【正文】 ． －15 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 思考流程 ( 1 ) 分析：若求 t a n 2 0 1 2 176。 ＝ t a n ( 1 8 0 0 176。 ＋ 32 176。 4 5 176。 角的三角函數(shù) → 銳角的三角函數(shù) ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 變式題 ( 1 ) 已知 c o s????????π6＋ α ＝33，則 c os????????5 π6－ α 的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． (2 ) 已知 f ( x ) ＝si n （ π － x ） c o s （ 2 π － x ） t a n （－ x ＋ π ）c o s????????－π2＋ x，則 f????????－31 π3的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] ( 1 ) ∵????????π6＋ α ＋5 π6－ α ＝ π ， ∴5 π6－ α ＝ π－????????π6＋ α ， ∴ c o s????????5 π6－ α ＝ c o s????????π －????????π6＋ α ＝－ c o s????????π6＋ α ＝－33，即 c o s????????5 π6－ α ＝－33. [ 答案 ] ( 1 ) － 33 ( 2 ) 32 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 ( 2 ) ∵ f ( x ) ＝si n x 178。22. ( 1 ) 當(dāng) c o s A ＝22時(shí)， c o s B ＝32， 又 A ， B 是三角形的內(nèi)角， ∴ A ＝π4， B ＝π6， ∴ C ＝ π － ( A ＋ B ) ＝712π . ( 2 ) 當(dāng) c o s A ＝－22時(shí)， c o s B ＝－32. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 又 A ， B 是三角形的內(nèi)角， ∴ A ＝34π ， B ＝56π ，不合題意． 綜上知， A ＝π4， B ＝π6， C ＝712π . 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點(diǎn)評(píng) 本題是誘導(dǎo)公式、同角三角函數(shù)關(guān)系式和方程思想的綜合應(yīng)用，由于角受三角形內(nèi)角的取值范圍的限制，不要忘記討論． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 誘導(dǎo)公式在三角形中經(jīng)常應(yīng)用，常用的變形結(jié)論有： A ＋ B ＝ π － C ； 2 A ＋ 2 B ＋ 2 C ＝ 2 π ；A2＋B2＋C2＝π2. ② 求角時(shí)， 一般先求出該角的某一三角函數(shù)值，再確定該角的范圍，最后求角． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 變式題 若 A ， B ， C 為 △ AB C 的三個(gè)內(nèi)角，則 下列等式中正確的有 ( ) ① si n ( B ＋ C ) ＝ si n A ； ② c o s ( B ＋ C ) ＝ c o s A ； ③ t a n ( B ＋ C ) ＝t a n A ； ④ t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n 2 A ； ⑤ c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s 2 A ； ⑥si n????????A2＋B2＝ c o sC2. A ． 1 個(gè) B ． 2 個(gè) C ． 3 個(gè) D ． 4 個(gè) [ 答案 ] C 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] s i n ( B ＋ C ) ＝ s i n ( π － A ) ＝ s i n A ， ① 正確． c o s ( B ＋C ) ＝ c o s ( π － A ) ＝－ c o s A ， ② 錯(cuò)誤． t a n ( B ＋ C ) ＝ t a n ( π － A )＝－ t a n A ， ③ 錯(cuò)誤． t a n (2 B ＋ 2 C ) ＝ t a n (2 π － 2 A ) ＝－ t a n 2 A ，④ 錯(cuò) 誤． c o s (2 B ＋ 2 C ) ＝ c o s (2 π － 2 A ) ＝ c o s2 A ， ⑤ 正確． si n????????A2＋B2＝ si nπ － C2＝ c osC2， ⑥ 正確．故選 C. 易錯(cuò)究源 6 因忽視角的范圍致誤 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 已知 s i n (2 α － β ) ＝35， si n β ＝－1213，且 α ∈????????π2， π ，β ∈????????－π2， 0 ，求 s in α 的值． 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 錯(cuò)解 由 si n (2 α － β ) ＝35，得 c o s (2 α － β ) ＝ 177。513－35179。????????－1213＝5665. 又 c o s2 α ＝ 1 － 2 si n2α ， ∴ si n2α ＝91 3 0. 又 α ∈????????π2， π ， ∴ si n α ＝3 1 3 01 3 0. 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 自我檢評(píng) ( 1 ) [ 2 0 1 2 天津河?xùn)|區(qū)模擬 ] 已知 α 是三角形的內(nèi)角，且 s i n α ＋ c o s α ＝15. ( 1 ) 求 t a n α 的值； ( 2 ) 把1c o s2α － s i n2α用 t a n α 表示出來(lái)，并求其值． 