【正文】 昆明模擬 ] 已知 si n θ ＋ c o s θ ＝15， θ ∈ (0 ， π ) ，則 t a n θ 的值為 ( ) A ． －43 B ． －34 C.43或－43 D ． －43或－34 ( 2 ) 化簡 1 － 2 si n （ π ＋ 2 ） c o s （ π ＋ 2 ） 等于 ( ) A ． si n 2 － c o s2 B ． c o s 2 － s i n 2 C ．177。45，由 si nβ ＝－1213知， c o s β ＝513， ∴ c o s 2 α ＝ c o s [ ( 2 α － β ) ＋ β ] ＝ c o s (2 α － β ) c o s β － si n (2 α－ β ) ， ∴33t a n 3 2 176。 ＋ 2 1 2 176。 3＝－ 2 － 3 . [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) A 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 ( 2 ) 由si n α ＋ 3 c o s α3 c o s α － si n α＝ 5 ，得t a n α ＋ 33 － t a n α＝ 5 ，解得 t a n α＝ 2. 所以 s i n2α － si n α c o s α ＝si n2α － s i n α c o s αsi n2α ＋ c o s2α＝t a n2α － t a n αt a n2α ＋ 1＝25. ? 探究點二 誘導(dǎo)公式及應(yīng)用 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 例 2 ( 1 ) [ 2 0 1 2 ( 2 ) 179。 α， π177。江西卷 ] 已知角 θ 的頂點為坐標(biāo)原點，始邊為 x 軸的正半軸，若 P (4 ， y ) 是角 θ 終邊上一點，且 s i nθ ＝－2 55，則 y ＝ __ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 錯解 因 P (4 ， y ) 是角 θ 終邊上一點，且 si n θ ＝－2 55 ，∴ si n θ ＝ y ＝－2 55 . [ 錯因 ] 題中 P 點不在單位圓上，不能直接用定義表示sin θ . 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 正解 ] 若角 α 終邊上任意一點 P ( x ， y ) ， | OP |＝ r ，則si n α ＝y(tǒng)r， c o s α ＝xr， t an α ＝y(tǒng)x. P (4 ， y ) 是角 θ 終邊上一點，由三角函數(shù)的定義知 s i n θ ＝y(tǒng)16 ＋ y2，又 si n θ ＝－2 55， ∴y16 ＋ y2＝－2 55，解得 y ＝－ 8. 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 自我檢評 ( 1) 角 α 終邊過點 P ( － 1 ， 2) ，則 s i n α 等于( ) A.55 B.2 55 C ． －55 D ． －2 55 ( 2 ) 點 M ( x ， y ) 在角 α 的終邊上， 若 3 si n α － c o s α ＝ 0 ，則 x ， y 所滿足的關(guān)系是 ( ) A ． x ＋ 3 y ＝ 0 B ． x － 3 y ＝ 0 C . 3 x ＋ y ＝ 0 D. 3 x － y ＝ 0 返回目錄 多元提能力 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 答案 ] ( 1 ) B ( 2 ) B [ 解析 ] ( 1) 由 r ＝ | OP |＝ （－ 1 ）2＋ 22＝ 5 ，得 si n α ＝25＝2 55， ∴ 選 B. ( 2 ) 由 3 si n α － c o s α ＝ 0 得 t a n α ＝33，所以yx＝33，即 x－ 3 y ＝ 0. 故選 B. 備選理由 例 1是對探究點二的拓展；例 2補充角所在的象限與角的三角函數(shù)值的符號之間的關(guān)系． 返回目錄 教師備用題 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 返回目錄 教師備用題 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 例 1 已知角 α 終邊上一點 P 到 x 軸的距離和到 y 軸的距離之比為 3 ∶ 4 ，求 2 si n α ＋ co s α 的值． 返回目錄 教師備用題 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 解： 由已知，點 P 到 x 軸的距離和到 y 軸的距離之比為 3 ∶ 4 ，不妨設(shè) | OP |＝ 5. 若角 α 終邊在第一象限，則 P (4 ， 3) ， 2 si n α ＋ c o s α ＝ 2 179。＝ t a n 2 0 176。 ( 2 ) [ 2 0 1 2 課程標(biāo)準(zhǔn)卷 ] 已知角 θ 的頂點與原點重合，始邊與 x 軸的正半軸重合，終邊在直線 y ＝ 2 x 上 ，則 c o s 2 θ ＝( ) A ． －45 B ． －35 C. 35 D. 45 ( 2 ) [ 2 0 1 2 ( 2 ) 179。 ＋ 90 176。 3 6 0 176。 1 8 0176。3 6 0 176。 的角 } ， B ＝ { 第一象限角 } ，則 A ∩ B ＝ { α |0 176。 ～ 89 176。 1 8 0 176。 ( 3 ) 179。 MP ＝12si n α . ，扇形 O AP 的面積＝12l 178。 B ． 70 176。