【正文】 向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 例 2 ( 1 ) [ 2 0 1 2 濟(jì)南模擬 ] 直線 x － y ＋ m ＝ 0 與圓 x2＋y2－ 2 x － 1 ＝ 0 有兩個(gè)不 同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件是( ) A ．－ 3 m 1 B ．－ 4 m 2 C ． 0 m 1 D ． m 1 [ 答案 ] C 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 [ 解析 ] 圓心 (1 ， 0) 到直線 x － y ＋ m ＝ 0 的距離為 d ＝|1 ＋ m |2，圓的半徑為 R ＝ 2 ，直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的充要條件是 d R ，即|1 ＋ m |2 2 ，得－ 3 m 1 . 而 { m | 0 m 1 }? { m |－ 3 m 1 } ，所以 0 m 1 是直線與圓有兩個(gè)不同交點(diǎn)的一個(gè)充分不必要條件．故選 C. 易錯(cuò)究源 1 充要條件判斷中的致誤原因 返回目錄 多元提能力 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 例 [ 2 0 1 1 其含義： “ 且 ” 是若干個(gè)簡(jiǎn)單命題 ________成立；“ 或 ” 是若干個(gè)簡(jiǎn)單命題中 ________有一個(gè)成立； “ 非 ”是對(duì)一個(gè)命題的 ________(只否定結(jié)論 )． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) “且”“或”“非” 同時(shí) 至少 否定 2． 復(fù)合命題的真假判斷 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 p q 綈 p 綈 q P或q P且q 綈 (p或 q) 綈 (p且 q) (綈 p)或 (綈 q) (綈 p)且 (綈 q) 真 真 假 假 真 假 假 真 假 假 真 真 假 假 真 真 假 假 真 假 假 假 真 真 假 真 真 假 假 真 假 假 真 真 假 真 假 真 真 真 二 、 全稱量詞與存在量詞 1． 常見的全稱量詞與存在量詞： (1)全稱量詞有： “ 任意一個(gè) ”“ 一切 ”“ 每一個(gè) ”“ 任何一個(gè) ”“ 所有 ” 等 ． (2)存在量詞有： “ 存在 ”“ 至少有一個(gè) ”“ 有些 ”“ 有一個(gè) ”“ 某個(gè) ”“ 有的 ” 等 ． 2． 全稱命題與特稱命題： (1)________________的命題叫全稱命題 ． (2)________________的命題叫特稱命題 ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 含有全稱量詞 含有存在量詞 3． 含有一個(gè)量詞的命題的否定： 全 稱 命 題 p ：任意 x∈ M ， p(x) ； 它 的 否 定 是_________________________________． 特稱命題 q ： 存 在 x0∈ M ， q(x0) ； 它 的 否 定 是_______________________________． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 綈 p ： 存在 x 0 ∈ M ， 綈 p ( x 0 ) 綈 q ： 任意 x ∈ M ， 綈 q ( x ) —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 1 ．邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題真假 命題 p ：若 x21 ，則 x 1 或 x － 1 ，命題 q ： sin x＝53，則 (1) p 或 q 是真命題． ( ) (2) p 且 q 是真命題． ( ) (3) p 且 ( 綈 q ) 是真命題． ( ) (4) ( 綈 p ) 或 ( 綈 q ) 是真命題． