【文章內(nèi)容簡介】 ] 設 U 為全集，對集合 X ， Y ，定義運算 “ ⊕ ” ，滿足 X ⊕ Y ＝ ( ? U X ) ∪ Y ，則對于任意集合 X ， Y ，Z ， X ⊕ ( Y ⊕ Z ) ＝ ( ) A ． ( X ∪ Y ) ∪ ( ? U Z ) B ． ( X ∩ Y ) ∪ ( ? U Z ) C ． [( ? U X ) ∪ ( ? U Y )]∩ Z D ． ( ? U X ) ∪ ( ? U Y ) ∪ Z [ 解析 ] D 因為 X ⊕ Y ＝ ( ? U X ) ∪ Y ，所以 Y ⊕ Z ＝( ? U Y ) ∪ Z ，所以 X ⊕ ( Y ⊕ Z ) ＝ ( ? U X ) ∪ ( Y ⊕ Z ) ＝( ? U X ) ∪ ( ? U Y ) ∪ Z ，故選 D. 方法解讀 解決以集合為背景的新定義問題，要抓住兩點： (1)緊扣新定義．首先分析新定義的特點，把新定義所敘述的問題的本質(zhì)弄清楚，并能夠應用到具體的解題過程之中，這是破解新定義型集合問題難點的關(guān)鍵所在；(2)用好集合的性質(zhì)．集合的性質(zhì) (概念、元素的性質(zhì)、運算性質(zhì)等 )是破解新定義型集合問題的基礎，也是突破口，在解題時要善于從試題中發(fā)現(xiàn)可以使用集合性質(zhì)的一些因素，在關(guān)鍵之處用好集合的運算與性質(zhì)． 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運算 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運算 自我檢評 (1) [2020 深圳一調(diào) ] 設 S 是實數(shù)集 R 的非空子集，如果 ? a ， b ∈ S ，有 a ＋ b ∈ S ， a － b ∈ S ，則稱 S 是一個 “ 和諧集 ” ．下面命題為 假命題． ． ．的是 ( ) A ．存在有限集 S ， S 是一個 “ 和諧集 ” B ．對任意無理數(shù) a ，集合 S ＝ { x | x ＝ ka ， k ∈ Z } 都是 “ 和諧集 ” C ．若 S1≠ S2，且 S1， S2均是 “ 和諧集 ” ，則 S1∩ S2≠ ? D ．對任意兩個 “ 和諧集 ” S1， S2，若 S1≠ R ， S2≠ R ，則S1∪ S2＝ R 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運算 ( 2 ) [ 2 0 1 1 福建卷 ] 在整數(shù)集 Z 中，被 5 除 所得余數(shù)為 k的所有整數(shù)組成一個 “ 類 ” ，記為 [ k ] ，即 [ k ] ＝ {5 n ＋ k | n ∈ Z } ，k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4. 給出如下四個結(jié)論： ① 2 0 1 1 ∈ [ 1 ] ； ② － 3 ∈ [ 3 ] ； ③ Z ＝ [ 0 ] ∪ [ 1 ] ∪ [ 2 ] ∪ [ 3 ] ∪ [ 4 ] ； ④ “ 整數(shù) a ， b 屬于同一 ? 類 ?” 的充要條件是 “ a － b ∈ [ 0 ] ” ． 其中，正確結(jié)論的個數(shù)是 ( ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) C 返回目錄 多元提能力 第 1講 集合及其運算 [ 解析 ] ( 1 ) 顯然 S ＝ {0 } 是 “ 和諧集 ” ，所以選項 A 正確；設 x1， x2∈ S ， x1＝ k1a ， x2＝ k2a ，則 x1＋ x2＝ ( k1＋ k2) a ∈ S ， x1－ x2＝ ( k1－ k2) a ∈ S ，所以選項 B 正確；易知偶數(shù)集 S 是 “ 和諧集 ” ，且 S ∩ {0 } ≠ ? ，所以選項 C 正確；由選項 C 中的兩個 “ 和諧集 ” 知，選項 D 錯誤． ( 2 ) 2 0 1 1 ＝ 5 4 0 2 ＋ 1 ∈ [ 1 ] ，所以 ① 正確； － 3 ＝ 5 ( － 1) ＋ 2 ? [ 3 ] ，所以 ② 不正確； Z ＝ [ 0 ] ∪ [ 1 ] ∪ [ 2 ] ∪ [ 3 ] ∪ [ 4 ] ， ③ 正確； 若整數(shù) a ， b 屬于同一 “ 類 ” ，則 a ＝ 5 m ＋ k ， b ＝ 5 n ＋ k ，k ＝ 0 ， 1 ， 2 ， 3 ， 4 ， 則 a － b ＝ 5( m － n ) ＋ 0 ∈ [ 0 ] ，所以 ④ 正確． 