【正文】 2 ．求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間 ( 1 ) 函數(shù) y ＝ | x ＋ 1| 在 [1 ，＋ ∞) 上是增函數(shù)，所以函數(shù)的遞增區(qū)間是 [1 ，＋ ∞) ． ( ) ( 2 ) [ 2 0 1 1 ，作直線 MN ⊥ AD 交 AD 于 M ，交折線 AB C D 于 N ，記 AM ＝ x ，試將梯形 AB C D 位于直線 MN左側(cè)的面積 y 表示為 x 的函數(shù)，并寫出函數(shù)的定義域． 返回目錄 教師備用題 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 解： 作 BH ⊥ AD ， H 為垂足， CG ⊥ AD ， G 為垂足， 依題意，則有 AH ＝a2， AG ＝32a . ( 1 ) 當(dāng) M 位于點 H 的左側(cè)時， N 在 AB 上，由于 AM ＝ x ，∠ BAD ＝ 45 176。 江西卷 ] 下列函數(shù)中，與函數(shù) y ＝13x定義域相同的函數(shù)為 ( ) A ． y ＝1si n x B ． y ＝ln xx C ． y ＝ x ex D ． y ＝si n xx 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 根據(jù)函數(shù) f ( x ) ＝1x ＋ 1，函數(shù) f ( f ( x )) 中的 x需同時滿足 x ＋ 1 ≠ 0 且 f ( x ) ＋ 1 ≠ 0 ，即 x ≠ － 1 且1x ＋ 1＋1 ≠ 0 ，即 x ≠ － 1 且 x ≠ － 2. 故選 C. ( 2 ) 函數(shù) y ＝13x的定義域為 { x | x ≠ 0} ． y ＝1si n x的定義域為 { x | x ≠ k π ， k ∈ Z } ， y ＝ln xx的定義域為 { x | x 0 } ， y ＝ x ex的定義域為 R ， y ＝si n xx的定義域為 { x | x ≠ 0} ，故選 D. [ 答案 ] ( 1 ) C ( 2 ) D 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 3 ( 1 ) 函數(shù) y ＝3 x ＋ 1x － 2的值域是 ( ) A ． { y ∈ R | y ≠ 3 } B ． { y ∈ R | y ≠ － 3} C ． { y ∈ R | y ≥3 } D ． { y ∈ R | y ≥ － 3} ( 2 ) 函數(shù) y ＝ x ＋ 4 1 － x 的值域是 ( ) A ． ( － ∞ ，－ 5 ) B ． ( － ∞ ， 5) C ． ( － ∞ ，－ 5 ] D ． ( － ∞ ， 5] 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 思考流程 ( 1 ) 分析：將函數(shù)不等式變形，使求值域變得容易；推理：將分子化為常數(shù)；結(jié)論：利用1x≠ 0 得到結(jié)論． ( 2 ) 分析：考慮換元法；推理：令 t ＝ 1 － x ≥ 0 ，將函數(shù)化為二次函數(shù)；結(jié)論：利用配方法求值域． [ 答案 ] ( 1 ) A ( 2) D 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) y ＝3 x ＋ 1x － 2＝3 （ x － 2 ）＋ 7x － 2＝ 3 ＋7x － 2， 因為7x － 2≠ 0 ，所以 3 ＋7x － 2≠ 3 ， ∴ 函數(shù) y ＝3 x ＋ 1x － 2的值域為 { y ∈ R | y ≠ 3} ．故 選 A . ( 2 ) 換元法：設(shè) t ＝ 1 － x ≥ 0 ，則 x ＝ 1 － t2， ∴ 原函數(shù)可化為 y ＝ 1 － t2＋ 4 t ＝－ ( t － 2)2＋ 5( t ≥ 0) ，∴ y ≤ 5 ， ∴ 原函數(shù)值域為 ( － ∞ ， 5] ． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 點評 ( 1 ) 利用分式 ax ≠ 0 ( a ≠ 0) 求值域． ( 2 ) 用換元法將原函數(shù)變成二次函數(shù)求值域． 