【正文】 ____________} x∈ A且x∈ B x∈ A或x∈ B ?UA x∈ U且 x?A 四、常見結(jié)論 1． 集合間的關(guān)系的幾個(gè)重要結(jié)論： (1)任何集合都是它本身的子集 ， 即 A________A. (2)子集 、 真子集都有傳遞性 ， 即若 A?B， B?C， 則A________C. (3)若集合 A中有 n個(gè)元素 ， 則集合 A的子集有 ________個(gè) ，真子集有 ________個(gè) ， 非空真子集有 ________個(gè) ． ： A∪ B＝ B?________；A∩B＝ A?________； ?U(?UA)＝ ________； ?U(A∪ B)＝________________， ?U(A∩B)＝ ____________． 雙向固基礎(chǔ) 第 1講 集合及其運(yùn)算 ? ? 2n 2n－ 1 2n－ 2 A? B A? B A (?UA)∩(?UB) (?UA)∪ (?UB) —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 1講 集合及其運(yùn)算 [ 答案 ] ( 1 ) ( 2 ) √ ( 3 ) 1 ．對(duì)集合概念的認(rèn)識(shí) ( 1 ) {1 ， 2 ， 3 }≠ {3 ， 2 ， 1} ． ( ) ( 2 ) 集合 {1 ， x2} 中的 x ≠ 177。1 . ( ) ( 3 ) A ＝ { x | y ＝ x2＋ 2 x ＋ 1} ， B ＝ { y | y ＝ x2＋ 2 x ＋ 1} ，C ＝ {( x ， y )| y ＝ x2＋ 2 x ＋ 1} ，則 A ＝ B ＝ C .( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 1講 集合及其運(yùn)算 [ 解析 ] ( 1 ) 集合與元素的排列順序無關(guān)，所以 {1 ， 2 ，3} ＝ {3 ， 2 ， 1} ； ( 2 ) 集合中的元素是互異的，所以 x2≠ 1 ，得 x ≠ 177。 福建卷改編 ] 已知集合 M ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4} ，N ＝ { － 2 ， 2} ，則 M ∪ N ＝ M .( ) ( 2 ) 若全集 U ＝ { － 1 ， 0 ， 1 ， 2} ， P ＝ { x ∈ Z | x24 } ，則?UP ＝ { 2 } ． ( ) ( 3 ) [ 2 0 1 2 2 ，舍去 a＝ 2 ，得 a ＝－ 2 ，此時(shí) 4 － a ＝ 6 ，所以 N ＝ { － 2} ，其子集個(gè)數(shù)是 2. ? 探究點(diǎn)二 集合間基本關(guān)系的認(rèn)識(shí) 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 例 2 ( 1 ) 設(shè)集合 M ＝ { x | x ＝ 5 － 4 a ＋ a2， a ∈ R } ， N ＝ { y | y＝ 4 a2＋ 4 a ＋ 2 ， a ∈ R } ，則下列關(guān)系正確的是 ( ) A ． M ＝ N B ． N M C ． M N D ． M ? N ( 2 ) [ 2 0 1 2 1) π ， k ∈ Z } 之間的關(guān)系是 ( ) A ． X Y B ． Y X C ． X ＝ Y D ． X ≠ Y (2) 設(shè) U ＝ {1 ， 2 ， 3 ， 4} ， M ＝ { x ∈ U | x2－ 5 x ＋ p ＝ 0} ，若 ?UM ＝ {2 ， 3} ，則實(shí)數(shù) p 的值是 ( ) A ．－ 4 B ． 4 C ．－ 6 D ． 6 [ 答案 ] ( 1 ) Ｃ ( 2 ) Ｂ 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 [ 解析 ] ( 1 ) 因?yàn)?n ∈ Z ， k ∈ Z ，令 n ＝ 2 k 或 n ＝ 2 k － 1 ，得 2 n ＋ 1 ＝ 4 k ＋ 1 或 2 n ＋ 1 ＝ 4 k － 1 ，所以 X ＝ Y ，故選 C. ( 2 ) 由 ? U M ＝ {2 ， 3} ，知 M ＝ {1 ， 4} ，再運(yùn)用一元二次方程根與系數(shù)的關(guān)系有 p ＝ 1 4 ＝ 4 ，故選 B. ? 