＝2 si n 2 0 176。4 － 2 rr178。 co s θ ， 2 co s θ ) 位于第三象限，試判斷角 θ 的終邊所在的象限； ( 2 ) 若 θ 是第二象限角，則si n （ co s θ ）co s （ si n 2 θ ）的符號是什么？ 返回目錄 教師備用題 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 解： ( 1 ) 因為點 P 在第三象限， ∴ s i n θ 178。 c o s θ ＝－34，由 s i n θ 178。 c o s α )2＝1 177。 變?yōu)殇J角，和特殊角比較大小，利用特殊角的函數(shù)值得出范圍 ；推理：利用誘導(dǎo)公式 t a n ( α ＋ k ， 又 30 176。 （－ t a n x ）si n x＝－ c o s x 178。 s i n β ＝45179。天津河?xùn)|區(qū)模擬 ] 已知 α 是三角形的內(nèi)角，且 s i n α ＋ c o s α ＝15. ( 1 ) 求 t a n α 的值； ( 2 ) 把1c o s2α － s i n2α用 t a n α 表示出來，并求其值． 返回目錄 教師備用題 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 解： ( 1 ) 方法一：聯(lián)立方程組 ?????si n α ＋ c o s α ＝15， ①si n2α ＋ c o s2α ＝ 1 ， ② 由 ① 得 c o s α ＝15－ si n α ，將其代入 ② ， 整理得 25 si n2α － 5 si n α － 12 ＝ 0 . ∵ α 是三角形內(nèi)角， ∴ s i n α 0 ， ∴?????si n α。513－35179。 角的三角函數(shù) → 銳角的三角函數(shù) ． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 變式題 ( 1 ) 已知 c o s????????π6＋ α ＝33，則 c os????????5 π6－ α 的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． (2 ) 已知 f ( x ) ＝si n （ π － x ） c o s （ 2 π － x ） t a n （－ x ＋ π ）c o s????????－π2＋ x，則 f????????－31 π3的值為 _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 [ 解析 ] ( 1 ) ∵????????π6＋ α ＋5 π6－ α ＝ π ， ∴5 π6－ α ＝ π－????????π6＋ α ， ∴ c o s????????5 π6－ α ＝ c o s????????π －????????π6＋ α ＝－ c o s????????π6＋ α ＝－33，即 c o s????????5 π6－ α ＝－33. [ 答案 ] ( 1 ) － 33 ( 2 ) 32 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 ( 2 ) ∵ f ( x ) ＝si n x 178。 ＋ 32 176。太原模擬 ] 已知 s in ( π － α ) ＝－ 2 si n????????π2＋ α ，則si n α c o s α 等于 ( ) A.25 B ． －25 C.25或－25 D ． －15 返回目錄 點面講考向 第 17講 同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式與誘導(dǎo)公式 思考流程 ( 1 ) 分析：若求 t a n 2 0 1 2 176。????????π2177。 ( 4 ) 179。????????－35＋????????－45＝－ 2 ； 若角 α 終邊在第四象 限，則 P (4 ，－ 3) ， 2 si n α ＋ co s α ＝ 2 179。42（ 2 ＋ |α |）2＝84|α |＋ 4 ＋ |α |≤84 ＋ 24|α |＝si n 40 176。 ， c o s 5 0 176。????????－12＝－1. y ＝ | OP | si n23π ＝ 2 179。 ， k ∈ Z . [ 答案 ] ( 1 ) 179。 3 6 0 176。 的整數(shù)倍． ( 3 ) 因為小于 90 176。 ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ r a d ， 1 r a d ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 3 ． 扇形的弧長公式： l ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ，扇形的面積公 式： S ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ ． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) 半徑 π180 π ????????180π 176。 ＝ _ _ _ _ _ _ _ _ r a d ， 1 176。 ， k ∈ Z } ． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 16講 任意角和弧度制及任意角的三角函數(shù) [ 解析 ] ( 1 ) ∵ 將表的分針撥快 10 分鐘，是順時針轉(zhuǎn)， ∴分針轉(zhuǎn)過的角度是－π3. ( 2 ) 終邊相同的角有無數(shù)個，它們之間相 差 3 6 0 176。 ＋ k 9 0 176。