歸納總結(jié) 新課標(biāo)高考對求函數(shù)的值域的要求降低了很多，高考的重點在基本初等函數(shù)的性質(zhì)上，因此，我們只需掌握基本初等函數(shù)的值域的求法，如二次函數(shù)的值域，指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)的值域以及常用的求值域的方法，如利用函數(shù)單調(diào)性、基本不等式、配方法、換元法求值域等． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 變式題 ( 1 ) 函數(shù) y ＝ 3 x2－ x ＋ 2( x ∈ [1 ， 3 ] ) 的值域是_ _ _ _ _ _ _ _ ． ( 2 ) 函數(shù) y ＝ x ＋1x － 1( x 1) 的值域是 _ _ _ _ _ _ _ _ ． [ 答案 ] ( 1 ) [ 4 ， 26] ( 2 ) [ 3 ，＋ ∞ ) 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 函數(shù) y ＝ 3 x2－ x ＋ 2 在 x ∈ [1 ， 3] 上單調(diào)遞增， ∴ 當(dāng) x ＝ 1 時，函數(shù)有最小值為 4 ；當(dāng) x ＝ 3 時，函數(shù)有最大值為 26 ， ∴ 函數(shù) y ＝ 3 x2－ x ＋ 2( x ∈ [1 ， 3 ] ) 的值域為 [4 ， 2 6 ] ． ( 2 ) y ＝ x ＋1x － 1＝ x － 1 ＋1x － 1＋1 ≥ 2 （ x － 1 ） 1 ．函數(shù)的概念與函數(shù)值的求解 已知函數(shù) f ( x ) ＝ l g ( x － 1) ， g ( x ) ＝x2－ 1x ＋ 1，則 ( 1 ) f ( 10 ＋ 1) ＝12， g ( f ( 1 1 ) ) ＝ 0 . ( ) ( 2 ) h ( x ) ＝ l g | x － 1| 與 f ( x ) 相同， k ( x ) ＝ （ 1 － x ）2與 g ( x ) 相同． ( ) 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) f ( 10 ＋ 1) ＝ lg ( 10 ) ＝12， f ( 1 1 ) ＝ l g 1 0 ＝ 1 ，g ( f ( 1 1 ) ) ＝ g ( 1 ) ＝ 0. ( 2 ) h ( x ) 與 f ( x ) 定義域不同，不是同一個函數(shù)， k ( x ) 與g ( x ) 定義域不同，不是同一個函數(shù)． 返回目錄 雙向固基礎(chǔ) 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 答案 ] ( 1 ) 179。 ( 2 ) √ [ 解析 ] ( 1 ) f ( x ＋ 1) ＝ 2( x ＋ 1)2＋ ( x ＋ 1) － 1 ＝ 2 x2＋ 5 x ＋ 2. ( 2 ) 令 t ＝ x － 1 ≥ － 1 ，則 x ＝ ( t ＋ 1) 2 ≥ 0 ，所以 f ( t ) ＝ ( t＋ 1)2，即 f ( x ) ＝ ( x ＋ 1)2( x ≥ － 1) ． 說明： A表示簡單題， B表示中等題， C表示難題，考頻分析 2020年課標(biāo)地區(qū)真題卷情況． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 考點統(tǒng)計 題型 (考頻 ) 題型示例 (難度 ) 數(shù)值的求解 0 、值域的求法 選擇 (2) 2020年江西 T3(A)， 2020年江西 T3(A) 及其應(yīng)用 選擇 (2) 填空 (1) 2020年陜西 T11(A)， 2020年福建 T9(B)， 2020年江西 T3(A) 0 ? 探究點一 函數(shù)的概念與函數(shù)值的求解 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 1 ( 1 ) 給出四個命題： ① 函數(shù)是其定義域到值域的映射； ② f ( x ) ＝ x － 3 ＋ 2 － x 是函數(shù)； ③ 函數(shù) y ＝ 2 x ( x ∈ N ) 的圖象是一條直線； ④ f ( x ) ＝x2x與 g ( x ) ＝ x 是同一個函數(shù)． 其中正確的有 ( ) A ． 1 個 B ． 2 個 C ． 3 個 D ． 