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 解： ( 1 ) 方法一：聯(lián)立方程組 ?????si n α ＋ c o s α ＝15， ①si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， ② 由 ① 得 c o s α ＝15－ si n α ，將其代入 ② ， 整理得 25 si n2α － 5 si n α － 12 ＝ 0 . ∵ α 是三角形內(nèi)角， ∴ s i n α 0 ， ∴?????si n α。 ( s i n 2 － c o s2 ) D ． si n 2 ＋ c o s2 返回目錄 多元提能力 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 答案 ] ( 1 ) A (2 ) A [ 解析 ] ( 1 ) ∵ s i n θ ＋ c o s θ ＝15， ∴ 2 s i n θ c o s θ ＝－2425， θ ∈????????π2，3 π4， ∴2 si n θ c o s θsi n2θ ＋ c o s2θ＝－2425， ∴2 t a n θt a n2θ ＋ 1＝－2425， ∴ 1 2 t a n2θ ＋ 25 t a n θ ＋ 12 ＝ 0 ， 根據(jù)角的范圍得到 t a n θ ＝－43. ( 2 ) 1 － 2 si n ( π ＋ 2) c o s ( π ＋ 2) ＝ s i n22 ＋ c o s22 － 2 s i n 2 c o s 2 ＝( si n 2 － c o s 2 )2， ∵π22 2 π3， ∴ si n 2 － c o s 2 0 . 故選 A. 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 備選理由 例 1 對(duì)于 si n α co s α ， si n α ＋ co s α ， s i n α －co s α ，借助同角三角函數(shù)的平方關(guān)系可知一求二，是對(duì)探究點(diǎn)一和二的補(bǔ)充；例 2 對(duì)題中的角含有 k π 177。 s i n β ＝45179。 si n β ＝ 177。 （－ t a n x ）si n x＝－ c o s x 178。 1 . ∴ 選 B. ( 2 ) ∵ si n ( π － α ) ＝－ 2 si n????????π2＋ α ，∴?????si n α ＝－ 2 c o s α ，si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， ∴ ( si n α c o s α )2＝425. 又 si n α c o s α ＜ 0 ， ∴ s i n α c o s α ＝－25. 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 點(diǎn)評(píng) 熟練運(yùn)用誘導(dǎo)公式和基本關(guān)系式，并確定相應(yīng)三角函數(shù)值的符號(hào)是解題成敗的關(guān)鍵．觀察已知角與所求角之間的關(guān)系，合理選用誘導(dǎo)公式，將不同名的化為同名，將不同角的化為同角． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 歸納總結(jié) ① 應(yīng)用誘導(dǎo)公式，重點(diǎn)是 “ 函數(shù)名稱 ” 與 “ 正負(fù)號(hào) ” 的正確判斷．求任意角的三角函數(shù)值的問(wèn)題，都可以通過(guò)誘導(dǎo)公式 化為銳角三角函數(shù)的求值問(wèn)題． ② 將任意角的三角函數(shù)化為銳角三角函數(shù)的流程：任意角的三角函數(shù) → 任意正角的三角函數(shù) → 0 176。 ， 又 30 176。 ) ＝ t a n 2 1 2 176。 變?yōu)殇J角，和特殊角比較大小，利用特殊角的函數(shù)值得出范圍 ；推理：利用誘導(dǎo)公式 t a n ( α ＋ k 深圳調(diào)研 ] t a n 2 0 1 2 176。 c o s α )2＝1 177。 ( 3) 179。 c o s θ ＝－34，由 s i n θ 178。 α的正弦、余弦、正切的誘導(dǎo)公式． 考試大綱 一、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系 1 ． 平方關(guān)系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其等價(jià)形式為：si n2α ＝ 1 － co s2α ， co s2α ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 2 ． 商數(shù)關(guān)系： _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ，其等價(jià)形式為： s i nα ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ ， co s α ＝si n αt a n α. 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 —— 知 識(shí) 梳 理 —— 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) si n 2 α ＋ co s 2 α ＝ 1 1 － s i n 2 α t a n α ＝ sin αco s α t a n α co s α 二 、 六組誘導(dǎo)公式 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 組數(shù) 一 二 三 四 五 六 角 2kπ＋ α (k∈ Z) π＋ α － α π－ α － α ＋ α 正弦 sinα ______ ______ sinα ______ ______ 余弦 cosα ___