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) ( 3 ) √ ( 4 ) √ [ 解析 ] 命題 p 是真命題，命題 q 是假命題，所以 綈 p是假命題， 綈 q 是真命題，根據(jù)復(fù)合命題的真假的概念知． ( 2 ) 錯(cuò)，其余都對(duì)． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 2 ．命題的否定的形式 (1) 命題 “ 任意 x ∈ R ， x2－ x ＋ 10” 的否定是： “ 存在 x0∈ R ， x20－ x0＋ 10 ” ． ( ) (2) 已知命題 p ： 存在 n0∈ N ， 2 n0 1 000 ，則 綈 p ： 存在 n ∈ N ，2n≤1 000.( ) (3) “ 有些偶數(shù)能被 3 整除 ” 的否定是 “ 所有的偶數(shù)都不能被 3 整除 ” ． ( ) (4) 已知命題 p ， q ，則命題 p 或 q 的否定是 ( 綈 p ) 且 ( 綈 q ) ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 3講 簡(jiǎn)單的邏輯聯(lián)結(jié)詞、全稱量詞與存在量詞 [ 解析 ] 由全稱命題和特稱命題。 河南中原六校聯(lián)考 ] “ m 1 ” 是 “ 函數(shù) f ( x ) ＝ x2＋ x ＋ m 有零點(diǎn) ” 的 ( ) A ．充分非必要條件 B ．充要條件 C ．必要非充分條件 D ．非充分非必要條件 ( 2 ) [ 2 0 1 2 吉林二模 ] 已知 p ： | x ＋ 1| ＞ 2 ， q ： 5 x － 6≤ x2，則 綈 p 是 q 的 ( ) A ．充分不必要條件 B ．必要不充分條件 C ．充要條件 D ．既不充分又不必要條件 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 思考流程 ( 1 ) 分析：熟悉兩直線垂直的斜率關(guān)系；推理：求出兩直線垂直時(shí)的 m 的值；結(jié)論：考查推導(dǎo)關(guān)系得出結(jié)論． ( 2 ) 分析：需要知道兩個(gè)命題中的變量范圍；推理：解不等式，化簡(jiǎn)命題；結(jié)論：根據(jù)變量的范圍得出結(jié)論． [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) A 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 [ 解析 ] ( 1 ) m ＝12，兩直線的斜率分別是 k1＝－53， k2＝35， k1k2＝－ 1 ，兩直線垂直；反之，若兩直線垂直，可得m ＝－ 2 或 m ＝12. 故選 B. ( 2 ) p ： x － 3 或 x 1 ，所以 綈 p ：－ 3 ≤ x ≤ 1 ； q ： x ≤ 2或 x ≥ 3 ，由 綈 p 可推得 q ，而由 q 推不出 綈 p ，故選 A. 點(diǎn)評(píng) 第 (1)題利用兩直線互相垂直的條件，根據(jù) k值看條件和結(jié)論的互推關(guān)系能否進(jìn)行即可得出結(jié)論；第 (2)題解不等式得出 x的范圍，在數(shù)軸上討論得出結(jié)論． 在進(jìn)行充分條件 、 必要條件判斷時(shí) ， 弄清 “ 條件 ” 和“ 結(jié)論 ” 很重要 ， 這樣才能使推導(dǎo)的方向性更加明確 ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 歸納總結(jié) 充要條件的三種判斷方法 ① 定義法：根據(jù) p ? q ， q ? p 進(jìn)行判斷． ② 集合法：根據(jù) p ， q 成立的對(duì)象的集合之間的包含關(guān)系進(jìn)行判斷． ③ 等價(jià)轉(zhuǎn)化法：根據(jù)一個(gè)命題與其逆否命題的等價(jià)性，把判斷的命題轉(zhuǎn)化為其逆否命題進(jìn)行判斷．這個(gè)方法特別適合以否定形式給出的問題，如 “ xy ≠ 1 ” 是 “ x ≠1 或 y ≠ 1 ” 的何種條件，即可轉(zhuǎn)化為判斷 “ x ＝ 1 且 y ＝ 1” 是 “ xy ＝ 1” 的何種條件． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 變式題 ( 1 ) 已知－ 2≤ x ≤2 ， f ( x ) ＝－ x2＋ 2 x ＋ 1 ， g ( x ) ＝－x ＋ 1 ，則 “ f ( x ) g ( x )” 是 “ f ( x ) － g ( x )” 的 ( ) A ．