探究點(diǎn)三 集合的基本運(yùn)算的求解 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 例 3 ( 1 ) [ 2 0 1 2 遼寧卷 ] 已知全集 U ＝ {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ，7 ， 8 ， 9} ，集合 A ＝ {0 ， 1 ， 3 ， 5 ， 8} ，集合 B ＝ {2 ， 4 ， 5 ，6 ， 8} ，則 ( ?UA ) ∩ ( ?UB ) ＝ ( ) A ． {5 ， 8 } B ． {7 ， 9} C ． {0 ， 1 ， 3 } D ． {2 ， 4 ， 6} 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 思考流程 ( 1 ) 分析：理解全集、補(bǔ)集的關(guān)系；推理：化簡(jiǎn)集合 U ， A ；結(jié)論：根據(jù)補(bǔ)集的概念求得補(bǔ)集； ( 2 ) 分析：理解全集、補(bǔ)集、交集的關(guān)系；推理：分別 求出A ， B 的補(bǔ)集；結(jié)論：再求交集得出結(jié)果． [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) B [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 集合 U ＝ { x | － 2 ≤ x ≤ 2} ， A ＝ { x | －2 ≤ x ≤ 0} ， ∴ ? UA ＝ { x | 0 x ≤ 2} ，故選 C. ( 2 ) 方法一： ∵ ? U A ＝ {2 ， 4 ， 6 ， 7 ， 9} ， ? U B ＝ {0 ， 1 ，3 ， 7 ， 9} ， ∴ ( ? U A ) ∩ ( ? U B ) ＝ {7 ， 9} ． 方法二： ∵ A ∪ B ＝ {0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 5 ， 6 ， 8} ， ∴ ( ? U A ) ∩ ( ? U B ) ＝ ? U ( A ∪ B ) ＝ {7 ， 9} ． 點(diǎn)評(píng) 集合有三種運(yùn)算關(guān)系：交集、并集和補(bǔ)集，進(jìn)行運(yùn)算時(shí)，先將集合化簡(jiǎn)，再用數(shù)軸、圖象或 Venn圖求得運(yùn)算的結(jié)果． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 歸納總結(jié) ① 一般來講，集合中的元素是離散的，則用V e n n 圖表示；集合中的元素是連續(xù)的實(shí)數(shù)，則用數(shù)軸表示，此時(shí)要注意端點(diǎn)的情況． ② 運(yùn)算過程中要注意集合間的特殊關(guān)系的使用，靈活使用這些關(guān)系，會(huì)使運(yùn)算簡(jiǎn)化．如下面的五個(gè)關(guān)系是等價(jià)的： A ? B ， A ∩ B ＝ A ， A ∪ B ＝ B ， ? U A ?? U B ， A ∩( ? U B ) ＝ ? . 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 變式題 ( 1 ) [ 2 0 1 3 沈陽質(zhì)檢 ] 若全集 U ＝ { a ， b ， c ， d ， e ， f } ，A ＝ { b ， d } ， B ＝ { a ， c } ，則集合 { e ， f } ＝ ( ) A ． A ∪ B B ． A ∩ B C ． ( ?UA ) ∩ ( ?UB ) D ． ( ?UA ) ∪ ( ?UB ) [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) C 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 1講 集合及其運(yùn)算 [ 解析 ] （ 1 ） A ＝ [ － 2 ， 2] ， B ＝ (1 ，＋ ∞ ) ，所以A ∩ B ＝ (1 ， 2] ． (2) 依題意有 ? U A ＝ { a ， c ， e ， f } ， ? U B ＝ { b ， d ， e ，f } ， { e ， f } ＝ ( ? U A ) ∩ ( ? U B ) ．故選 C. 思想方法 1 以集合為背景的新定義問題 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運(yùn)算 例 [2020 深圳一調(diào) ] 設(shè) S 是實(shí)數(shù)集 R 的非空子集，如果 ? a ， b ∈ S ，有 a ＋ b ∈ S ， a － b ∈ S ，則稱 S 是一個(gè) “ 和諧集 ” ．