【正文】 用題 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 2 等腰梯形 AB C D 的兩底分別為 AD ＝ 2 a ， BC＝ a ， ∠ BAD ＝ 45 176。a2(2 a ＋ a ) －12(2 a － x )2 ＝3 a24－12(4 a2－ 4 ax ＋ x2) ＝－12x2＋ 2 ax －5 a24????????32a x ≤ 2 a . 綜上： y ＝????????? 12x2， x ∈ 0 ，a2，12ax －a28， x ∈a2，32a ，－12x2＋ 2 ax －5 a24， x ∈32a ， 2 a . 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 雙向固基礎(chǔ) 點(diǎn)面講考向 多元提能力 教師備用題 返回目錄 返回目錄 理解函數(shù)的單調(diào)性、最大 （ 小 ） 值及其幾何意義． 考試大綱 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 —— 知 識(shí) 梳 理 —— 一、函數(shù)的單調(diào)性及性質(zhì) 1．定義： 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 增函數(shù) 減函數(shù) 定義 設(shè)函數(shù) f(x)的定義域?yàn)?I，如果對(duì)于定義域 I內(nèi)某個(gè)區(qū)間 D上的任意兩個(gè)自變量的值 x1， x2 當(dāng) x1x2時(shí)，都有 _________，那么就說(shuō)函數(shù) f(x)在區(qū)間 D上是增函數(shù) 當(dāng) x1x2時(shí)，都有 _________，那么就說(shuō)函數(shù) f(x)在區(qū)間 D上是減函數(shù) 圖象 描述 自左向右看圖象是 ________ 自左向右看圖象是 ________ f(x1)f(x2) f(x1)f(x2) 逐漸上升 逐漸下降 ：若函數(shù) y＝ f(x)在區(qū)間 D上是________或 ________，則稱函數(shù) y＝ f(x)在這一區(qū)間上具有單調(diào)性， ________叫做 y＝ f(x)的單調(diào)區(qū)間． 3． 單調(diào)性的判斷方法： (1)定義法 (作差比較法和作商比較法 )：在區(qū)間 D上，函數(shù)值 y隨 x的增大而增大，則函數(shù)在區(qū)間 D上為 ________；函數(shù)值 y隨 x的增大而減小，則函數(shù)在區(qū)間 D上為_(kāi)_______． (2)圖象法：在區(qū)間 D上，如果函數(shù)的圖象從左向右是上升的，則函數(shù)在區(qū)間 D上為 ________；如果函數(shù)的圖象從左向右是下降的，則函數(shù)在區(qū)間 D上為 ________． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 增函數(shù) 減函數(shù) 區(qū)間 D 增函數(shù) 減函數(shù) 增函數(shù) 減函數(shù) (3)導(dǎo)數(shù)法：已知函數(shù) y＝ f(x)在某區(qū)間 D內(nèi)可導(dǎo) ， 若f′(x)0， 則函數(shù) y＝ f(x)為區(qū)間 D上的 ________；若 f′(x)0，則函數(shù) y＝ f(x)為區(qū)間 D上的 ________． (4)利用函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)：如果 f(x)， g(x)為增函數(shù) ，則 ① f(x)＋ g(x)為增函數(shù)； ② 為減函數(shù) (f(x)0)； ③ 為增函數(shù) (f(x)≥0)； ④ f(x) ( 2 ) 179。 ( 2 ) √ [ 解析 ] ( 1 ) 3x0 得 3x＋ 1 1 ，所以 l o g 2 (3x＋ 1 ) l o g 2 1＝ 0 ，即 f ( x ) 0 ，所以 0 不是最小值． ( 2 ) 由 y ＝1 － x21 ＋ x2 ，得 x2＝1 － y1 ＋ y≥ 0 ，解得－ 1 y ≤ 1. 所以函數(shù)的最大值為 1. 