ 2 x ( x ∈ N ) 的圖象是一條直線； ④ f ( x ) ＝x2x與 g ( x ) ＝ x 是同一個函數(shù)． 其中正確的有 ( ) A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個 ( 2 ) 下列對應(yīng)法則 f 為 A 上的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) ① A ＝ Z ， B ＝ N ＋ ， f ： x → y ＝ x2； ② A ＝ Z ， B ＝ Z ， f ： x → y＝ x ； ③ A ＝ [ － 1 ， 1] ， B ＝ { 0 } ， f ： x → y ＝ 0. A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 思考流程 ( 1 ) 分析：首先要了解函數(shù)的定義、函數(shù)的三要素等概念；推理：利用函數(shù)的相關(guān)概念對命題逐一判斷；結(jié)論 ：得出結(jié)論． ( 2 ) 分析：熟悉函數(shù)的定義；推理：根據(jù)函數(shù)的定義判斷，注意與映射的區(qū)別和聯(lián)系；結(jié)論：得出結(jié)論． [ 答案 ] ( 1 ) A ( 2 ) B 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 由函數(shù)的定義知 ① 正確． ② 中滿足 f ( x ) ＝x － 3 ＋ 2 － x 的 x 不存在，所以 ② 不正確． ③ 中 y ＝ 2 x ( x ∈ N )的圖象是一條直 線上的一群孤立的點，所以 ③ 不正確． ④ 中f ( x ) 與 g ( x ) 的定義域不同， ∴④ 也不正確．故選 A. ( 2 ) 對于 ① ，當(dāng) 0 ∈ A 時， y ＝ 0 ? B ，故 ① 所給的對應(yīng)法則不是 A 到 B 的映射，當(dāng)然它不是 A 上的函數(shù)關(guān)系；對于 ② ，當(dāng) 2 ∈ A 時， y ＝ 2 ? B ，故 ② 所給的對應(yīng)法則不是 A 到 B 的映射，當(dāng)然它不是 A 上的函數(shù)關(guān)系；對于 ③ ，對于 A 中的任一個數(shù)，按照對應(yīng)法則，在 B 中都有唯一元素 0 和它對應(yīng)，故 ③ 所給的對應(yīng)法則是 A 到 B 的映射，這兩個數(shù)集之間的關(guān)系是集合 A 上的函數(shù)關(guān)系． 點評 本題的判斷是在熟悉函數(shù)的概念基礎(chǔ)上進(jìn)行的，判斷是不是函數(shù)，要看函數(shù)的三要素；判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)，要看其定義域和對應(yīng)關(guān)系是否分別相同． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 歸納總結(jié) ①判斷一個對應(yīng)是否為映射，關(guān)鍵看是否滿足 “ 集合 A中元素的任意性，集合 B中元素的唯一性 ” ． ②判斷一個對應(yīng) f： A→B是否為函數(shù)，一看是否為映射；二看 A， B是否為非空數(shù)集．若是函數(shù)，則 A是定義域，而值域是 B的子集． ③函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應(yīng)關(guān)系是否分別相同． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 變式題 ( 1 ) 下列各組函數(shù)中，表 示同一個函數(shù)的是( ) A ． y ＝x2－ 1x － 1與 y ＝ x ＋ 1 B ． y ＝ lg x 與 y ＝12lg x2 C ． y ＝ x2－ 1 與 y ＝ x － 1 D ． y ＝ x 與 y ＝ l o gaax( a 0 且 a ≠ 1 ) 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 (2) 在下列圖 像 ，表示 y 是 x 的函數(shù)圖象的是 ________ ． 圖 2 － 4 － 1 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 選項 A ， B 中，定義域不同，選項 C 中，對應(yīng)法則不同，只有選項 D 中的兩個函數(shù)的三要素相同．故選 D. ( 2 ) 由函數(shù)定義可知，自變量 x 對應(yīng)唯一的 y 值，所以③④ 錯誤， ①② 正確． [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) ①② ? 探究點二 函數(shù)的定義域、值域的求法 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 2 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( 2 ) √ ( 3 ) 179。 1 ．函數(shù)的概念與函數(shù)值的求解 已知函數(shù) f ( x ) ＝ l g ( x － 1) ， g ( x ) ＝x2－ 1x ＋ 1，則 ( 1 ) f ( 10 ＋ 1) ＝12， g ( f ( 1 1 ) ) ＝ 0 . ( ) ( 2 ) h ( x ) ＝ l g | x － 1| 與 f ( x ) 相同， k ( x ) ＝ （ 1 － x ）2與 g ( x ) 相同． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) f ( 10 ＋ 1) ＝ lg ( 10 ) ＝12， f ( 1 1 ) ＝ l g 1 0 ＝ 1 ，g ( f ( 1 1 ) ) ＝ g ( 1 ) ＝ 0. ( 2 ) h ( x ) 與 f ( x ) 定義域不同，不是同一個函數(shù)， k ( x ) 與g ( x ) 定義域不同，不是同一個函數(shù)． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 答案 ] ( 1 ) 179。 廣東卷改編 ] 函數(shù) y ＝x ＋ 1x的定義域為{ x | x ≠ 0 } ． ( ) ( 2 ) 若函數(shù) f (2 x － 1) 的定義域為 { x |1 ≤ x 3 } ，則函數(shù) f ( x )的定義域為 { x |1 ≤ x 5 } ． ( ) ( 3 ) 若函數(shù) f ( x ) 的定義域為 { x |1 ≤ x 3 } ，則函數(shù) f (2 x － 1)的定義域為 { x |1 ≤ x 5 } ． ( ) ( 4 ) 函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ 3 ＋ 1 的值域是 { y | y ≥1 } ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) x ＋ 1 ≥ 0 ，且 x ≠ 0 ，得定義域為 { x | x ≥ － 1且 x ≠ 0} ． ( 2 ) 因為 1 ≤ x 3 ，所以 1 ≤ 2 x － 1 5 ，令 t ＝ 2 x － 1 ，則1 ≤ t 5 ，所 以 f ( t ) 也即 f ( x ) 的定義域為 { x |1 ≤ x 5 } ． ( 3 ) 令 t ＝ 2 x － 1 ，依題意有 1 ≤ t 3 ，即 1 ≤ 2 x － 1 3 ，得 1 ≤ x 2 ，所以函數(shù) f (2 x － 1) 的定義域為 { x |1 ≤ x 2 } ． ( 4