下面命題為 假命題． ． ．的是 ( ) A ．存在有限集 S ， S 是一個(gè) “ 和諧集 ” B ．對(duì)任意無理數(shù) a ，集合 S ＝ { x | x ＝ ka ， k ∈ Z } 都是 “ 和諧集 ” C ．若 S1≠ S2，且 S1， S2均是 “ 和諧集 ” ，則 S1∩ S2≠ ? D ．對(duì)任意兩個(gè) “ 和諧集 ” S1， S2，若 S1≠ R ， S2≠ R ，則S1∪ S2＝ R 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運(yùn)算 ( 2 ) [ 2 0 1 1 全國(guó)卷 ] 已知集合 A ＝ {1 ， 3 ， m } ， B ＝{1 ， m } ， A ∪ B ＝ A ，則 m ＝ ( ) A ． 0 或 3 B ． 0 或 3 C ． 1 或 3 D ． 1 或 3 [ 解析 ] B 本小題主要考查集合元素的性質(zhì)和集合的關(guān)系．解題的突破口為集合元 素的互異性和集合的包含關(guān)系． 由 A ∪ B ＝ A 得 B ? A ，所以有 m ＝ 3 或 m ＝ m . 由 m＝ m 得 m ＝ 0 或 1 ，經(jīng)檢驗(yàn)， m ＝ 1 時(shí) B ＝ {1 ， 1} 矛盾， m＝ 0 或 3 時(shí)符合，故選 B. 返回目錄 教師備用題 第 1講 集合及其運(yùn)算 例 2 已知集合 A ＝ [2 ， l o g 2 t ] ，集合 B ＝ { x | x2－ 14 x ＋24 ≤ 0} ， x ， t ∈ R ，且 A ? B . ( 1 ) 對(duì)于區(qū)間 [ a ， b ] ，定義此區(qū)間的 “ 長(zhǎng)度 ” 為 b － a ，若 A 的區(qū)間 “ 長(zhǎng)度 ” 為 3 ，試求 t 的值； (2 ) 某個(gè)函數(shù) f ( x ) 的值域是 B ，且 f ( x ) ∈ A 的概率不小于 0 . 6 ，試確定 t 的取值范圍． 返回目錄 教師備用題 第 1講 集合及其運(yùn)算 解： ( 1 ) 因?yàn)?A 的區(qū)間 “ 長(zhǎng)度 ” 為 3 ，所以 l o g2t － 2 ＝ 3 ，即 l o g2t ＝ 5 ，所以 t ＝ 3 2 . ( 2 ) 由 x2－ 14 x ＋ 24 ≤ 0 ，得 2 ≤ x ≤ 12 ，所以 B ＝ [2 ， 1 2 ] ，所以 B 的區(qū)間 “ 長(zhǎng)度 ” 為 1 0 . 設(shè) A 的區(qū)間 “ 長(zhǎng)度 ” 為 y ，因?yàn)?f ( x ) ∈ A 的概率不小于0 . 6 ， 所以y10≥ 0 . 6 ，所以 y ≥ 6 ，即 l o g2t － 2 ≥ 6 ，解得 t ≥ 28＝ 2 5 6 . 又 A ? B ，所以 l o g2t ≤ 12 ，即 t ≤ 212＝ 4 0 9 6 ，所以 t 的取值范圍為 [ 2 5 6 ， 4 0 9 6 ] ( 或 [28， 212]) ． 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 雙向固基礎(chǔ) 點(diǎn)面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．理解命題的概念． 2． 了解 “ 若 p， 則 q” 形式的命題及其逆命題 、 否命題與逆否命題 ， 會(huì)分析四種命題的相互關(guān)系 ． 3． 理解必要條件 、 充分條件與充要條件的意義 ． 考試大綱 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 —— 知 識(shí) 梳 理 —— 一、四種命題 1．命題：可以判斷 ______的陳述句叫做命題；就其結(jié)構(gòu)而言，命題由 ______和 ______兩部分組成；就其結(jié)果正確與否而言分為 ________和 ________． 2．命題的四種形式： 一般地，用 p和 q分別表示命題的條件和結(jié)論，用 綈 p和 綈 q 分別表示 p和 q的否定，于是四種命題的形式 就是： 原命題： 若 p，則 q； 逆命題： ____________________； 否命題： ____________________； 逆否命題： ____________________． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 真假 條件 結(jié)論 真命題