說(shuō)明： A表示簡(jiǎn)單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 考點(diǎn)統(tǒng)計(jì) 題型 (考頻 ) 題型示例 (難度 ) 選擇 (2) 2020年安徽 T13(B)， 2020年山東 T15(B) 0 0 的最值 填空 (1) 2020年課標(biāo) T16(C) ? 探究點(diǎn)一 函數(shù)單調(diào)性的判斷及應(yīng)用 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 例 1 討論 f ( x ) ＝ ax＋ a－ x( a 0 ，且 a ≠ 1 ) 在 (0 ，＋ ∞) 上的單調(diào)性． 思考流程 條件：依據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義，任取 0 x 1 x 2 ；目標(biāo)：判斷 f ( x 1 ) － f ( x 2 ) 的符號(hào)；方法：對(duì) f ( x 1 ) － f ( x 2 ) 進(jìn)行因式分解，分 a 1 和 0 a 1 判斷符號(hào)． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 解： 任取 x1， x2∈ (0 ，＋ ∞ ) ，且 x1 x2，則 f ( x2) － f ( x1) ＝ ( a x2＋ a － x2) － ( a x1＋ a － x1) ＝ ( ax2－ a x1) ＋ ( a － x2－ a － x1) ＝ a x2－ a x1＋ax1－ a x2ax1ax2＝（ a x2－ a x1）（ a x1＋ x2－ 1 ）a x1＋ x2. 因?yàn)?0 x1 x2，所以 x1＋ x20 ，所以 a x1＋ x20 ， ( 1 ) 當(dāng) a 1 時(shí)， a x2 ax1， a x2－ a x10 ， a x1＋ x2＞ a0＝ 1 ， a x1＋ x2－ 1 0 ， 所以 f ( x2) － f ( x1) 0 ， f ( x2) f ( x1) ； ( 2 ) 當(dāng) 0 a 1 時(shí)， a x2 ax1， a x2－ a x10 ， 0 ax1＋ x2 a0＝ 1 ， a x1＋ x2－ 1 0 ， 所以 f ( x2) － f ( x1) 0 ， f ( x2) f ( x1) ． 綜上所述，對(duì)于任何 a 0 且 a ≠ 1 ，均有 f ( x2) f ( x1) ． 所以 f ( x ) 在 (0 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 點(diǎn)評(píng) 用定義證明函數(shù)的單調(diào)性，要嚴(yán)格按照定義的步驟來(lái)進(jìn)行，其中關(guān)鍵的一步是對(duì) f ( x 2 ) － f ( x 1 ) 作變形，變形的目的是能夠判斷 f ( x 2 ) － f ( x 1 ) 的符號(hào)，常用的變形方法有： ( 1 ) 多項(xiàng)式因式分解或配方； ( 2 ) 分式通分后分子、分母因式分解； ( 3 ) 根式有理化； ( 4 ) 冪、指數(shù)、對(duì)數(shù)要運(yùn)用各自的運(yùn)算法則． 歸納總結(jié) ①函數(shù)的單調(diào)性只在定義域內(nèi)討論，可以是整個(gè)定義域，也可以是定義域的某個(gè)子區(qū)間；如果一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間上是單調(diào)的，那么在這個(gè)區(qū)間的子區(qū)間上也是單調(diào)的． ② 判斷函數(shù)單調(diào)性的方法有：定義法 ， 圖象法 ， 導(dǎo)數(shù)法 ， 利用已知函數(shù)的單調(diào)性 ． 證明函數(shù)的單調(diào)性的方法有：定義法 ， 導(dǎo)數(shù)法 ． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 變式題 討論函數(shù) f ( x ) ＝axx － 1 ( a ≠ 0 ) 在 ( － 1 ， 1) 上的單調(diào)性． 解： 設(shè)－ 1 x1 x21 ， f ( x ) ＝a （ x － 1 ＋ 1 ）x － 1＝ a????????1 ＋1x － 1， f ( x1) － f ( x2) ＝ a????????1 ＋1x1－ 1－ a????????1 ＋1x2－ 1 ＝a （ x2－ x1）（ x1－ 1 ）（ x2－ 1 ）. 