由以上， ①③④ 正確，故選 C. 備選理由 集合的運算是集合的重點內(nèi)容，也是高考數(shù)學的必考點，例 1通過對參數(shù) m的討論，可以加深對集合元素的互異性和集合的包含關(guān)系的理解；例 2將集合問題與概率中的幾何概型巧妙地融合在一起，既考查了集合知識，又考查了幾何概率問題，體現(xiàn)了集合的 “ 知識交匯點 ” 的特點，意在提高學生的綜合應用能力． 返回目錄 教師備用題 第 1講 集合及其運算 返回目錄 教師備用題 第 1講 集合及其運算 例 1 [ 2 0 1 2 全國卷 ] 已知集合 A ＝ {1 ， 3 ， m } ， B ＝{1 ， m } ， A ∪ B ＝ A ，則 m ＝ ( ) A ． 0 或 3 B ． 0 或 3 C ． 1 或 3 D ． 1 或 3 [ 解析 ] B 本小題主要考查集合元素的性質(zhì)和集合的關(guān)系．解題的突破口為集合元 素的互異性和集合的包含關(guān)系． 由 A ∪ B ＝ A 得 B ? A ，所以有 m ＝ 3 或 m ＝ m . 由 m＝ m 得 m ＝ 0 或 1 ，經(jīng)檢驗， m ＝ 1 時 B ＝ {1 ， 1} 矛盾， m＝ 0 或 3 時符合，故選 B. 返回目錄 教師備用題 第 1講 集合及其運算 例 2 已知集合 A ＝ [2 ， l o g 2 t ] ，集合 B ＝ { x | x2－ 14 x ＋24 ≤ 0} ， x ， t ∈ R ，且 A ? B . ( 1 ) 對于區(qū)間 [ a ， b ] ，定義此區(qū)間的 “ 長度 ” 為 b － a ，若 A 的區(qū)間 “ 長度 ” 為 3 ，試求 t 的值； (2 ) 某個函數(shù) f ( x ) 的值域是 B ，且 f ( x ) ∈ A 的概率不小于 0 . 6 ，試確定 t 的取值范圍． 返回目錄 教師備用題 第 1講 集合及其運算 解： ( 1 ) 因為 A 的區(qū)間 “ 長度 ” 為 3 ，所以 l o g2t － 2 ＝ 3 ，即 l o g2t ＝ 5 ，所以 t ＝ 3 2 . ( 2 ) 由 x2－ 14 x ＋ 24 ≤ 0 ，得 2 ≤ x ≤ 12 ，所以 B ＝ [2 ， 1 2 ] ，所以 B 的區(qū)間 “ 長度 ” 為 1 0 . 設 A 的區(qū)間 “ 長度 ” 為 y ，因為 f ( x ) ∈ A 的概率不小于0 . 6 ， 所以y10≥ 0 . 6 ，所以 y ≥ 6 ，即 l o g2t － 2 ≥ 6 ，解得 t ≥ 28＝ 2 5 6 . 又 A ? B ，所以 l o g2t ≤ 12 ，即 t ≤ 212＝ 4 0 9 6 ，所以 t 的取值范圍為 [ 2 5 6 ， 4 0 9 6 ] ( 或 [28， 212]) ． 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 雙向固基礎 點面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 1．理解命題的概念． 2． 了解 “ 若 p， 則 q” 形式的命題及其逆命題 、 否命題與逆否命題 ， 會分析四種命題的相互關(guān)系 ． 3． 理解必要條件 、 充分條件與充要條件的意義 ． 考試大綱 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 —— 知 識 梳 理 —— 一、四種命題 1．命題：可以判斷 ______的陳述句叫做命題；就其結(jié)構(gòu)而言，命題由 ______和 ______兩部分組成；就其結(jié)果正確與否而言分為 ________和 ________． 2．