必要不充分條件 B ．充分不必要條件 C ．充要條件 D ．既不充分也不必要條件 ( 2 ) [ 2 0 1 2 陜西卷改編 ] 設(shè) a ， b 是向量，命題 “ 若a ＝－ b ，則 | a| ＝ |b |” 的逆命題是 “ 若 | a| ＝ |b |，則 a≠ －b ” ． ( ) ( 4 ) 命題 “ 若 x2－ 3 x ＋ 2 0 ，則 x 2 或 x 1 ” 的逆否命題是 “ 若 1≤ x ≤2 ，則 x2－ 3 x ＋ 2 ≤ 0 ” ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 ( 5 ) 命題 p ： “ 矩形的對(duì)角線相等 ” 的逆命題是 q ，則 q的否命題是：對(duì)角線不相等的四邊形不是矩形． ( ) ( 6 ) “ 空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線在同一平面內(nèi) ” 是真命題． ( ) [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) √ ( 5 ) √ ( 6 ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 [ 解析 ] ( 1 ) 由于四種命題中有兩組等價(jià)命題，因此在四種形式的命題中真命題的個(gè)數(shù)只能是 0 ， 2 或 4. ( 2 ) 一個(gè)命題的否命題既否定條件又否定結(jié)論，命題的否定只否定命題的結(jié)論． ( 3 ) “ 若 a ＝－ b ，則 | a | ＝ | b | ” 的逆命題是 “ 若 | a | ＝ | b | ，則 a ＝－ b ” ． ( 4 ) 根據(jù)四種命題的關(guān)系判斷． ( 5 ) 命題 q ：對(duì)角線相等的四邊形是矩形，所以 q 的否命題是：對(duì)角線不相等的四邊形不是矩形． ( 6 ) 空間中，相交于同一點(diǎn)的三條直線可能共面，也可能兩兩確定一個(gè)平面． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 2 ．充分、必要條件的判斷 ( 1 ) 若 p 是 q 的充分不必要條件，則 綈 p 是 綈 q 的必要不充分條件． ( ) ( 2 ) 若 綈 p 是 綈 q 的必要不充分條件，則 q 是 p 的必要不充分條件． ( ) ( 3 ) [ 2 0 1 1 福建卷 ] 在整數(shù)集 Z 中，被 5 除 所得余數(shù)為 k的所有整數(shù)組成一個(gè) “ 類 ” ，記為 [ k ] ，即 [ k ] ＝ {5 n ＋ k | n ∈ Z } ，k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 給出如下四個(gè)結(jié)論： ① 2 0 1 1 ∈ [ 1 ] ； ② － 3 ∈ [ 3 ] ； ③ Z ＝ [ 0 ] ∪ [ 1 ] ∪ [ 2 ] ∪ [ 3 ] ∪ [ 4 ] ； ④ “ 整數(shù) a ， b 屬于同一 ? 類 ?” 的充要條件是 “ a － b ∈ [ 0 ] ” ． 其中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) C 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運(yùn)算 [ 解析 ] ( 1 ) 顯然 S ＝ {0 } 是 “ 和諧集 ” ，所以選項(xiàng) A 正確；設(shè) x1， x2∈ S ， x1＝ k1a ， x2＝ k2a ，則 x1＋ x2＝ ( k1＋ k2) a ∈ S ， x1－ x2＝ ( k1－ k2) a ∈ S ，所以選項(xiàng) B 正確；易知偶數(shù)集 S 是 “ 和諧集 ” ，且 S ∩ {0 } ≠ ? ，所以選項(xiàng) C 正確；由選項(xiàng) C 中的兩個(gè) “ 和諧集 ” 知，選項(xiàng) D 錯(cuò)誤． ( 2 ) 2 0 1 1 ＝ 5 4 0 2 ＋ 1 ∈ [ 1 ] ，所以 ① 正確； － 3 ＝ 5 ( － 1) ＋ 2 ? [ 3 ] ，所以 ②