當(dāng) a 0 時(shí)， f ( x1) － f ( x2) 0 ，即 f ( x1) f ( x2) ， 函數(shù) f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上遞減； 當(dāng) a 0 時(shí)， f ( x1) － f ( x2) 0 ，即 f ( x1) f ( x2) ， 函數(shù) f ( x ) 在 ( － 1 ， 1) 上遞增． ? 探究點(diǎn)二 求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 例 2 求出下列函數(shù)的單調(diào)區(qū)間： ( 1 ) f ( x ) ＝ | x 2 － 4 x ＋ 3| ； ( 2 ) f ( x ) ＝ l o g 2 ( x 2 － 1) ． 思考流程 ( 1 ) 條件：帶絕對(duì)值的二次函數(shù)；目標(biāo)：求出單調(diào)區(qū)間；方法：去掉絕對(duì)值，化為分段函數(shù)，作出圖象，觀察得出單調(diào)區(qū)間． ( 2 ) 條件：二次函數(shù)與對(duì)數(shù)函數(shù)復(fù)合而成的函數(shù)；目標(biāo)：求 出單調(diào)區(qū)間；方法：求出函數(shù)定義域，在定義域內(nèi)求出 y＝ x2－ 1 的單調(diào)區(qū)間，再根據(jù)復(fù)合函數(shù)的單調(diào)區(qū)間的求法求出 f ( x ) 的單調(diào)區(qū)間． 返回目錄 點(diǎn)面講考向 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 解： ( 1 ) 先作出函數(shù) y ＝ x2－ 4 x ＋ 3 的圖象，由于絕對(duì)值的作用，把 x 軸下方的部分翻折到上方，可得函數(shù) y ＝| x2－ 4 x ＋ 3| 的圖象．如圖所示． 由圖可知， f ( x ) 在 ( － ∞ ， 1) 和 (2 ， 3] 上為減函數(shù)，在[1 ， 2] 和 (3 ，＋ ∞ ) 上為增函數(shù)，故 f ( x ) 的增區(qū)間為 [1 ， 2] ，(3 ，＋ ∞ ) ，減區(qū)間為 ( － ∞ ， 1) ， ( 2 ， 3] ． 返回目錄 點(diǎn)。 江蘇卷改編 ] 函數(shù) f ( x ) ＝ l o g 5 (2 x ＋ 1) 的單調(diào)增區(qū)間是 (0 ，＋ ∞) ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 [ 解析 ] (1) 函數(shù) y ＝ | x ＋ 1| 的遞增區(qū)間是 [ － 1 ，＋ ∞ ) ，雖然函數(shù) y ＝ | x ＋ 1| 在 [1 ，＋ ∞ ) 上是增函數(shù)，但 [1 ，＋ ∞ )不是該函數(shù)的遞增區(qū)間． (2) 當(dāng) 2 x ＋ 1 0 ，即 x －12時(shí)，函數(shù)遞增，所以函數(shù) f ( x )＝ log 5 (2 x ＋ 1) 的單調(diào)增區(qū)間是 （ －12，＋ ∞ ） . 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 5講 函數(shù)的單調(diào)性與最值 3 ．抽象函數(shù)單調(diào)性 ( 1 ) 函數(shù) y ＝ f ( x ) 在 R 上是增函數(shù)，則函數(shù) y ＝ f ( － x ) 在R 上是減函數(shù)． ( ) ( 2 ) 函數(shù) f ( x ) ＝－ x2在 [0 ，＋ ∞) 上是減函數(shù)，則 y ＝ f (2 x－ 3) 在 [0 ，＋ ∞) 上也是減函數(shù)． ( ) [ 答案 ] ( 1 ) √ ( 2 ) 179。 ( 2 ) √ ( 3 ) 179。 . ∴ MN ＝ x . ∴ y ＝ S △A MN＝12x2????????0 ≤ x ≤a2. ( 2 ) 當(dāng) M 位于 H ， G 之間時(shí)，由于 AM ＝ x ， ∴ MN ＝a2， BN ＝ x －a2. ∴ y ＝ S 直角梯形A MN B＝12178。天津卷 ] 對(duì)實(shí)數(shù) a 和 b ，定義運(yùn)算 “ ? ” ； a ? b＝?????a ， a － b ≤1 ，b ， a － b 1