命題的四種形式： 一般地，用 p和 q分別表示命題的條件和結(jié)論，用 綈 p和 綈 q 分別表示 p和 q的否定，于是四種命題的形式 就是： 原命題： 若 p，則 q； 逆命題： ____________________； 否命題： ____________________； 逆否命題： ____________________． 返回目錄 雙向固基礎 真假 條件 結(jié)論 真命題 假命題 若 q，則 p 若 綈 q ，則 綈 p 若 綈 p ，則 綈 q 原命題與逆否命題同真同假 ， 逆命題與否命題同真同假 ． 3． 四種命題的關(guān)系： 返回目錄 雙向固基礎 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 二 、 充分條件 、 必要條件與充要條件的概念 1． 如果 p?q， 則 p是 q的 ____________條件 ． 2． 如果 q?p， 則 p是 q的 ____________條件 ． 3. 如果既有 p?q又有 q?p， 記作 p?q， 則 p是 q的____________條件 ， 簡稱 ________條件 ． 返回目錄 雙向固基礎 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 充分 必要 充分且必要 充要 —— 疑 難 辨 析 —— 返回目錄 雙向固基礎 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 1 ．命題的四種形式的認識 ( 1 ) 四種形式的命題真命題的個數(shù)為 0 或 2 或4 . ( ) ( 2 ) 命題 “ 三角形的內(nèi)角和是 1 8 0 176。 ” 的否命題是“ 三角形的內(nèi)角和不是 1 8 0 176。 ” ． ( ) ( 3 ) [ 2 0 1 1 陜西卷改編 ] 設 a ， b 是向量，命題 “ 若a ＝－ b ，則 | a| ＝ |b |” 的逆命題是 “ 若 | a| ＝ |b |，則 a≠ －b ” ． ( ) ( 4 ) 命題 “ 若 x2－ 3 x ＋ 2 0 ，則 x 2 或 x 1 ” 的逆否命題是 “ 若 1≤ x ≤2 ，則 x2－ 3 x ＋ 2 ≤ 0 ” ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 ( 5 ) 命題 p ： “ 矩形的對角線相等 ” 的逆命題是 q ，則 q的否命題是：對角線不相等的四邊形不是矩形． ( ) ( 6 ) “ 空間中，相交于同一點的三條直線在同一平面內(nèi) ” 是真命題． ( ) [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) ( 3 ) ( 4 ) √ ( 5 ) √ ( 6 ) 返回目錄 雙向固基礎 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 [ 解析 ] ( 1 ) 由于四種命題中有兩組等價命題，因此在四種形式的命題中真命題的個數(shù)只能是 0 ， 2 或 4. ( 2 ) 一個命題的否命題既否定條件又否定結(jié)論，命題的否定只否定命題的結(jié)論． ( 3 ) “ 若 a ＝－ b ，則 | a | ＝ | b | ” 的逆命題是 “ 若 | a | ＝ | b | ，則 a ＝－ b ” ． ( 4 ) 根據(jù)四種命題的關(guān)系判斷． ( 5 ) 命題 q ：對角線相等的四邊形是矩形，所以 q 的否命題是：對角線不相等的四邊形不是矩形． ( 6 ) 空間中，相交于同一點的三條直線可能共面，也可能兩兩確定一個平面． 返回目錄 雙向固基礎 第 2講 命題及其關(guān)系、充分條件、必要條件 2 ．充分、必要條件的判斷 ( 1 ) 若 p 是 q 的充分不必要條件，則 綈 p 是 綈 q 的必要不充分條件． ( ) ( 2 ) 若 綈 p 是 綈 q 的必要不充分條件，則 q 是 p 的必要不充分條件． ( ) ( 3 ) [ 2 0 1 1 福建卷改編 ] 若 a ∈ R ，則 “ a ＝ 2” 是 “( a － 1 ) ( a －2) ＝ 0” 的必要而不充分條件． ( ) ( 4 ) 若 α ∈ (0 ， 2 π) ，則