4 個 ( 2 ) 下列對應(yīng)法則 f 為 A 上的函數(shù)的個數(shù)是 ( ) ① A ＝ Z ， B ＝ N ＋ ， f ： x → y ＝ x2； ② A ＝ Z ， B ＝ Z ， f ： x → y＝ x ； ③ A ＝ [ － 1 ， 1] ， B ＝ { 0 } ， f ： x → y ＝ 0. A ． 0 B ． 1 C ． 2 D ． 3 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 思考流程 ( 1 ) 分析：首先要了解函數(shù)的定義、函數(shù)的三要素等概念；推理：利用函數(shù)的相關(guān)概念對命題逐一判斷；結(jié)論 ：得出結(jié)論． ( 2 ) 分析：熟悉函數(shù)的定義；推理：根據(jù)函數(shù)的定義判斷，注意與映射的區(qū)別和聯(lián)系；結(jié)論：得出結(jié)論． [ 答案 ] ( 1 ) A ( 2 ) B 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 由函數(shù)的定義知 ① 正確． ② 中滿足 f ( x ) ＝x － 3 ＋ 2 － x 的 x 不存在，所以 ② 不正確． ③ 中 y ＝ 2 x ( x ∈ N )的圖象是一條直 線上的一群孤立的點，所以 ③ 不正確． ④ 中f ( x ) 與 g ( x ) 的定義域不同， ∴④ 也不正確．故選 A. ( 2 ) 對于 ① ，當(dāng) 0 ∈ A 時， y ＝ 0 ? B ，故 ① 所給的對應(yīng)法則不是 A 到 B 的映射，當(dāng)然它不是 A 上的函數(shù)關(guān)系；對于 ② ，當(dāng) 2 ∈ A 時， y ＝ 2 ? B ，故 ② 所給的對應(yīng)法則不是 A 到 B 的映射，當(dāng)然它不是 A 上的函數(shù)關(guān)系；對于 ③ ，對于 A 中的任一個數(shù)，按照對應(yīng)法則，在 B 中都有唯一元素 0 和它對應(yīng)，故 ③ 所給的對應(yīng)法則是 A 到 B 的映射，這兩個數(shù)集之間的關(guān)系是集合 A 上的函數(shù)關(guān)系． 點評 本題的判斷是在熟悉函數(shù)的概念基礎(chǔ)上進(jìn)行的，判斷是不是函數(shù)，要看函數(shù)的三要素；判斷兩個函數(shù)是不是同一個函數(shù)，要看其定義域和對應(yīng)關(guān)系是否分別相同． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 歸納總結(jié) ①判斷一個對應(yīng)是否為映射，關(guān)鍵看是否滿足 “ 集合 A中元素的任意性，集合 B中元素的唯一性 ” ． ②判斷一個對應(yīng) f： A→B是否為函數(shù)，一看是否為映射；二看 A， B是否為非空數(shù)集．若是函數(shù)，則 A是定義域，而值域是 B的子集． ③函數(shù)的三要素中，若定義域和對應(yīng)關(guān)系相同，則值域一定相同．因此判斷兩個函數(shù)是否相同，只需判斷定義域、對應(yīng)關(guān)系是否分別相同． 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 變式題 ( 1 ) 下列各組函數(shù)中，表 示同一個函數(shù)的是( ) A ． y ＝x2－ 1x － 1與 y ＝ x ＋ 1 B ． y ＝ lg x 與 y ＝12lg x2 C ． y ＝ x2－ 1 與 y ＝ x － 1 D ． y ＝ x 與 y ＝ l o gaax( a 0 且 a ≠ 1 ) 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 (2) 在下列圖 像 ，表示 y 是 x 的函數(shù)圖象的是 ________ ． 圖 2 － 4 － 1 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 [ 解析 ] ( 1 ) 選項 A ， B 中，定義域不同，選項 C 中，對應(yīng)法則不同，只有選項 D 中的兩個函數(shù)的三要素相同．故選 D. ( 2 ) 由函數(shù)定義可知，自變量 x 對應(yīng)唯一的 y 值，所以③④ 錯誤， ①② 正確． [ 答案 ] ( 1 ) D ( 2 ) ①② ? 探究點二 函數(shù)的定義域、值域的求法 返回目錄 點面講考向 第 4講 函數(shù)的概念及其表示 例 2 ( 1 ) [ 2 0 1 2 天津卷 ] 對實數(shù) a 和 b ，定義運算 “